a) Obliczenie różnicy $r$ i pierwszego wyrazy $a_1$ ciągu arytmetycznego $(a_n)$: Z warunku, że wyraz dwunasty jest o 18 mniejszy od wyrazu trzeciego: \[ a_{12} = a_3 - 18 \]Używając wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n = a_1 + (n-1)r$: \[ a_1 + 11r = a_1 + 2r - 18 \]\[ 9r = -18 \]\[ r = -2 \]Z warunku, że średnia arytmetyczna wyrazu czwartego, szóstego i jedenastego jest równa 10: \[ \frac{a_4 + a_6 + a_{11}}{3} = 10 \]\[ a_4 + a_6 + a_{11} = 30 \]Podstawiając wzory na wyrazy: \[ (a_1 + 3r) + (a_1 + 5r) + (a_1 + 10r) = 30 \]\[ 3a_1 + 18r = 30 \]Dzieląc przez 3: \[ a_1 + 6r = 10 \]Podstawiamy $r = -2$: \[ a_1 + 6 \cdot (-2) = 10 \]\[ a_1 - 12 = 10 \]\[ a_1 = 22 \]Zatem ciąg arytmetyczny $(a_n)$ to $a_n = 22 + (n-1)(-2) = 24 - 2n$. b) Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(b_n)$: Wyrazy $a_k, a_{k+2}, a_{k+3}$ tworzą ciąg geometryczny $(b_n)$. Warunek na ciąg geometryczny to $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$, czyli: \[ (a_{k+2})^2 = a_k \cdot a_{k+3} \]Wyznaczamy wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od $k$: \[ a_k = 24 - 2k \]\[ a_{k+2} = 24 - 2(k+2) = 24 - 2k - 4 = 20 - 2k \]\[ a_{k+3} = 24 - 2(k+3) = 24 - 2k - 6 = 18 - 2k \]Podstawiamy do warunku na ciąg geometryczny: \[ (20 - 2k)^2 = (24 - 2k) \cdot (18 - 2k) \]Wyciągamy 2 przed nawias z każdego czynnika: \[ (2(10 - k))^2 = 2(12 - k) \cdot 2(9 - k) \]\[ 4(10 - k)^2 = 4(12 - k)(9 - k) \]Dzielimy przez 4: \[ (10 - k)^2 = (12 - k)(9 - k) \]Rozwijamy równanie: \[ 100 - 20k + k^2 = 108 - 12k - 9k + k^2 \]\[ 100 - 20k + k^2 = 108 - 21k + k^2 \]Odejmujemy $k^2$ od obu stron i porządkujemy: \[ -20k + 21k = 108 - 100 \]\[ k = 8 \]Teraz obliczamy trzy początkowe wyrazy ciągu geometrycznego $(b_n)$: Pierwszy wyraz $b_1 = a_k = a_8$: \[ b_1 = a_8 = 24 - 2 \cdot 8 = 24 - 16 = 8 \]Drugi wyraz $b_2 = a_{k+2} = a_{10}$: \[ b_2 = a_{10} = 24 - 2 \cdot 10 = 24 - 20 = 4 \]Trzeci wyraz $b_3 = a_{k+3} = a_{11}$: \[ b_3 = a_{11} = 24 - 2 \cdot 11 = 24 - 22 = 2 \]Iloraz ciągu geometrycznego $q$: \[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $S_5$: Korzystamy ze wzoru $S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$: \[ S_5 = 8 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^5}{1 - \frac{1}{2}} \]\[ S_5 = 8 \cdot \frac{1 - \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} \]\[ S_5 = 8 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} \]\[ S_5 = 8 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 \]\[ S_5 = \frac{31 \cdot 16}{32} \]\[ S_5 = \frac{31}{2} = 15.5 \]