Wprowadźmy oznaczenia zdarzeń: $Z_1$ – zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrana część została wyprodukowana w pierwszym zakładzie. $Z_2$ – zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrana część została wyprodukowana w drugim zakładzie. $Z_3$ – zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrana część została wyprodukowana w trzecim zakładzie. $G_1$ – zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrana część jest w I gatunku. Stosunek produkcji zakładów wynosi $4:4:2$. Suma części stosunku to $4+4+2=10$. Na tej podstawie możemy obliczyć prawdopodobieństwa wylosowania części z każdego zakładu:\[P(Z_1) = \frac{4}{10} = 0.4\]\[P(Z_2) = \frac{4}{10} = 0.4\]\[P(Z_3) = \frac{2}{10} = 0.2\]Z treści zadania znamy również prawdopodobieństwa warunkowe wyprodukowania części w I gatunku przez każdy z zakładów:\[P(G_1 | Z_1) = 80\% = 0.8\]\[P(G_1 | Z_2) = 85\% = 0.85\]\[P(G_1 | Z_3) = 90\% = 0.9\]a) Obliczamy prawdopodobieństwo, że wybrana część jest w I gatunku i pochodzi z drugiego zakładu, czyli $P(G_1 \cap Z_2)$. Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń: $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$.\[P(G_1 \cap Z_2) = P(G_1 | Z_2) \cdot P(Z_2)\]\[P(G_1 \cap Z_2) = 0.85 \cdot 0.4 = 0.34\]b) Obliczamy prawdopodobieństwo, że wybrana część jest w I gatunku, czyli $P(G_1)$. Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:\[P(G_1) = P(G_1 | Z_1) \cdot P(Z_1) + P(G_1 | Z_2) \cdot P(Z_2) + P(G_1 | Z_3) \cdot P(Z_3)\]\[P(G_1) = 0.8 \cdot 0.4 + 0.85 \cdot 0.4 + 0.9 \cdot 0.2\]\[P(G_1) = 0.32 + 0.34 + 0.18 = 0.84\]c) Obliczamy prawdopodobieństwo, że wybrana część została wyprodukowana w drugim zakładzie, pod warunkiem, że jest w I gatunku, czyli $P(Z_2 | G_1)$. Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe (wzór Bayesa):\[P(Z_2 | G_1) = \frac{P(G_1 \cap Z_2)}{P(G_1)}\]Wartości licznika i mianownika obliczyliśmy w podpunktach a) i b).\[P(Z_2 | G_1) = \frac{0.34}{0.84} = \frac{34}{84} = \frac{17}{42}\]