21.4 Pole czworokąta – zadania różne
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (1 pkt)
Oblicz pole czworokąta, którego przekątne mają długość $\sqrt[4]{8} \ \text{cm}$ oraz $\sqrt[4]{32} \ \text{cm}$ i przecinają się pod kątem $60^\circ$.
Zadanie 2 (1 pkt)
Pole czworokąta wypukłego jest równe $48 \text{ cm}^2$, a jedna z przekątnych ma długość $12 \text{ cm}$. Wiedząc, że cosinus kąta przecięcia przekątnych jest równy $\frac{3}{5}$, oblicz długość drugiej przekątnej.
Zadanie 3 (3 pkt)
Pole trapezu równoramiennego jest równe $100 \text{ cm}^2$. Suma długości podstaw tego trapezu jest równa $20 \text{ cm}$. Wyznacz kąt, pod jakim przecinają się przekątne tego trapezu.
Zadanie 4 (1 pkt)
Rozpatrujemy czworokąty wypukłe, których przekątne mają długość $10$ i $12$. Jakie może być największe pole takiego czworokąta? Jaką część tego największego pola stanowi pole czworokąta, którego przekątne przecinają się pod kątem $60^\circ$?
Zadanie 5 (3 pkt)
W czworokącie wypukłym suma długości przekątnych jest równa $30$ cm, a kąt ostry między przekątnymi jest równy $30^\circ$. Wyznacz długości przekątnych, dla których pole tego czworokąta jest największe z możliwych. Oblicz to pole.
Grupa B
Zadanie 1 (1 pkt)
Oblicz pole czworokąta, którego przekątne mają długość $\sqrt[4]{18} \ \text{cm}$ oraz $\sqrt[4]{72} \ \text{cm}$ i przecinają się pod kątem $30^\circ$.
Zadanie 2 (1 pkt)
Pole czworokąta wypukłego jest równe $15\sqrt{7} \text{ cm}^2$, a jedna z przekątnych ma długość $8 \text{ cm}$. Wiedząc, że cosinus kąta przecięcia przekątnych jest równy $\frac{3}{4}$, oblicz długość drugiej przekątnej.
Zadanie 3 (3 pkt)
Pole trapezu równoramiennego jest równe $36\sqrt{3} \text{ cm}^2$. Suma długości podstaw tego trapezu jest równa $12\sqrt{3} \text{ cm}$. Wyznacz kąt, pod jakim przecinają się przekątne tego trapezu.
Zadanie 4 (1 pkt)
Rozpatrujemy czworokąty wypukłe, których przekątne mają długość $5$ i $16$. Jakie może być największe pole takiego czworokąta? Jaką część tego największego pola stanowi pole czworokąta, którego przekątne przecinają się pod kątem $45^\circ$?
Zadanie 5 (3 pkt)
W czworokącie wypukłym suma długości przekątnych jest równa $16$ cm, a kąt ostry między przekątnymi jest równy $60^\circ$. Wyznacz długości przekątnych, dla których pole tego czworokąta jest największe z możliwych. Oblicz to pole.