a) Obliczenie pierwszego wyrazu ciągu geometrycznego: Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego to:\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]Przekształcamy wzór, aby wyznaczyć $a_1$:\[ a_1 = \frac{a_n}{q^{n-1}} \]Dla podpunktu a) mamy $a_5 = \frac{16}{81}$ oraz $q = -\frac{2}{3}$. Podstawiamy wartości:\[ a_1 = \frac{a_5}{q^{5-1}} = \frac{a_5}{q^4} \]\[ a_1 = \frac{\frac{16}{81}}{\left(-\frac{2}{3}\right)^4} \]Obliczamy mianownik:\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} \]Podstawiamy z powrotem do wzoru na $a_1$:\[ a_1 = \frac{\frac{16}{81}}{\frac{16}{81}} \]\[ a_1 = 1 \]b) Obliczenie pierwszego wyrazu ciągu geometrycznego: Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego to:\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]Przekształcamy wzór, aby wyznaczyć $a_1$:\[ a_1 = \frac{a_n}{q^{n-1}} \]Dla podpunktu b) mamy $a_3 = 2+\sqrt{3}$ oraz $q = \sqrt{3}+1$. Podstawiamy wartości:\[ a_1 = \frac{a_3}{q^{3-1}} = \frac{a_3}{q^2} \]Najpierw obliczamy $q^2$:\[ q^2 = (\sqrt{3}+1)^2 \]Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$:\[ q^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 \]\[ q^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 \]\[ q^2 = 4+2\sqrt{3} \]Teraz podstawiamy $a_3$ i $q^2$ do wzoru na $a_1$:\[ a_1 = \frac{2+\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}} \]Wyłączamy wspólny czynnik 2 z mianownika:\[ a_1 = \frac{2+\sqrt{3}}{2(2+\sqrt{3})} \]Skracamy wyrażenie $(2+\sqrt{3})$ z licznika i mianownika:\[ a_1 = \frac{1}{2} \]