Aby wykazać daną nierówność, zastosujemy nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM). Liczby $a, b, c, d$ są dodatnie, więc wszystkie składniki sumy są dodatnie. Nierówność AM-GM dla czterech dodatnich liczb $x_1, x_2, x_3, x_4$ ma postać:\[ \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} \ge \sqrt[4]{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4} \]Przyjmujemy składniki sumy jako:\[ x_1 = \frac{c^2 d^2}{a^2 b^2} \]\[ x_2 = \frac{a^2 d^2}{b^2 c^2} \]\[ x_3 = \frac{a^2 b^2}{c^2 d^2} \]\[ x_4 = \frac{b^2 c^2}{a^2 d^2} \]Obliczamy iloczyn tych czterech składników:\[ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = \frac{c^2 d^2}{a^2 b^2} \cdot \frac{a^2 d^2}{b^2 c^2} \cdot \frac{a^2 b^2}{c^2 d^2} \cdot \frac{b^2 c^2}{a^2 d^2} \]\[ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = \frac{c^2 \cdot d^2 \cdot a^2 \cdot d^2 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b^2 \cdot c^2}{a^2 \cdot b^2 \cdot b^2 \cdot c^2 \cdot c^2 \cdot d^2 \cdot a^2 \cdot d^2} \]\[ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = \frac{a^4 b^4 c^4 d^4}{a^4 b^4 c^4 d^4} \]\[ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = 1 \]Podstawiamy iloczyn do nierówności AM-GM:\[ \frac{\frac{c^2 d^2}{a^2 b^2} + \frac{a^2 d^2}{b^2 c^2} + \frac{a^2 b^2}{c^2 d^2} + \frac{b^2 c^2}{a^2 d^2}}{4} \ge \sqrt[4]{1} \]Upraszczamy prawą stronę:\[ \frac{\frac{c^2 d^2}{a^2 b^2} + \frac{a^2 d^2}{b^2 c^2} + \frac{a^2 b^2}{c^2 d^2} + \frac{b^2 c^2}{a^2 d^2}}{4} \ge 1 \]Mnożymy obie strony przez 4:\[ \frac{c^2 d^2}{a^2 b^2} + \frac{a^2 d^2}{b^2 c^2} + \frac{a^2 b^2}{c^2 d^2} + \frac{b^2 c^2}{a^2 d^2} \ge 4 \]Dowód został przeprowadzony.