Obliczamy wyrażenie $\left|a_n + \frac{1}{2}\right|$:\[ \left|a_n + \frac{1}{2}\right| = \left|\frac{-n}{2n+3} + \frac{1}{2}\right| \]Sprowadzamy do wspólnego mianownika:\[ \left|\frac{-n \cdot 2 + 1 \cdot (2n+3)}{2(2n+3)}\right| = \left|\frac{-2n + 2n + 3}{2(2n+3)}\right| \]\[ = \left|\frac{3}{2(2n+3)}\right| \]Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną ($n \ge 1$), to $2n+3 > 0$, więc $2(2n+3) > 0$. Zatem wartość bezwzględna jest równa samemu wyrażeniu:\[ \left|\frac{3}{2(2n+3)}\right| = \frac{3}{2(2n+3)} \]Warunek, że wyrazy ciągu \textit{nie} spełniają warunku $\left|a_n + \frac{1}{2}\right| < \varepsilon$ oznacza, że spełniają warunek $\left|a_n + \frac{1}{2}\right| \ge \varepsilon$. Stąd otrzymujemy nierówność:\[ \frac{3}{2(2n+3)} \ge \varepsilon \]Mnożymy obie strony przez $2(2n+3)$:\[ 3 \ge 2\varepsilon \cdot (2n+3) \]Dzielimy przez $2\varepsilon$:\[ \frac{3}{2\varepsilon} \ge 2n+3 \]Odejmujemy $3$ od obu stron:\[ \frac{3}{2\varepsilon} - 3 \ge 2n \]Dzielimy przez $2$:\[ n \le \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2\varepsilon} - 3\right) \]\[ n \le \frac{3}{4\varepsilon} - \frac{3}{2} \]a) Obliczenie liczby wyrazów dla $\varepsilon = \frac{1}{10}$: Podstawiamy wartość $\varepsilon$ do wyznaczonej nierówności:\[ n \le \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{10}} - \frac{3}{2} \]\[ n \le \frac{30}{4} - \frac{3}{2} \]\[ n \le 7.5 - 1.5 \]\[ n \le 6 \]Ponieważ $n$ musi być liczbą naturalną, to wyrazami niespełniającymi warunku są $n=1, 2, 3, 4, 5, 6$. Liczba tych wyrazów wynosi $6$. b) Obliczenie liczby wyrazów dla $\varepsilon = \frac{1}{200}$: Podstawiamy wartość $\varepsilon$ do wyznaczonej nierówności:\[ n \le \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{200}} - \frac{3}{2} \]\[ n \le \frac{600}{4} - \frac{3}{2} \]\[ n \le 150 - 1.5 \]\[ n \le 148.5 \]Ponieważ $n$ musi być liczbą naturalną, to wyrazami niespełniającymi warunku są $n=1, 2, \ldots, 148$.Liczba tych wyrazów wynosi $148$.