29.11 Przekroje wielościanów – zadania
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (2 pkt)
Przekrój sześcianu płaszczyzną, zawierającą przekątne trzech różnych ścian, jest trójkątem, którego pole wynosi $32\sqrt{3} \text{ cm}^2$. Oblicz objętość tego sześcianu.
Zadanie 2 (3 pkt)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jest równe $150 \ \text{cm}^2$. Oblicz pole przekroju tego sześcianu płaszczyzną, zawierającą krawędzie $AB$ i $D_1C_1$.
Zadanie 3 (4 pkt)
Krawędź boczna prostopadłościanu $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ma długość $24$ cm. Boki podstawy mają długość: $|AB| = 7$ cm, $|AD| = 30$ cm. Oblicz pole przekroju płaszczyzną wyznaczoną przez krawędzie $AD$ i $B_1C_1$.
Zadanie 4 (3 pkt)
Długości boków prostopadłościanu pozostają w stosunku $1:2:3$. Przez najdłuższą krawędź i przekątną najmniejszej ściany poprowadzono przekrój, którego pole jest równe $12\sqrt{5} \text{ cm}^2$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
Zadanie 5 (4 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDA_1B_1C_1D_1$ krawędź podstawy $ABCD$ jest o $3$ cm dłuższa od krawędzi bocznej $AA_1$. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe $480 \text{ cm}^2$. Oblicz pole przekroju tej bryły wyznaczonego przez przekątną podstawy $DB$ i wierzchołek $C_1$.
Grupa B
Zadanie 1 (2 pkt)
Przekrój sześcianu płaszczyzną, zawierającą przekątne trzech różnych ścian, jest trójkątem, którego pole wynosi $72\sqrt{3} \text{ cm}^2$. Oblicz objętość tego sześcianu.
Zadanie 2 (3 pkt)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jest równe $864 \ \text{cm}^2$. Oblicz pole przekroju tego sześcianu płaszczyzną, zawierającą krawędzie $BC$ i $A_1D_1$.
Zadanie 3 (4 pkt)
Krawędź boczna prostopadłościanu $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ma długość $12$ cm. Boki podstawy mają długość: $|AB| = 35$ cm, $|AD| = 20$ cm. Oblicz pole przekroju płaszczyzną wyznaczoną przez krawędzie $AD$ i $B_1C_1$.
Zadanie 4 (3 pkt)
Długości boków prostopadłościanu pozostają w stosunku $2:3:4$. Przez najdłuższą krawędź i przekątną najmniejszej ściany poprowadzono przekrój, którego pole jest równe $36\sqrt{13} \text{ cm}^2$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
Zadanie 5 (4 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDA_1B_1C_1D_1$ krawędź boczna $AA_1$ jest o $1$ cm dłuższa od krawędzi podstawy $ABCD$. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe $240 \text{ cm}^2$. Oblicz pole przekroju tej bryły wyznaczonego przez przekątną podstawy $DB$ i wierzchołek $C_1$.