29.5 Kąt między prostą a płaszczyzną. Kąt dwuścienny
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (2 pkt)
Prosta $k$ przebija płaszczyznę $\pi$ w punkcie $A$. Punkt $B$ należy do prostej $l$, która jest rzutem prostokątnym prostej $k$ na płaszczyznę $\pi$ oraz $|AB| = 12$ cm. Oblicz odległość punktu $B$ od prostej $k$, jeśli kąt nachylenia prostej $k$ do płaszczyzny $\pi$ ma miarę:
a) $30^{\circ}$
b) $45^{\circ}$
c) $60^{\circ}$
Zadanie 2 (2 pkt)
Dany jest sześcian $ABCDA_1B_1C_1D_1$, którego bok ma długość $a$. Oblicz tangens kąta nachylenia przekątnej podstawy $BD$ do płaszczyzny ściany bocznej $(CDD_1C_1)$.
Zadanie 3 (3 pkt)
Płaszczyzny $\pi_1$ i $\pi_2$ są prostopadłe, a krawędzią ich przecięcia jest prosta $m$. Punkt $A$ należy do płaszczyzny $\pi_1$ i leży w odległości 12 cm od prostej $m$. Punkt $B$ należy do płaszczyzny $\pi_2$ i leży w odległości 5 cm od prostej $m$. Wiedząc, że rzutem prostopadłym punktu $A$ na płaszczyznę $\pi_2$ jest ten sam punkt co rzut prostopadły punktu $B$ na płaszczyznę $\pi_1$, oblicz:
a) tangens kąta nachylenia prostej $AB$ do płaszczyzny $\pi_2$,
b) cosinus kąta nachylenia prostej $AB$ do płaszczyzny $\pi_1$.
Zadanie 4 (2 pkt)
Na płaszczyźnie $\pi$ dany jest odcinek $AB$. Odcinek $BC$ jest prostopadły do płaszczyzny $\pi$. Punkt $D$ jest środkiem odcinka $BC$. Wiedząc, że tangens nachylenia prostej $AD$ do płaszczyzny $\pi$ wynosi $\frac{1}{2}$, oblicz sinus kąta nachylenia prostej $AC$ do płaszczyzny $\pi$.
Zadanie 5 (4 pkt)
Punkty $A$, $B$, $C$ leżące na płaszczyźnie $\pi$ wyznaczają trójkąt równoramienny, w którym $|AC| = |BC| = 13$ oraz $|AB| = 10$. Odcinek $DC$ jest prostopadły do płaszczyzny $\pi$, a jego długość jest równa 12. Oblicz:
a) tangens kąta nachylenia prostej $BD$ do płaszczyzny $\pi$,
b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny $(ABD)$ do płaszczyzny $\pi$.
Grupa B
Zadanie 1 (2 pkt)
Prosta $k$ przebija płaszczyznę $\pi$ w punkcie $A$. Punkt $B$ należy do prostej $l$, która jest rzutem prostokątnym prostej $k$ na płaszczyznę $\pi$ oraz $|AB| = 20$ cm. Oblicz odległość punktu $B$ od prostej $k$, jeśli kąt nachylenia prostej $k$ do płaszczyzny $\pi$ ma miarę:
a) $30^{\circ}$
b) $45^{\circ}$
c) $60^{\circ}$
Zadanie 2 (2 pkt)
Dany jest sześcian $ABCDA_1B_1C_1D_1$, którego bok ma długość $a$. Oblicz tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej $A_1D$ do płaszczyzny podstawy $(ABCD)$.
Zadanie 3 (3 pkt)
Płaszczyzny $\pi_1$ i $\pi_2$ są prostopadłe, a krawędzią ich przecięcia jest prosta $m$. Punkt $A$ należy do płaszczyzny $\pi_1$ i leży w odległości 15 cm od prostej $m$. Punkt $B$ należy do płaszczyzny $\pi_2$ i leży w odległości 8 cm od prostej $m$. Wiedząc, że rzutem prostopadłym punktu $A$ na płaszczyznę $\pi_2$ jest ten sam punkt co rzut prostopadły punktu $B$ na płaszczyznę $\pi_1$, oblicz:
a) tangens kąta nachylenia prostej $AB$ do płaszczyzny $\pi_2$,
b) cosinus kąta nachylenia prostej $AB$ do płaszczyzny $\pi_1$.
Zadanie 4 (2 pkt)
Na płaszczyźnie $\pi$ dany jest odcinek $AB$. Odcinek $BC$ jest prostopadły do płaszczyzny $\pi$. Punkt $D$ jest środkiem odcinka $BC$. Wiedząc, że tangens nachylenia prostej $AD$ do płaszczyzny $\pi$ wynosi $\frac{3}{4}$, oblicz sinus kąta nachylenia prostej $AC$ do płaszczyzny $\pi$.
Zadanie 5 (4 pkt)
Punkty $A$, $B$, $C$ leżące na płaszczyźnie $\pi$ wyznaczają trójkąt równoramienny, w którym $|AC| = |BC| = 10$ oraz $|AB| = 12$. Odcinek $DC$ jest prostopadły do płaszczyzny $\pi$, a jego długość jest równa 16. Oblicz:
a) tangens kąta nachylenia prostej $AD$ do płaszczyzny $\pi$,
b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny $(ABD)$ do płaszczyzny $\pi$.