Zastosowanie wiadomości o funkcji homograficznej w zadaniach kartkówka

17.10 Zastosowanie wiadomości o funkcji homograficznej w zadaniach

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wykaz, na podstawie definicji, że funkcja homograficzna określona wzorem: $f(x)=\frac{-3}{x+2}+4$ jest rosnąca w przedziałach $(-\infty, -2)$, $(-2, +\infty)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (5 pkt)

Funkcja homograficzna $f(x)=\frac{b-12x}{3x+d}$ jest malejąca w każdym z przedziałów: $(-\infty, 2)$, $(2, +\infty)$. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $A(3, -2\frac{1}{3})$. a) Oblicz współczynniki $b$ i $d$. b) Rozwiąż nierówność $f(x)\ge -x-2\frac{2}{3}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie współczynników $b$ i $d$: Asymptota pionowa funkcji homograficznej $f(x) = \frac{Ax+B}{Cx+D}$ znajduje się w miejscu, gdzie mianownik jest równy zero, czyli dla $Cx+D=0$. W naszym przypadku funkcja to $f(x) = \frac{b-12x}{3x+d}$. Asymptota pionowa to $x = -\frac{d}{3}$. Zgodnie z treścią zadania, funkcja jest malejąca w przedziałach $(-\infty, 2)$ i $(2, +\infty)$, co oznacza, że asymptota pionowa jest dla $x=2$.\[ -\frac{d}{3} = 2 \]\[ d = -6 \]Zatem funkcja przyjmuje postać:\[ f(x) = \frac{b-12x}{3x-6} \]Do wykresu funkcji należy punkt $A\left(3, -2\frac{1}{3}\right)$, czyli $f(3) = -\frac{7}{3}$. Podstawiamy współrzędne punktu $A$ do wzoru funkcji:\[ f(3) = \frac{b-12 \cdot 3}{3 \cdot 3 - 6} \]\[ f(3) = \frac{b-36}{9-6} \]\[ f(3) = \frac{b-36}{3} \]Porównujemy otrzymane wyrażenie z wartością $f(3) = -\frac{7}{3}$:\[ \frac{b-36}{3} = -\frac{7}{3} \]\[ b-36 = -7 \]\[ b = 29 \]Współczynniki wynoszą $b=29$ i $d=-6$. b) Rozwiązanie nierówności $f(x)\ge -x-2\frac{2}{3}$: Podstawiamy wzór funkcji $f(x) = \frac{29-12x}{3x-6}$ oraz $-2\frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$ do nierówności:\[ \frac{29-12x}{3x-6} \ge -x - \frac{8}{3} \]Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:\[ \frac{29-12x}{3x-6} + x + \frac{8}{3} \ge 0 \]Sprowadzamy do wspólnego mianownika $3(x-2)$ (zauważmy, że $3x-6 = 3(x-2)$):\[ \frac{29-12x}{3(x-2)} + \frac{x \cdot 3(x-2)}{3(x-2)} + \frac{8 \cdot (x-2)}{3(x-2)} \ge 0 \]Łączymy liczniki:\[ \frac{29-12x + 3x(x-2) + 8(x-2)}{3(x-2)} \ge 0 \]Rozwijamy i upraszczamy licznik:\[ \frac{29-12x + 3x^2-6x + 8x-16}{3(x-2)} \ge 0 \]\[ \frac{3x^2-10x+13}{3(x-2)} \ge 0 \]Analizujemy licznik $3x^2-10x+13$. Obliczamy wyróżnik (deltę):\[ \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 13 = 100 - 156 = -56 \]Ponieważ $\Delta < 0$ i współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($3>0$), trójmian kwadratowy $3x^2-10x+13$ jest zawsze dodatni dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Aby całe wyrażenie było nieujemne, mianownik musi być dodatni (nie może być zero):\[ 3(x-2) > 0 \]\[ x-2 > 0 \]\[ x > 2 \]Rozwiązaniem nierówności jest:\[ x \in (2, +\infty) \]

Zadanie 3 (4 pkt)

Z danego równania wyznacz y jako funkcję zmiennej x. Następnie wyznacz dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji. a) $\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = 3$ b) $\frac{4}{x} + \frac{1}{y-2} = 1$ c) $\frac{1}{x+2} - \frac{1}{y+3} = 1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Wyznaczenie y jako funkcji zmiennej x:\[\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = 3\]\[\frac{6}{y} = 3 - \frac{3}{x}\]\[\frac{6}{y} = \frac{3x - 3}{x}\]\[\frac{y}{6} = \frac{x}{3x - 3}\]\[y = \frac{6x}{3x - 3}\]\[y = \frac{2x}{x - 1}\]Wyznaczenie dziedziny funkcji: Warunki początkowe wymagają $x \neq 0$ i $y \neq 0$. Z funkcji $y = \frac{2x}{x - 1}$ wynika, że $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Zatem dziedzina funkcji to $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$. Wyznaczenie zbioru wartości funkcji:\[x = \frac{y}{y - 2}\]Z tego wynika, że $y - 2 \neq 0 \implies y \neq 2$. Zatem zbiór wartości funkcji to $W_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. b) Wyznaczenie y jako funkcji zmiennej x:\[\frac{4}{x} + \frac{1}{y-2} = 1\]\[\frac{1}{y-2} = 1 - \frac{4}{x}\]\[\frac{1}{y-2} = \frac{x - 4}{x}\]\[y - 2 = \frac{x}{x - 4}\]\[y = \frac{x}{x - 4} + 2\]\[y = \frac{x + 2(x - 4)}{x - 4}\]\[y = \frac{x + 2x - 8}{x - 4}\]\[y = \frac{3x - 8}{x - 4}\]Wyznaczenie dziedziny funkcji: Warunki początkowe wymagają $x \neq 0$ i $y-2 \neq 0 \implies y \neq 2$. Z funkcji $y = \frac{3x - 8}{x - 4}$ wynika, że $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$. Zatem dziedzina funkcji to $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0, 4\}$. Wyznaczenie zbioru wartości funkcji:\[x = \frac{4y - 8}{y - 3}\]Z tego wynika, że $y - 3 \neq 0 \implies y \neq 3$. Zatem zbiór wartości funkcji to $W_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$. c) Wyznaczenie y jako funkcji zmiennej x:\[\frac{1}{x+2} - \frac{1}{y+3} = 1\]\[-\frac{1}{y+3} = 1 - \frac{1}{x+2}\]\[-\frac{1}{y+3} = \frac{x+2 - 1}{x+2}\]\[-\frac{1}{y+3} = \frac{x+1}{x+2}\]\[\frac{1}{y+3} = -\frac{x+1}{x+2}\]\[y+3 = -\frac{x+2}{x+1}\]\[y = -\frac{x+2}{x+1} - 3\]\[y = \frac{-(x+2) - 3(x+1)}{x+1}\]\[y = \frac{-x-2-3x-3}{x+1}\]\[y = \frac{-4x - 5}{x+1}\]Wyznaczenie dziedziny funkcji: Warunki początkowe wymagają $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$ i $y+3 \neq 0 \implies y \neq -3$. Z funkcji $y = \frac{-4x - 5}{x+1}$ wynika, że $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Zatem dziedzina funkcji to $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1\}$. Wyznaczenie zbioru wartości funkcji:\[x = \frac{-y - 5}{y + 4}\]Z tego wynika, że $y + 4 \neq 0 \implies y \neq -4$. Zatem zbiór wartości funkcji to $W_f = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające równanie: a) $y = \frac{-3}{x} + 2$ b) $y = \frac{7}{x-2}$ c) $x + y - 6 = xy$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k, k \in \mathbb{R}$, dla których funkcja $h(x)=\frac{kx-2k-8}{x-k}$, gdzie $x \ne k$, jest funkcją homograficzną, malejącą w przedziałach $(-\infty, k), (k, +\infty)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Wykaz, na podstawie definicji, że funkcja homograficzna określona wzorem: $f(x)=\frac{-7}{x-3}+1$ jest rosnąca w przedziałach $(-\infty, 3)$, $(3, +\infty)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (5 pkt)

Funkcja homograficzna $f(x)=\frac{b-12x}{3x+d}$ jest malejąca w każdym z przedziałów: $(-\infty, -1)$, $(-1, +\infty)$. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $A(-2, 1\frac{1}{3})$. a) Oblicz współczynniki $b$ i $d$. b) Rozwiąż nierówność $f(x)\ge -x+1\frac{2}{3}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (4 pkt)

Z danego równania wyznacz y jako funkcję zmiennej x. Następnie wyznacz dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji. a) $\frac{4}{x} + \frac{8}{y} = 4$ b) $\frac{6}{x} + \frac{1}{y-4} = 1$ c) $\frac{1}{x+5} - \frac{1}{y+2} = 1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające równanie: a) $y = \frac{-4}{x} + 5$ b) $y = \frac{9}{x-3}$ c) $x + y - 8 = xy$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p, p \in \mathbb{R}$, dla których funkcja $h(x)=\frac{px-5p+6}{x-p}$, gdzie $x \ne p$, jest funkcją homograficzną, malejącą w przedziałach $(-\infty, p)$, $(p, +\infty)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

17.10 Zastosowanie wiadomości o funkcji homograficznej w zadaniach

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (5 pkt)

Zadanie 3 (4 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (4 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (5 pkt)

Zadanie 3 (4 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (4 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