Ciągi rozbieżne do nieskończoności kartkówka

18.12 Ciągi rozbieżne do nieskończoności

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Które wyrazy ciągu nieskończonego $(b_n)$ są mniejsze od liczby M, jeśli: a) $b_n = 50 - 2n^2$, $ M = 0$ b) $b_n = \frac{7 - n^4}{n^2}$, $M = -2$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Aby znaleźć wyrazy ciągu $b_n$ mniejsze od liczby $M$, rozwiązujemy nierówność $b_n < M$: \[ 50 - 2n^2 < 0 \]Odejmujemy $50$ od obu stron nierówności: \[ -2n^2 < -50 \]Dzielimy obie strony nierówności przez $-2$ i zmieniamy znak nierówności: \[ n^2 > \frac{-50}{-2} \]\[ n^2 > 25 \]Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną ($n \ge 1$), szukamy najmniejszego $n$, dla którego $n^2$ jest większe od $25$: $5^2 = 25$ (nie spełnia warunku) $6^2 = 36$ (spełnia warunek) Zatem, wyrazy ciągu są mniejsze od $M=0$ dla $n \ge 6$. b) Aby znaleźć wyrazy ciągu $b_n$ mniejsze od liczby $M$, rozwiązujemy nierówność $b_n < M$: \[ \frac{7 - n^4}{n^2} < -2 \]Rozdzielamy ułamek: \[ \frac{7}{n^2} - \frac{n^4}{n^2} < -2 \]\[ \frac{7}{n^2} - n^2 < -2 \]Mnożymy obie strony nierówności przez $n^2$. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, $n^2 > 0$, więc znak nierówności pozostaje bez zmian: \[ 7 - n^4 < -2n^2 \]Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę nierówności: \[ -n^4 + 2n^2 + 7 < 0 \]Mnożymy obie strony nierówności przez $-1$ i zmieniamy znak nierówności: \[ n^4 - 2n^2 - 7 > 0 \]Podstawiamy pomocniczą zmienną $t = n^2$. Ponieważ $n \ge 1$, to $t > 0$: \[ t^2 - 2t - 7 > 0 \]Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego $t^2 - 2t - 7 = 0$: \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32 \]\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]\[ t_1 = \frac{-(-2) - 4\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4\sqrt{2}}{2} = 1 - 2\sqrt{2} \]\[ t_2 = \frac{-(-2) + 4\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4\sqrt{2}}{2} = 1 + 2\sqrt{2} \]Nierówność $t^2 - 2t - 7 > 0$ jest spełniona, gdy $t < 1 - 2\sqrt{2}$ lub $t > 1 + 2\sqrt{2}$. Podstawiamy z powrotem $n^2$ za $t$: \[ n^2 < 1 - 2\sqrt{2} \]Ta część nie ma rozwiązań dla naturalnych $n$, ponieważ $1 - 2\sqrt{2} \approx -1.828 < 0$, a $n^2$ zawsze jest nieujemne. \[ n^2 > 1 + 2\sqrt{2} \]Przybliżona wartość $1 + 2\sqrt{2} \approx 3.828$. Szukamy najmniejszego $n$ naturalnego, dla którego $n^2 > 3.828$: $1^2 = 1$ (nie spełnia warunku) $2^2 = 4$ (spełnia warunek) Zatem, wyrazy ciągu są mniejsze od $M=-2$ dla $n \ge 2$.

Zadanie 2 (6 pkt)

Wyznacz granice: a) $$\lim_{n\to\infty}(10n-5)$$ b) $$\lim_{n\to\infty}\frac{(1-2n)(3+5n)}{4}$$ c) $$\lim_{n\to\infty}\left[3(n-2)^2-5n^2\right]$$ d) $$\lim_{n\to\infty}(5n^4-2n^3+3n^2-1)$$ e) $$\lim_{n\to\infty}\left[(n^3-2)^2-(n^2+2)^3\right]$$ f) $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-2}{3} \cdot \frac{4-n}{2} \cdot \frac{2+n}{4}\right)$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie granicy funkcji liniowej:\[ \lim_{n\to\infty}(10n-5) = \infty \]b) Obliczenie granicy ilorazu funkcji kwadratowej i stałej: Najpierw rozwijamy licznik:\[ (1-2n)(3+5n) = 3 + 5n - 6n - 10n^2 = -10n^2 - n + 3 \]Następnie obliczamy granicę ilorazu, biorąc pod uwagę tylko składnik z najwyższą potęgą $n$:\[ \lim_{n\to\infty}\frac{-10n^2 - n + 3}{4} = \lim_{n\to\infty}\frac{-10n^2}{4} = \lim_{n\to\infty}(-2.5n^2) = -\infty \]c) Obliczenie granicy różnicy wyrażeń: Najpierw rozwijamy wyrażenie w nawiasie kwadratowym:\[ 3(n-2)^2-5n^2 = 3(n^2-2\cdot n\cdot 2+2^2)-5n^2 \]\[ = 3(n^2-4n+4)-5n^2 \]\[ = 3n^2-12n+12-5n^2 \]\[ = -2n^2-12n+12 \]Następnie obliczamy granicę, biorąc pod uwagę tylko składnik z najwyższą potęgą $n$:\[ \lim_{n\to\infty}(-2n^2-12n+12) = -\infty \]d) Obliczenie granicy wielomianu: Granicę wielomianu, gdy $n \to \infty$, określa składnik z najwyższą potęgą $n$:\[ \lim_{n\to\infty}(5n^4-2n^3+3n^2-1) = \lim_{n\to\infty}(5n^4) = \infty \]e) Obliczenie granicy różnicy potęg wielomianów: Najpierw rozwijamy oba składniki:\[ (n^3-2)^2 = (n^3)^2 - 2\cdot n^3\cdot 2 + 2^2 = n^6 - 4n^3 + 4 \]\[ (n^2+2)^3 = (n^2)^3 + 3(n^2)^2(2) + 3(n^2)(2)^2 + 2^3 = n^6 + 6n^4 + 12n^2 + 8 \]Następnie odejmujemy rozwinięte wyrażenia:\[ (n^6 - 4n^3 + 4) - (n^6 + 6n^4 + 12n^2 + 8) \]\[ = n^6 - 4n^3 + 4 - n^6 - 6n^4 - 12n^2 - 8 \]\[ = -6n^4 - 4n^3 - 12n^2 - 4 \]Granicę określa składnik z najwyższą potęgą $n$:\[ \lim_{n\to\infty}(-6n^4 - 4n^3 - 12n^2 - 4) = -\infty \]f) Obliczenie granicy iloczynu wyrażeń wymiernych: Najpierw mnożymy liczniki i mianowniki: Licznik:\[ (n-2)(4-n)(2+n) = (4n - n^2 - 8 + 2n)(2+n) \]\[ = (-n^2 + 6n - 8)(2+n) \]\[ = -n^2 \cdot 2 - n^2 \cdot n + 6n \cdot 2 + 6n \cdot n - 8 \cdot 2 - 8 \cdot n \]\[ = -2n^2 - n^3 + 12n + 6n^2 - 16 - 8n \]\[ = -n^3 + 4n^2 + 4n - 16 \]Mianownik:\[ 3 \cdot 2 \cdot 4 = 24 \]Następnie obliczamy granicę całego wyrażenia, biorąc pod uwagę tylko składnik z najwyższą potęgą $n$ w liczniku i mianownik:\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{-n^3 + 4n^2 + 4n - 16}{24}\right) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{-n^3}{24}\right) = -\infty \]

Zadanie 3 (6 pkt)

Wyznacz granice: a) $$\lim_{n\to\infty} \frac{5n^2-2n+7}{3n+1}$$ b) $$\lim_{n\to\infty} \frac{7-n^3}{2n^2+5n-1}$$ c) $$\lim_{n\to\infty} \frac{-2n^3+3n^2-n+1}{(n+2)^3-(n-2)^3}$$ d) $$\lim_{n\to\infty} \frac{(1-2n)(3-n)(1+5n)}{(2-3n)^3}$$ e) $$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{9n^2+5n}-3n)$$ f) $$\lim_{n\to\infty} (n-\sqrt{n+5})$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie granicy $\lim_{n\to\infty} \frac{5n^2-2n+7}{3n+1}$: Dzielimy licznik i mianownik przez $n$.\[\lim_{n\to\infty} \frac{5n^2-2n+7}{3n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{5n^2}{n}-\frac{2n}{n}+\frac{7}{n}}{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}} \]\[= \lim_{n\to\infty} \frac{5n-2+\frac{7}{n}}{3+\frac{1}{n}} \]Ponieważ $\lim_{n\to\infty} \frac{7}{n} = 0$ i $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$, a licznik dąży do $\infty$, natomiast mianownik do $3$.\[= \frac{\infty}{3} = \infty \]b) Obliczenie granicy $\lim_{n\to\infty} \frac{7-n^3}{2n^2+5n-1}$: Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$.\[\lim_{n\to\infty} \frac{7-n^3}{2n^2+5n-1} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{7}{n^2}-\frac{n^3}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{5n}{n^2}-\frac{1}{n^2}} \]\[= \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{7}{n^2}-n}{2+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}} \]Ponieważ $\lim_{n\to\infty} \frac{7}{n^2} = 0$, $\lim_{n\to\infty} \frac{5}{n} = 0$, $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0$, a licznik dąży do $-\infty$, natomiast mianownik do $2$.\[= \frac{-\infty}{2} = -\infty \]c) Obliczenie granicy $\lim_{n\to\infty} \frac{-2n^3+3n^2-n+1}{(n+2)^3-(n-2)^3}$: Upraszczamy mianownik.\[(n+2)^3-(n-2)^3 = (n^3+6n^2+12n+8)-(n^3-6n^2+12n-8) = 12n^2+16 \]Zatem granica przyjmuje postać:\[\lim_{n\to\infty} \frac{-2n^3+3n^2-n+1}{12n^2+16} \]Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$.\[= \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{-2n^3}{n^2}+\frac{3n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{12n^2}{n^2}+\frac{16}{n^2}} \]\[= \lim_{n\to\infty} \frac{-2n+3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{12+\frac{16}{n^2}} \]Ponieważ $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$, $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0$, $\lim_{n\to\infty} \frac{16}{n^2} = 0$, a licznik dąży do $-\infty$, natomiast mianownik do $12$.\[= \frac{-\infty}{12} = -\infty \]d) Obliczenie granicy $\lim_{n\to\infty} \frac{(1-2n)(3-n)(1+5n)}{(2-3n)^3}$: Najwyższa potęga w liczniku: $(-2n) \cdot (-n) \cdot (5n) = 10n^3$. Najwyższa potęga w mianowniku: $(-3n)^3 = -27n^3$.\[\lim_{n\to\infty} \frac{(1-2n)(3-n)(1+5n)}{(2-3n)^3} = \frac{10}{-27} = -\frac{10}{27} \]e) Obliczenie granicy $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{9n^2+5n}-3n)$: Mnożymy i dzielimy przez wyrażenie sprzężone.\[\lim_{n\to\infty} (\sqrt{9n^2+5n}-3n) = \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{9n^2+5n}-3n)(\sqrt{9n^2+5n}+3n)}{\sqrt{9n^2+5n}+3n} \]\[= \lim_{n\to\infty} \frac{(9n^2+5n)-(3n)^2}{\sqrt{9n^2+5n}+3n} \]\[= \lim_{n\to\infty} \frac{9n^2+5n-9n^2}{\sqrt{9n^2+5n}+3n} \]\[= \lim_{n\to\infty} \frac{5n}{\sqrt{9n^2+5n}+3n} \]Dzielimy licznik i mianownik przez $n$.\[= \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{5n}{n}}{\sqrt{\frac{9n^2}{n^2}+\frac{5n}{n^2}}+\frac{3n}{n}} \]\[= \lim_{n\to\infty} \frac{5}{\sqrt{9+\frac{5}{n}}+3} \]Ponieważ $\lim_{n\to\infty} \frac{5}{n} = 0$.\[= \frac{5}{\sqrt{9+0}+3} = \frac{5}{3+3} = \frac{5}{6} \]f) Obliczenie granicy $\lim_{n\to\infty} (n-\sqrt{n+5})$: Wyłączamy $n$ przed nawias.\[\lim_{n\to\infty} (n-\sqrt{n+5}) = \lim_{n\to\infty} n\left(1-\frac{\sqrt{n+5}}{n}\right) \]\[= \lim_{n\to\infty} n\left(1-\sqrt{\frac{n+5}{n^2}}\right) \]\[= \lim_{n\to\infty} n\left(1-\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}}\right) \]Ponieważ $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$ i $\lim_{n\to\infty} \frac{5}{n^2} = 0$, to $\lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}} = 0$. Zatem, wyrażenie w nawiasie dąży do $1-0 = 1$.\[= \infty \cdot 1 = \infty \]

