Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego kartkówka - LiczBit

18.6 Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Pchła w pierwszym skoku przebyła $2\text{ m}$, w drugim $1\text{ m}$, a każdy kolejny skok był o połowę krótszy od poprzedniego. Sprawdź, czy w ciągu dwunastu skoków pchła pokona łącznie odległość $4\text{ m}$. Uzasadnij odpowiedź obliczeniami.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Dany jest malejący ciąg geometryczny, w którym $a_1 = 32$, $a_3 = 8$. a) Wyznacz iloraz tego ciągu. b) Zapisz ogólny wyraz $a_n$ tego ciągu, jeśli $n \ge 1$. c) Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $(a_n)$, jeśli wiadomo, że suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $3 \frac{3}{4}$, a iloraz tego ciągu wynosi $\frac{1}{2}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, którego $a_1 = 2, q = 3$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy zsumować, aby otrzymać liczbę $80$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Oblicz sumę, wiedząc, że kolejne składniki sumy to wyrazy pewnego ciągu geometrycznego. Ile wyrazów ma ten ciąg? a) $16\frac{2}{3} + 25 + 37\frac{1}{2} + \dots + 84\frac{3}{8}$ b) $64 - 16 + 4 - \dots - \frac{1}{16}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Wyznaczamy pierwszy wyraz i iloraz ciągu:\[ a_1 = 16\frac{2}{3} = \frac{50}{3} \]\[ q = \frac{25}{a_1} = \frac{25}{\frac{50}{3}} = \frac{25 \cdot 3}{50} = \frac{3}{2} \]Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$:\[ 84\frac{3}{8} = \frac{50}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \]\[ \frac{675}{8} = \frac{50}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \]\[ \frac{675 \cdot 3}{8 \cdot 50} = \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \]\[ \frac{2025}{400} = \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \]\[ \frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \]Ponieważ $\frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^4$, mamy:\[ \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \]Zatem:\[ n-1 = 4 \]\[ n = 5 \]Teraz obliczamy sumę ciągu $S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q-1}$:\[ S_5 = \frac{50}{3} \cdot \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^5 - 1}{\frac{3}{2} - 1} \]\[ S_5 = \frac{50}{3} \cdot \frac{\frac{243}{32} - 1}{\frac{1}{2}} \]\[ S_5 = \frac{50}{3} \cdot \frac{\frac{243 - 32}{32}}{\frac{1}{2}} \]\[ S_5 = \frac{50}{3} \cdot \frac{211}{32} \cdot 2 \]\[ S_5 = \frac{50 \cdot 211}{3 \cdot 16} \]\[ S_5 = \frac{5275}{24} \]b) Wyznaczamy pierwszy wyraz i iloraz ciągu:\[ a_1 = 64 \]\[ q = \frac{-16}{64} = -\frac{1}{4} \]Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$:\[ \frac{1}{16} = 64 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1} \]\[ \frac{1}{16 \cdot 64} = \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1} \]\[ \frac{1}{1024} = \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1} \]Ponieważ $\frac{1}{1024} = \left(\frac{1}{4}\right)^5 = \left(-\frac{1}{4}\right)^5$, mamy:\[ \left(-\frac{1}{4}\right)^5 = \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1} \]Zatem:\[ n-1 = 5 \]\[ n = 6 \]Teraz obliczamy sumę ciągu $S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$:\[ S_6 = 64 \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^6}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} \]\[ S_6 = 64 \cdot \frac{1 - \frac{1}{4096}}{1 + \frac{1}{4}} \]\[ S_6 = 64 \cdot \frac{\frac{4096 - 1}{4096}}{\frac{5}{4}} \]\[ S_6 = 64 \cdot \frac{4095}{4096} \cdot \frac{4}{5} \]\[ S_6 = \frac{64 \cdot 4095 \cdot 4}{4096 \cdot 5} \]\[ S_6 = \frac{4095 \cdot 4}{64 \cdot 5} \]\[ S_6 = \frac{4095}{80} \]\[ S_6 = \frac{819}{16} \]

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Pchła w pierwszym skoku przebyła $0{,}5\text{ m}$, w drugim $0{,}25\text{ m}$, a każdy kolejny skok był o połowę krótszy od poprzedniego. Sprawdź, czy w ciągu ośmiu skoków pchła pokona łącznie odległość $1\text{ m}$. Uzasadnij odpowiedź obliczeniami.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Dany jest malejący ciąg geometryczny, w którym $a_1 = 54$, $a_3 = 6$. a) Wyznacz iloraz tego ciągu. b) Zapisz ogólny wyraz $a_n$ tego ciągu, jeśli $n \ge 1$. c) Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $(a_n)$, jeśli wiadomo, że suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $15$, a iloraz tego ciągu wynosi $\frac{2}{3}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, którego $a_1 = 3, q = 2$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy zsumować, aby otrzymać liczbę $93$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Oblicz sumę, wiedząc, że kolejne składniki sumy to wyrazy pewnego ciągu geometrycznego. Ile wyrazów ma ten ciąg? a) $12.5 + 25 + 50 + \dots + 400$ b) $320 - 80 + 20 - \dots - 5$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi