Oznaczmy zdarzenia: $S_1$ - pierwszy strzelec trafia w cel. $S_2$ - drugi strzelec trafia w cel. $S_1'$ - pierwszy strzelec nie trafia w cel (zdarzenie przeciwne do $S_1$). $S_2'$ - drugi strzelec nie trafia w cel (zdarzenie przeciwne do $S_2$). Z treści zadania znamy prawdopodobieństwa trafienia dla każdego strzelca:\[P(S_1) = \frac{8}{10} = 0.8\]\[P(S_2) = \frac{5}{10} = 0.5\]Obliczamy prawdopodobieństwa chybienia:\[P(S_1') = 1 - P(S_1) = 1 - \frac{8}{10} = \frac{2}{10} = 0.2\]\[P(S_2') = 1 - P(S_2) = 1 - \frac{5}{10} = \frac{5}{10} = 0.5\]Zakładamy, że strzały obu strzelców są zdarzeniami niezależnymi. a) Cel został trafiony dwa razy. To zdarzenie, oznaczmy je $A$, zachodzi wtedy, gdy obaj strzelcy trafią w cel. Jest to iloczyn zdarzeń $S_1$ i $S_2$.\[P(A) = P(S_1 \cap S_2)\]Ponieważ zdarzenia są niezależne, możemy pomnożyć ich prawdopodobieństwa:\[P(A) = P(S_1) \cdot P(S_2) = \frac{8}{10} \cdot \frac{5}{10} = \frac{40}{100} = 0.40\]b) Cel został trafiony tylko raz. To zdarzenie, oznaczmy je $B$, zachodzi w dwóch rozłącznych przypadkach: 1. Pierwszy strzelec trafia, a drugi chybia ($S_1 \cap S_2'$). 2. Pierwszy strzelec chybia, a drugi trafia ($S_1' \cap S_2$). Prawdopodobieństwo zdarzenia $B$ jest sumą prawdopodobieństw tych dwóch przypadków.\[P(B) = P((S_1 \cap S_2') \cup (S_1' \cap S_2)) = P(S_1 \cap S_2') + P(S_1' \cap S_2)\]Korzystając z niezależności zdarzeń:\[P(B) = P(S_1) \cdot P(S_2') + P(S_1') \cdot P(S_2)\]\[P(B) = \frac{8}{10} \cdot \frac{5}{10} + \frac{2}{10} \cdot \frac{5}{10} = \frac{40}{100} + \frac{10}{100} = \frac{50}{100} = 0.50\]