Zadanie 4 (3 pkt)

Wyznacz granice: a) $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+2}{5} - \frac{n+4}{2} \right)$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \left( 3n^2 - \frac{6n^3+9}{2n} \right)$$ c) $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{10}{n} + \frac{5n+2n^3}{n^2} \right)$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Wyznacz granice: a) $$\lim_{n \to \infty} \left( 7+n - \frac{n^3+3n+2}{n^2} \right)$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n-2}{3} - \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n+2} \right]$$ c) $$\lim_{n \to \infty} \frac{5+9+13+...+(4n+1)}{3n}.$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie granicy:\[ \lim_{n\to\infty} \left(10 + n - \frac{n^3 + n + 5}{n^2}\right) \]Rozdzielamy ułamek na składniki:\[ \lim_{n\to\infty} \left(10 + n - \left(\frac{n^3}{n^2} + \frac{n}{n^2} + \frac{5}{n^2}\right)\right) \]Upraszczamy wyrażenie w nawiasie:\[ \lim_{n\to\infty} \left(10 + n - \left(n + \frac{1}{n} + \frac{5}{n^2}\right)\right) \]Redukujemy wyrazy:\[ \lim_{n\to\infty} \left(10 + n - n - \frac{1}{n} - \frac{5}{n^2}\right) \]\[ \lim_{n\to\infty} \left(10 - \frac{1}{n} - \frac{5}{n^2}\right) \]Ponieważ $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$ i $\lim_{n\to\infty} \frac{5}{n^2} = 0$, otrzymujemy:\[ 10 - 0 - 0 = 10 \]b) Obliczenie granicy:\[ \lim_{n\to\infty} \left[\frac{n - 3}{4} - \frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)}{n + 3}\right] \]Najpierw wyznaczamy sumę ciągu arytmetycznego $S_n = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)$. Pierwszy wyraz: $a_1 = 1$. Ostatni wyraz: $a_n = 2n - 1$. Liczba wyrazów: $n$. Wzór na sumę ciągu arytmetycznego:\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]Podstawiamy wartości:\[ S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2 \]Podstawiamy obliczoną sumę do wyrażenia granicy:\[ \lim_{n\to\infty} \left[\frac{n - 3}{4} - \frac{n^2}{n + 3}\right] \]Sprowadzamy do wspólnego mianownika $4(n + 3)$:\[ \lim_{n\to\infty} \left[\frac{(n - 3)(n + 3)}{4(n + 3)} - \frac{4n^2}{4(n + 3)}\right] \]\[ \lim_{n\to\infty} \left[\frac{(n^2 - 9) - 4n^2}{4(n + 3)}\right] \]Upraszczamy licznik:\[ \lim_{n\to\infty} \left[\frac{n^2 - 9 - 4n^2}{4n + 12}\right] \]\[ \lim_{n\to\infty} \left[\frac{-3n^2 - 9}{4n + 12}\right] \]Aby obliczyć granicę, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$ z mianownika, czyli $n$:\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{-3n^2}{n} - \frac{9}{n}}{\frac{4n}{n} + \frac{12}{n}} \]\[ \lim_{n\to\infty} \frac{-3n - \frac{9}{n}}{4 + \frac{12}{n}} \]Gdy $n \to \infty$, $\frac{9}{n} \to 0$ i $\frac{12}{n} \to 0$. Licznik dąży do $-\infty$, a mianownik do $4$. Zatem granica wynosi:\[ \frac{-\infty}{4} = -\infty \]c) Obliczenie granicy:\[ \lim_{n\to\infty} \frac{2 + 6 + 10 + \ldots + (4n - 2)}{5n} \]Najpierw wyznaczamy sumę ciągu arytmetycznego $S_n = 2 + 6 + 10 + \ldots + (4n - 2)$. Pierwszy wyraz: $a_1 = 2$. Różnica ciągu: $r = 6 - 2 = 4$. Ostatni wyraz: $a_k = 4n - 2$. Wyznaczamy liczbę wyrazów $k$ ze wzoru $a_k = a_1 + (k - 1)r$:\[ 4n - 2 = 2 + (k - 1) \cdot 4 \]\[ 4n - 2 = 2 + 4k - 4 \]\[ 4n - 2 = 4k - 2 \]\[ 4n = 4k \]\[ k = n \]Liczba wyrazów wynosi $n$. Wzór na sumę ciągu arytmetycznego:\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]Podstawiamy wartości:\[ S_n = \frac{2 + (4n - 2)}{2} \cdot n = \frac{4n}{2} \cdot n = 2n^2 \]Podstawiamy obliczoną sumę do wyrażenia granicy:\[ \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2}{5n} \]Upraszczamy wyrażenie:\[ \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{5} \]Gdy $n \to \infty$, licznik $2n \to \infty$. Zatem granica wynosi:\[ \infty \]

