a) Wyznaczenie wyrazu ciągu $a_n$ o wartości 100: Mamy dane równanie:\[ (n+1)^2 = 100 \]Pierwiastkujemy obie strony równania:\[ \sqrt{(n+1)^2} = \sqrt{100} \]\[ |n+1| = 10 \]Otrzymujemy dwa przypadki:\[ n+1 = 10 \]lub\[ n+1 = -10 \]Dla pierwszego przypadku:\[ n = 10 - 1 \]\[ n = 9 \]Dla drugiego przypadku:\[ n = -10 - 1 \]\[ n = -11 \]Ponieważ $n$ musi być liczbą naturalną dodatnią, rozwiązanie $n=-11$ odrzucamy. Jedynym prawidłowym rozwiązaniem jest $n=9$. Sprawdzenie:\[ a_9 = (9+1)^2 = 10^2 = 100 \]b) Wyznaczenie wyrazów ciągu $b_n$ o wartości -9: Mamy dane równanie:\[ n^4 - 10n^2 = -9 \]Przekształcamy równanie do postaci ogólnej:\[ n^4 - 10n^2 + 9 = 0 \]Wprowadzamy podstawienie $x = n^2$. Zauważamy, że $x$ musi być dodatnie, ponieważ $n$ jest liczbą naturalną.\[ x^2 - 10x + 9 = 0 \]Jest to równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 \]\[ \Delta = 100 - 36 \]\[ \Delta = 64 \]Obliczamy pierwiastki $x_1$ i $x_2$:\[ x_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]Wracamy do podstawienia $x = n^2$: Dla $x_1 = 1$:\[ n^2 = 1 \]\[ n = \sqrt{1} \]\[ n = 1 \](Odrzucamy $n=-1$, ponieważ $n$ musi być liczbą naturalną dodatnią). Dla $x_2 = 9$:\[ n^2 = 9 \]\[ n = \sqrt{9} \]\[ n = 3 \](Odrzucamy $n=-3$, ponieważ $n$ musi być liczbą naturalną dodatnią). Otrzymujemy dwa prawidłowe rozwiązania: $n=1$ i $n=3$. Sprawdzenie dla $n=1$:\[ b_1 = 1^4 - 10 \cdot 1^2 = 1 - 10 = -9 \]Sprawdzenie dla $n=3$:\[ b_3 = 3^4 - 10 \cdot 3^2 = 81 - 10 \cdot 9 = 81 - 90 = -9 \]c) Wyznaczenie wyrazów ciągu $c_n$ o wartości 15: Mamy dane równanie:\[ n^3 - 9n^2 + 23n = 15 \]Przenosimy stałą na lewą stronę, aby otrzymać równanie wielomianowe równe zero:\[ n^3 - 9n^2 + 23n - 15 = 0 \]Szukamy pierwiastków całkowitych wśród dzielników wyrazu wolnego (15). Sprawdzamy dodatnie dzielniki: $1, 3, 5, 15$. Sprawdzamy $n=1$:\[ P(1) = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 23 \cdot 1 - 15 = 1 - 9 + 23 - 15 = 24 - 24 = 0 \]Zatem $n=1$ jest pierwiastkiem. Dzielimy wielomian przez $(n-1)$ (np. używając schematu Hornera):\[ (n^3 - 9n^2 + 23n - 15) \div (n-1) = n^2 - 8n + 15 \]Więc równanie możemy zapisać jako:\[ (n-1)(n^2 - 8n + 15) = 0 \]Teraz rozwiązujemy równanie kwadratowe $n^2 - 8n + 15 = 0$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 \]\[ \Delta = 64 - 60 \]\[ \Delta = 4 \]Obliczamy pierwiastki $n_2$ i $n_3$:\[ n_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]\[ n_3 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]Otrzymujemy trzy prawidłowe rozwiązania: $n=1$, $n=3$ i $n=5$. Sprawdzenie dla $n=1$:\[ c_1 = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 23 \cdot 1 = 1 - 9 + 23 = 15 \]Sprawdzenie dla $n=3$:\[ c_3 = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 23 \cdot 3 = 27 - 9 \cdot 9 + 69 = 27 - 81 + 69 = 15 \]Sprawdzenie dla $n=5$:\[ c_5 = 5^3 - 9 \cdot 5^2 + 23 \cdot 5 = 125 - 9 \cdot 25 + 115 = 125 - 225 + 115 = 15 \]