Oznaczmy długości przyprostokątnych podstawy jako $a$ i $b$, a przeciwprostokątnej jako $c$. Z treści zadania wiemy, że $b = a + 6$. Ponieważ wszystkie krawędzie boczne są nachylone pod tym samym kątem do podstawy, spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Dla trójkąta prostokątnego, jest to środek przeciwprostokątnej. Promień $R$ tego okręgu to $R = \frac{c}{2}$. Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość $H$, promień $R$ i krawędź boczną, przy kącie $45^\circ$ między krawędzią boczną a podstawą, mamy $\tan(45^\circ) = \frac{H}{R}$, co prowadzi do $H = R$. Podano, że $H = 15 \ \text{cm}$, więc $R = 15 \ \text{cm}$. Długość przeciwprostokątnej $c$ wynosi:\[c = 2R = 2 \cdot 15 \ \text{cm} = 30 \ \text{cm}\]a) Obliczanie długości krawędzi podstawy. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa dla podstawy: $a^2 + b^2 = c^2$.\[a^2 + (a+6)^2 = 30^2\]\[a^2 + a^2 + 12a + 36 = 900\]\[2a^2 + 12a - 864 = 0\]Dzielimy równanie przez 2:\[a^2 + 6a - 432 = 0\]Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764\]\[\sqrt{\Delta} = \sqrt{1764} = 42\]Obliczamy pierwiastki:\[a_1 = \frac{-6 - 42}{2} = -24\]\[a_2 = \frac{-6 + 42}{2} = 18\]Odrzucamy rozwiązanie ujemne, więc $a = 18 \ \text{cm}$. Druga przyprostokątna ma długość $b = a + 6 = 18 + 6 = 24 \ \text{cm}$. Krawędzie podstawy mają długości $18 \ \text{cm}$, $24 \ \text{cm}$ i $30 \ \text{cm}$. b) Obliczanie objętości ostrosłupa. Objętość $V$ liczymy ze wzoru $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$. Pole podstawy $P_p$ wynosi:\[P_p = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 18 \ \text{cm} \cdot 24 \ \text{cm} = 216 \ \text{cm}^2\]Objętość ostrosłupa:\[V = \frac{1}{3} \cdot 216 \ \text{cm}^2 \cdot 15 \ \text{cm} = 72 \cdot 15 \ \text{cm}^3 = 1080 \ \text{cm}^3\]