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Które wyrazy ciągu nieskończonego $(b_n)$ są mniejsze od liczby M, jeśli: a) $b_n = 100 - 5n^2$, $M = 0$ b) $b_n = \frac{10 - n^4}{n^2}$, $M = -5$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (6 pkt)

Wyznacz granice: a) $$\lim_{n\to\infty}(20n-1)$$ b) $$\lim_{n\to\infty}\frac{(4-n)(1+2n)}{5}$$ c) $$\lim_{n\to\infty}\left[4(n-1)^2-6n^2\right]$$ d) $$\lim_{n\to\infty}(2n^5-n^3+5n^2-7)$$ e) $$\lim_{n\to\infty}\left[(n^3-3)^2-(n^2+3)^3\right]$$ f) $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-3}{4} \cdot \frac{5-n}{2} \cdot \frac{3+n}{3}\right)$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (6 pkt)

Wyznacz granice: a) $$\lim_{n\to\infty} \frac{6n^2+n-4}{4n+2}$$ b) $$\lim_{n\to\infty} \frac{1-n^5}{4n^2+n+3}$$ c) $$\lim_{n\to\infty} \frac{-4n^3+n^2-2n+5}{(n+3)^3-(n-3)^3}$$ d) $$\lim_{n\to\infty} \frac{(3-n)(4-2n)(1+2n)}{(1-3n)^3}$$ e) $$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{16n^2+7n}-4n)$$ f) $$\lim_{n\to\infty} (n-\sqrt{n+10})$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Wyznacz granice: a) $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{2} - \frac{n+3}{5} \right)$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \left( 4n^2 - \frac{8n^3+10}{2n} \right)$$ c) $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{6}{n} + \frac{2n+4n^3}{n^2} \right)$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Wyznacz granice: a) $$\lim_{n \to \infty} \left( 10+n - \frac{n^3+n+5}{n^2} \right)$$ b) $$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n-3}{4} - \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n+3} \right]$$ c) $$\lim_{n \to \infty} \frac{2+6+10+...+(4n-2)}{5n}.$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

18.12 Ciągi rozbieżne do nieskończoności

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (6 pkt)

Zadanie 3 (6 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (6 pkt)

Zadanie 3 (6 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