Funkcja homograficzna kartkówka - LiczBit

17.9 Funkcja homograficzna

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Wykres funkcji $y=\frac{4}{x}$, gdzie $x \neq 0$, przesunięto równolegle wzdłuż osi OY o 3 jednostki w górę i otrzymano wykres funkcji $f$. a) Napisz wzór funkcji $f$ i naszkicuj jej wykres w układzie współrzędnych. b) Podaj zbiór wartości funkcji $f$. c) Oblicz miejsce zerowe funkcji $f$. d) Wyznacz argument, dla którego wartość funkcji $f$ jest równa 5.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Wykres proporcjonalności odwrotnej $y=\frac{6}{x}$, gdzie $x \ne 0$, przesunięto równolegle o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. Następnie powstały wykres przesunięto o 3 jednostki w dół wzdłuż osi OY i otrzymano wykres funkcji $g$. a) Napisz wzór funkcji $g$ w postaci ilorazu wielomianów pierwszego stopnia. Podaj dziedzinę tej funkcji. b) Oblicz współrzędne punktów przecięcia się wykresu funkcji $g$ z osiami układu współrzędnych. c) Naszkicuj wykres funkcji $g$. Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $g$ przyjmuje wartości ujemne.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (6 pkt)

Wykres funkcji $f$ otrzymamy, przesuwając równolegle wykres proporcjonalności odwrotnej $y=\frac{a}{x}$, $a \neq 0$, o wektor $\vec{u}$. Wyznacz współczynnik $a$ oraz współrzędne wektora $\vec{u}$, jeśli: a) $f(x)=\frac{x+7}{x+2}$ b) $f(x)=\frac{4x-7}{x-3}$ c) $f(x)=\frac{x+3}{x+5}$ d) $f(x)=\frac{-4x+11}{x-2}$ e) $f(x)=\frac{3x}{4-x}$ f) $f(x)=\frac{3x-7}{4-x}.$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Przekształcamy funkcję $f(x)$ do postaci $y=\frac{a}{x-p}+q$.\[ f(x) = \frac{x+7}{x+2} \]\[ f(x) = \frac{(x+2)+5}{x+2} \]\[ f(x) = \frac{x+2}{x+2} + \frac{5}{x+2} \]\[ f(x) = 1 + \frac{5}{x+2} \]Porównując z $y=\frac{a}{x-p}+q$, otrzymujemy:\[ a = 5 \]\[ p = -2 \]\[ q = 1 \]Wektor przesunięcia $\vec{u}=[p,q]$.\[ \vec{u} = [-2, 1] \]b) Przekształcamy funkcję $f(x)$ do postaci $y=\frac{a}{x-p}+q$.\[ f(x) = \frac{4x-7}{x-3} \]\[ f(x) = \frac{4(x-3)+12-7}{x-3} \]\[ f(x) = \frac{4(x-3)}{x-3} + \frac{5}{x-3} \]\[ f(x) = 4 + \frac{5}{x-3} \]Porównując z $y=\frac{a}{x-p}+q$, otrzymujemy:\[ a = 5 \]\[ p = 3 \]\[ q = 4 \]Wektor przesunięcia $\vec{u}=[p,q]$.\[ \vec{u} = [3, 4] \]c) Przekształcamy funkcję $f(x)$ do postaci $y=\frac{a}{x-p}+q$.\[ f(x) = \frac{x+3}{x+5} \]\[ f(x) = \frac{(x+5)-5+3}{x+5} \]\[ f(x) = \frac{x+5}{x+5} - \frac{2}{x+5} \]\[ f(x) = 1 - \frac{2}{x+5} \]Porównując z $y=\frac{a}{x-p}+q$, otrzymujemy:\[ a = -2 \]\[ p = -5 \]\[ q = 1 \]Wektor przesunięcia $\vec{u}=[p,q]$.\[ \vec{u} = [-5, 1] \]d) Przekształcamy funkcję $f(x)$ do postaci $y=\frac{a}{x-p}+q$.\[ f(x) = \frac{-4x+11}{x-2} \]\[ f(x) = \frac{-4(x-2)-8+11}{x-2} \]\[ f(x) = \frac{-4(x-2)}{x-2} + \frac{3}{x-2} \]\[ f(x) = -4 + \frac{3}{x-2} \]Porównując z $y=\frac{a}{x-p}+q$, otrzymujemy:\[ a = 3 \]\[ p = 2 \]\[ q = -4 \]Wektor przesunięcia $\vec{u}=[p,q]$.\[ \vec{u} = [2, -4] \]e) Przekształcamy funkcję $f(x)$ do postaci $y=\frac{a}{x-p}+q$.\[ f(x) = \frac{3x}{4-x} \]\[ f(x) = \frac{-3x}{x-4} \]\[ f(x) = \frac{-3(x-4)-12}{x-4} \]\[ f(x) = \frac{-3(x-4)}{x-4} - \frac{12}{x-4} \]\[ f(x) = -3 - \frac{12}{x-4} \]Porównując z $y=\frac{a}{x-p}+q$, otrzymujemy:\[ a = -12 \]\[ p = 4 \]\[ q = -3 \]Wektor przesunięcia $\vec{u}=[p,q]$.\[ \vec{u} = [4, -3] \]f) Przekształcamy funkcję $f(x)$ do postaci $y=\frac{a}{x-p}+q$.\[ f(x) = \frac{3x-7}{4-x} \]\[ f(x) = \frac{-(3x-7)}{x-4} \]\[ f(x) = \frac{-3x+7}{x-4} \]\[ f(x) = \frac{-3(x-4)-12+7}{x-4} \]\[ f(x) = \frac{-3(x-4)}{x-4} - \frac{5}{x-4} \]\[ f(x) = -3 - \frac{5}{x-4} \]Porównując z $y=\frac{a}{x-p}+q$, otrzymujemy:\[ a = -5 \]\[ p = 4 \]\[ q = -3 \]Wektor przesunięcia $\vec{u}=[p,q]$.\[ \vec{u} = [4, -3] \]

