29.6 Graniastosłupy
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (3 pkt)
Oblicz długość przekątnej:
a) prostopadłościanu, którego krawędzie mają długość $2$ cm, $3$ cm, $6$ cm,
b) graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość $5$ cm, a przekątna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^{\circ}$.
Najpierw obliczmy długość przekątnej podstawy, $d_p$. Podstawa jest prostokątem o bokach $a$ i $b$. Z twierdzenia Pitagorasa:\[d_p^2 = a^2 + b^2\]\[d_p^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\]\[d_p = \sqrt{13} \text{cm}\]Teraz rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez przekątną podstawy $d_p$, wysokość prostopadłościanu $c$ i przekątną prostopadłościanu $d$. Z twierdzenia Pitagorasa:\[d^2 = d_p^2 + c^2\]\[d^2 = (\sqrt{13})^2 + 6^2 = 13 + 36 = 49\]\[d = \sqrt{49} = 7 \text{cm}\]
b) Podstawą graniastosłupa jest kwadrat o boku $a = 5 \text{cm}$.
Obliczmy długość przekątnej podstawy, $d_p$.\[d_p = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \text{cm}\]Przekątna graniastosłupa $d$, przekątna podstawy $d_p$ i wysokość graniastosłupa $H$ tworzą trójkąt prostokątny. Kąt między przekątną graniastosłupa $d$ a płaszczyzną podstawy jest kątem między $d$ a $d_p$ i wynosi $45^{\circ}$.
Możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznej:\[\cos(45^{\circ}) = \frac{d_p}{d}\]\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{d}\]Przekształcając równanie:\[d \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 5\sqrt{2}\]\[d = 10 \text{cm}\]Alternatywnie, ponieważ kąt wynosi $45^{\circ}$, trójkąt prostokątny jest równoramienny, co oznacza, że $H = d_p = 5\sqrt{2} \text{cm}$. Stosując twierdzenie Pitagorasa:\[d^2 = d_p^2 + H^2 = (5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 = 50 + 50 = 100\]\[d = \sqrt{100} = 10 \text{cm}\]
Zadanie 2 (4 pkt)
Przekątne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mają długość $10\sqrt{2}$ cm i $5\sqrt{7}$ cm. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość graniastosłupa.
Zadanie 3 (3 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDA_1B_1C_1$ poprowadzono przekątną podstawy $AC$ i przekątną ściany bocznej $A_1D$. Czy trójkąt $A_1CD$ jest prostokątny? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 4 (4 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $5 \ \text{cm}$, a wysokość – $5\sqrt{2} \ \text{cm}$. Wyznacz miarę kąta:
a) nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa,
b) między przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy.
Zadanie 5 (5 pkt)
Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez, w którym trzy krótsze boki mają taką samą długość, a czwarty bok tego trapezu ma taką długość jak wysokość graniastosłupa. Wiedząc, że kąt dwuścienny między dwiema przystającymi ścianami bocznymi ma miarę $150^\circ$, oblicz tangens kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do przekątnej podstawy.
Grupa B
Zadanie 1 (3 pkt)
Oblicz długość przekątnej:
a) prostopadłościanu, którego krawędzie mają długość $5$ cm, $6$ cm, $7$ cm,
b) graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość $6$ cm, a przekątna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^{\circ}$.
Zadanie 2 (4 pkt)
Przekątne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mają długość $10$ cm i $2\sqrt{21}$ cm. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość graniastosłupa.
Zadanie 3 (3 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCA_1B_1C_1$ poprowadzono przekątną ściany bocznej $BC_1$. Czy kąt $AC_1B$ jest prosty? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 4 (4 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $12 \ \text{cm}$, a wysokość – $12\sqrt{2} \ \text{cm}$. Wyznacz miarę kąta:
a) nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa,
b) między przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy.
Zadanie 5 (5 pkt)
Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez, w którym trzy krótsze boki mają taką samą długość, a czwarty bok tego trapezu ma taką długość jak wysokość graniastosłupa. Wiedząc, że kąt dwuścienny między dwiema przystającymi ścianami bocznymi ma miarę $135^\circ$, oblicz tangens kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do przekątnej podstawy.