Zadanie 4 (3 pkt)

Funkcja $f(x) = \frac{-x+b}{x+5}$, gdzie $x \neq -5$, jest funkcją homograficzną. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $P(-2, 1)$. a) Oblicz współczynnik b. b) Naszkicuj wykres funkcji f i omów własności tej funkcji. c) Wyznacz argument, dla którego funkcja f przyjmuje wartość -5.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Funkcja homograficzna $f(x) = \frac{-3x + b}{x + d}$ jest rosnąca w przedziałach $(-\infty, -5)$ oraz $(-5, +\infty)$, a jej wykres przecina oś OY w punkcie o rzędnej $-4$. a) Oblicz współczynniki $b$ i $d$. b) Naszkicuj wykres funkcji $f$ w układzie współrzędnych. c) Wyznacz punkty wspólne wykresu funkcji $f$ i wykresu funkcji $g(x) = x+8$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Wykres funkcji $y=\frac{2}{x}$, gdzie $x \neq 0$, przesunięto równolegle wzdłuż osi OY o 1 jednostkę w dół i otrzymano wykres funkcji $f$. a) Napisz wzór funkcji $f$ i naszkicuj jej wykres w układzie współrzędnych. b) Podaj zbiór wartości funkcji $f$. c) Oblicz miejsce zerowe funkcji $f$. d) Wyznacz argument, dla którego wartość funkcji $f$ jest równa 5.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Wykres proporcjonalności odwrotnej $y=\frac{5}{x}$, gdzie $x \ne 0$, przesunięto równolegle o 1 jednostkę w lewo wzdłuż osi OX. Następnie powstały wykres przesunięto o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY i otrzymano wykres funkcji $g$. a) Napisz wzór funkcji $g$ w postaci ilorazu wielomianów pierwszego stopnia. Podaj dziedzinę tej funkcji. b) Oblicz współrzędne punktów przecięcia się wykresu funkcji $g$ z osiami układu współrzędnych. c) Naszkicuj wykres funkcji $g$. Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $g$ przyjmuje wartości ujemne.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (6 pkt)

Wykres funkcji $f$ otrzymamy, przesuwając równolegle wykres proporcjonalności odwrotnej $y=\frac{a}{x}$, $a \neq 0$, o wektor $\vec{u}$. Wyznacz współczynnik $a$ oraz współrzędne wektora $\vec{u}$, jeśli: a) $f(x)=\frac{x+9}{x+4}$ b) $f(x)=\frac{2x-3}{x-1}$ c) $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ d) $f(x)=\frac{-6x+17}{x-3}$ e) $f(x)=\frac{5x}{6-x}$ f) $f(x)=\frac{x-3}{2-x}.$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Funkcja $f(x) = \frac{-x+b}{x+5}$, gdzie $x \neq -5$, jest funkcją homograficzną. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $P(-4, -2)$. a) Oblicz współczynnik b. b) Naszkicuj wykres funkcji f i omów własności tej funkcji. c) Wyznacz argument, dla którego funkcja f przyjmuje wartość 3.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Funkcja homograficzna $f(x) = \frac{-3x + b}{x + d}$ jest rosnąca w przedziałach $(-\infty, -6)$ oraz $(-6, +\infty)$, a jej wykres przecina oś OY w punkcie o rzędnej $-5$. a) Oblicz współczynniki $b$ i $d$. b) Naszkicuj wykres funkcji $f$ w układzie współrzędnych. c) Wyznacz punkty wspólne wykresu funkcji $f$ i wykresu funkcji $g(x) = 4x+37$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi