Nierówności wymierne kartkówka

17.7 Nierówności wymierne

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Rozwiąż daną nierówność a)$\frac{3}{1-x} < 0$ b)$\frac{4-x}{x} \le 0$ c)$\frac{x^2+6x+9}{x^2+5} > 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Rozważamy nierówność:\[ \frac{3}{1-x} < 0 \]Dziedzina nierówności wymaga, aby mianownik był różny od zera:\[ 1-x \neq 0 \]\[ x \neq 1 \]Licznik jest stałą dodatnią:\[ 3 > 0 \]Aby cały ułamek był ujemny, mianownik musi być ujemny:\[ 1-x < 0 \]Odejmujemy 1 od obu stron:\[ -x < -1 \]Mnożymy obie strony przez $-1$ i zmieniamy kierunek nierówności:\[ x > 1 \]Rozwiązaniem nierówności jest:\[ x \in (1, +\infty) \]b) Rozważamy nierówność:\[ \frac{4-x}{x} \le 0 \]Dziedzina nierówności wymaga, aby mianownik był różny od zera:\[ x \neq 0 \]Znajdujemy miejsca zerowe licznika i mianownika:\[ 4-x = 0 \implies x = 4 \]\[ x = 0 \]Analizujemy znak ilorazu w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe licznika i mianownika. Dla $x < 0$:Licznik $(4-x)$ jest dodatni. Mianownik $x$ jest ujemny. Iloraz jest ujemny. Dla $0 < x < 4$: Licznik $(4-x)$ jest dodatni. Mianownik $x$ jest dodatni. Iloraz jest dodatni. Dla $x > 4$: Licznik $(4-x)$ jest ujemny. Mianownik $x$ jest dodatni. Iloraz jest ujemny. Uwzględniamy również przypadek, gdy ułamek jest równy zero, co ma miejsce, gdy licznik jest równy zero, czyli dla $x=4$:\[ x=4 \]Punkt $x=0$ jest wykluczony z dziedziny. Zatem rozwiązaniem jest:\[ x \in (-\infty, 0) \cup [4, +\infty) \]c) Analiza nierówności:Rozważamy nierówność:\[ \frac{x^2+6x+9}{x^2+5} > 0 \]Analizujemy licznik:\[ x^2+6x+9 = (x+3)^2 \]Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny:\[ (x+3)^2 \ge 0 \quad \text{dla każdego } x \in \mathbb{R} \]Analizujemy mianownik:\[ x^2+5 \]Ponieważ $x^2 \ge 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, to:\[ x^2+5 \ge 0+5 \]\[ x^2+5 \ge 5 \]Zatem mianownik jest zawsze dodatni:\[ x^2+5 > 0 \quad \text{dla każdego } x \in \mathbb{R} \]Aby cały ułamek był większy od zera (dodatni), a mianownik jest zawsze dodatni, licznik musi być dodatni:\[ (x+3)^2 > 0 \]Ta nierówność jest spełniona dla wszystkich wartości $x$, dla których $x+3 \neq 0$:\[ x+3 \neq 0 \]\[ x \neq -3 \]Rozwiązaniem nierówności jest:\[ x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty) \]

Zadanie 2 (3 pkt)

Rozwiąż daną nierówność a) $\frac{x^2 - 6x}{x + 2} \le 0$ b) $\frac{x - 2}{x + 4} < \frac{x}{x + 3}$ c) $\frac{3x^2 + 4x - 5}{x^2 + 2x - 8} > 3$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Określenie dziedziny nierówności:Mianownik nie może być równy zero.\[ x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2 \]Rozłożenie licznika na czynniki:\[ x^2 - 6x = x(x - 6) \]Nierówność przyjmuje postać:\[ \frac{x(x - 6)}{x + 2} \le 0 \]Miejsca zerowe licznika i mianownika: $x = 0$, $x = 6$, $x = -2$. Analiza znaków na osi liczbowej (metoda "wężyka") prowadzi do następujących przedziałów spełniających nierówność:\[ x \in (-\infty, -2) \cup [0, 6] \]b) Określenie dziedziny nierówności:Mianowniki nie mogą być równe zero.\[ x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4 \]\[ x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3 \]Przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę:\[ \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{x}{x + 3} < 0 \]Sprowadzenie do wspólnego mianownika:\[ \frac{(x - 2)(x + 3) - x(x + 4)}{(x + 4)(x + 3)} < 0 \]Uproszczenie licznika:\[ \frac{(x^2 + x - 6) - (x^2 + 4x)}{(x + 4)(x + 3)} < 0 \]\[ \frac{-3x - 6}{(x + 4)(x + 3)} < 0 \]Wyłączenie -3 z licznika i pomnożenie nierówności przez -1 (zmieniając jej kierunek):\[ \frac{-3(x + 2)}{(x + 4)(x + 3)} < 0 \quad \implies \quad \frac{3(x + 2)}{(x + 4)(x + 3)} > 0 \]Miejsca zerowe licznika i mianownika: $x = -2$, $x = -4$, $x = -3$. Analiza znaków na osi liczbowej prowadzi do następujących przedziałów spełniających nierówność:\[ x \in (-4, -3) \cup (-2, \infty) \]c) Określenie dziedziny nierówności:Mianownik nie może być równy zero.\[ x^2 + 2x - 8 \neq 0 \]Obliczenie pierwiastków mianownika:\[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]\[ x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \quad \text{oraz} \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \]Dlatego $x \neq -4$ i $x \neq 2$. Przeniesienie stałej na lewą stronę:\[ \frac{3x^2 + 4x - 5}{x^2 + 2x - 8} - 3 > 0 \]Sprowadzenie do wspólnego mianownika:\[ \frac{3x^2 + 4x - 5 - 3(x^2 + 2x - 8)}{x^2 + 2x - 8} > 0 \]Uproszczenie licznika:\[ \frac{3x^2 + 4x - 5 - 3x^2 - 6x + 24}{x^2 + 2x - 8} > 0 \]\[ \frac{-2x + 19}{x^2 + 2x - 8} > 0 \]Rozłożenie mianownika na czynniki liniowe:\[ x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) \]Nierówność przyjmuje postać:\[ \frac{-2x + 19}{(x + 4)(x - 2)} > 0 \]Wyłączenie -1 z licznika i pomnożenie nierówności przez -1 (zmieniając jej kierunek):\[ \frac{-(2x - 19)}{(x + 4)(x - 2)} > 0 \quad \implies \quad \frac{2x - 19}{(x + 4)(x - 2)} < 0 \]Miejsca zerowe licznika i mianownika: $x = \frac{19}{2} = 9.5$, $x = -4$, $x = 2$. Analiza znaków na osi liczbowej prowadzi do następujących przedziałów spełniających nierówność:\[ x \in (-\infty, -4) \cup (2, 9.5) \]

Zadanie 3 (3 pkt)

Rozwiąż daną nierówność a) $\frac{x-1}{x-2} - \frac{1}{x-4} - \frac{6}{x^2-6x+8} < 0$ b) $\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x-1} \ge \frac{x-7}{x^2+2x-3} - 1$ c) $\frac{-x}{x^3+2x^2} \ge \frac{3-2x}{x^3-4x^2}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Rozwiązanie nierówności: $ \frac{x-1}{x-2} - \frac{1}{x-4} - \frac{6}{x^2-6x+8} < 0$ 1. Określenie dziedziny nierówności: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$ $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$ $x^2-6x+8 = (x-2)(x-4) \neq 0$ Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{2, 4\}$. 2. Sprowadzenie wyrażeń do wspólnego mianownika:\[ \frac{(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-4)} - \frac{1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x-4)} - \frac{6}{(x-2)(x-4)} < 0 \]\[ \frac{(x^2-5x+4) - (x-2) - 6}{(x-2)(x-4)} < 0 \]3. Uproszczenie licznika:\[ x^2-5x+4-x+2-6 = x^2-6x \]Nierówność przyjmuje postać:\[ \frac{x^2-6x}{(x-2)(x-4)} < 0 \]4. Rozłożenie licznika na czynniki:\[ \frac{x(x-6)}{(x-2)(x-4)} < 0 \]5. Wyznaczenie miejsc zerowych licznika i mianownika: Miejsca zerowe licznika: $x=0$, $x=6$. Miejsca zerowe mianownika: $x=2$, $x=4$ (wykluczone z dziedziny). Krytyczne punkty to: $0, 2, 4, 6$. 6. Analiza znaku wyrażenia (metoda wężyka): - Dla $x \in (-\infty, 0)$: wyrażenie jest dodatnie. - Dla $x \in (0, 2)$: wyrażenie jest ujemne. - Dla $x \in (2, 4)$: wyrażenie jest dodatnie. - Dla $x \in (4, 6)$: wyrażenie jest ujemne. - Dla $x \in (6, \infty)$: wyrażenie jest dodatnie. 7. Zapisanie rozwiązania:\[ x \in (0, 2) \cup (4, 6) \]b) Rozwiązanie nierówności: $ \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x-1} \ge \frac{x-7}{x^2+2x-3} - 1$ 1. Określenie dziedziny nierówności: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$ $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$ $x^2+2x-3 = (x+3)(x-1) \neq 0$ Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 1\}$. 2. Przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę i sprowadzenie do wspólnego mianownika:\[ \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x-1} - \frac{x-7}{(x+3)(x-1)} + 1 \ge 0 \]\[ \frac{1 \cdot (x-1)}{(x+3)(x-1)} - \frac{1 \cdot (x+3)}{(x+3)(x-1)} - \frac{x-7}{(x+3)(x-1)} + \frac{(x+3)(x-1)}{(x+3)(x-1)} \ge 0 \]\[ \frac{(x-1) - (x+3) - (x-7) + (x^2+2x-3)}{(x+3)(x-1)} \ge 0 \]3. Uproszczenie licznika:\[ x-1-x-3-x+7+x^2+2x-3 = x^2+x \]Nierówność przyjmuje postać:\[ \frac{x^2+x}{(x+3)(x-1)} \ge 0 \]4. Rozłożenie licznika na czynniki:\[ \frac{x(x+1)}{(x+3)(x-1)} \ge 0 \]5. Wyznaczenie miejsc zerowych licznika i mianownika: Miejsca zerowe licznika: $x=0$, $x=-1$. Miejsca zerowe mianownika: $x=-3$, $x=1$ (wykluczone z dziedziny). Krytyczne punkty to: $-3, -1, 0, 1$. 6. Analiza znaku wyrażenia (metoda wężyka): - Dla $x \in (-\infty, -3)$: wyrażenie jest dodatnie. - Dla $x \in (-3, -1)$: wyrażenie jest ujemne. - Dla $x \in [-1, 0]$: wyrażenie jest dodatnie. - Dla $x \in (0, 1)$: wyrażenie jest ujemne. - Dla $x \in (1, \infty)$: wyrażenie jest dodatnie. 7. Zapisanie rozwiązania:\[ x \in (-\infty, -3) \cup [-1, 0] \cup (1, \infty) \]c) Rozwiązanie nierówności: $ \frac{-x}{x^3+2x^2} \ge \frac{3-2x}{x^3-4x^2}$ 1. Określenie dziedziny nierówności: $x^3+2x^2 = x^2(x+2) \neq 0 \implies x \neq 0 \text{ i } x \neq -2$ $x^3-4x^2 = x^2(x-4) \neq 0 \implies x \neq 0 \text{ i } x \neq 4$ Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 4\}$. 2. Przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę i sprowadzenie do wspólnego mianownika:\[ \frac{-x}{x^2(x+2)} - \frac{3-2x}{x^2(x-4)} \ge 0 \]\[ \frac{-x(x-4)}{x^2(x+2)(x-4)} - \frac{(3-2x)(x+2)}{x^2(x+2)(x-4)} \ge 0 \]\[ \frac{-x(x-4) - (3-2x)(x+2)}{x^2(x+2)(x-4)} \ge 0 \]3. Uproszczenie licznika:\[ (-x^2+4x) - (-2x^2-x+6) \]\[ -x^2+4x+2x^2+x-6 = x^2+5x-6 \]Nierówność przyjmuje postać:\[ \frac{x^2+5x-6}{x^2(x+2)(x-4)} \ge 0 \]4. Rozłożenie licznika na czynniki:\[ \frac{(x+6)(x-1)}{x^2(x+2)(x-4)} \ge 0 \]5. Wyznaczenie miejsc zerowych licznika i mianownika: Miejsca zerowe licznika: $x=-6$, $x=1$. Miejsca zerowe mianownika: $x=-2$, $x=0$, $x=4$ (wykluczone z dziedziny). Krytyczne punkty to: $-6, -2, 0, 1, 4$. 6. Analiza znaku wyrażenia (metoda węzyka): - Dla $x \in (-\infty, -6]$: wyrażenie jest dodatnie. - Dla $x \in (-6, -2)$: wyrażenie jest ujemne. - Dla $x \in (-2, 0)$: wyrażenie jest dodatnie. - Dla $x \in (0, 1]$: wyrażenie jest dodatnie. - Dla $x \in (1, 4)$: wyrażenie jest ujemne. - Dla $x \in (4, \infty)$: wyrażenie jest dodatnie. 7. Zapisanie rozwiązania:\[ x \in (-\infty, -6] \cup (-2, 0) \cup (0, 1] \cup (4, \infty) \]

Zadanie 4 (3 pkt)

Rozwiąż daną nierówność a) $$\frac{36}{x^2} + 5 \cdot \frac{6}{x} - 6 < 0$$ b) $$\frac{x^4}{x^2 + 6x + 9} \ge \frac{x^2}{x + 3}$$ c) $$\left(3 - \frac{2}{x+5}\right) \left(3 + \frac{3}{x+5}\right) \le 0$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie rozwiązania nierówności: $$\frac{36}{x^2} + 5 \cdot \frac{6}{x} - 6 < 0$$ Zakładamy $x \neq 0$. Dokonujemy podstawienia $t = \frac{6}{x}$. Wtedy $t^2 = \frac{36}{x^2}$. Nierówność przyjmuje postać: $$t^2 + 5t - 6 < 0$$ Szukamy pierwiastków równania kwadratowego $t^2 + 5t - 6 = 0$: $$(t+6)(t-1) = 0$$ Pierwiastki to $t_1 = -6$ oraz $t_2 = 1$. Nierówność $t^2 + 5t - 6 < 0$ jest spełniona dla: $$-6 < t < 1$$ Podstawiamy z powrotem $t = \frac{6}{x}$: $$-6 < \frac{6}{x} < 1$$ To równoważne jest układowi dwóch nierówności: 1) Obliczenie rozwiązania dla pierwszej nierówności: $$\frac{6}{x} > -6$$ $$\frac{6}{x} + 6 > 0$$ $$\frac{6 + 6x}{x} > 0$$ $$\frac{6(1+x)}{x} > 0$$ Miejsca zerowe licznika i mianownika to $x = -1$ oraz $x = 0$. Analizując znak wyrażenia, otrzymujemy: $$x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$$ 2) Obliczenie rozwiązania dla drugiej nierówności: $$\frac{6}{x} < 1$$ $$\frac{6}{x} - 1 < 0$$ $$\frac{6 - x}{x} < 0$$ Miejsca zerowe licznika i mianownika to $x = 6$ oraz $x = 0$. Analizując znak wyrażenia, otrzymujemy: $$x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$$ Ostatecznym rozwiązaniem jest część wspólna obu zbiorów rozwiązań: $$x \in (-\infty, -1) \cup (6, \infty)$$ b) Obliczenie rozwiązania nierówności: $$\frac{x^4}{x^2 + 6x + 9} \ge \frac{x^2}{x + 3}$$ Określamy dziedzinę. Mianowniki nie mogą być równe zero: $$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \neq 0 \implies x \neq -3$$ $$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$$ Dziedzina to $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$. Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$\frac{x^4}{(x+3)^2} - \frac{x^2}{x + 3} \ge 0$$ $$\frac{x^4}{(x+3)^2} - \frac{x^2(x+3)}{(x+3)^2} \ge 0$$ $$\frac{x^4 - x^3 - 3x^2}{(x+3)^2} \ge 0$$ Wyłączamy $x^2$ z licznika: $$\frac{x^2(x^2 - x - 3)}{(x+3)^2} \ge 0$$ Zauważamy, że $x^2 \ge 0$ dla każdego $x$, a $(x+3)^2 > 0$ dla $x \neq -3$. Zatem znak całej nierówności zależy od $(x^2 - x - 3) \ge 0$, z uwzględnieniem $x=0$ oraz $x \neq -3$. Szukamy pierwiastków równania kwadratowego $x^2 - x - 3 = 0$: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$$ Pierwiastki to $x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ oraz $x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$. Nierówność $x^2 - x - 3 \ge 0$ jest spełniona dla: $$x \in \left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\right] \cup \left[\frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \infty\right)$$ Punkt $x=0$ musi być uwzględniony, ponieważ dla niego nierówność jest spełniona (0=0). Punkt $x=-3$ (z mianownika) musi być wykluczony. Ostateczne rozwiązanie to: $$x \in \left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\right] \setminus \{-3\} \cup \{0\} \cup \left[\frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \infty\right)$$ c) Obliczenie rozwiązania nierówności: $$\left(3 - \frac{2}{x+5}\right) \left(3 + \frac{3}{x+5}\right) \le 0$$ Określamy dziedzinę. Mianownik $x+5$ nie może być równy zero: $$x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$$ Dziedzina to $D = \mathbb{R} \setminus \{-5\}$. Upraszczamy każdy z nawiasów: 1) Uproszczenie pierwszego nawiasu: $$3 - \frac{2}{x+5} = \frac{3(x+5) - 2}{x+5} = \frac{3x + 15 - 2}{x+5} = \frac{3x + 13}{x+5}$$ 2) Uproszczenie drugiego nawiasu: $$3 + \frac{3}{x+5} = \frac{3(x+5) + 3}{x+5} = \frac{3x + 15 + 3}{x+5} = \frac{3x + 18}{x+5}$$ Podstawiamy uproszczone wyrażenia do nierówności: $$\frac{3x+13}{x+5} \cdot \frac{3x+18}{x+5} \le 0$$ $$\frac{(3x+13)(3x+18)}{(x+5)^2} \le 0$$ Zauważamy, że $(x+5)^2 > 0$ dla $x \neq -5$. Zatem znak całej nierówności zależy od znaku licznika $(3x+13)(3x+18)$. Rozwiązujemy nierówność $(3x+13)(3x+18) \le 0$. Znajdujemy pierwiastki: $$3x+13 = 0 \implies x = -\frac{13}{3}$$ $$3x+18 = 0 \implies x = -6$$ Nierówność kwadratowa $(3x+13)(3x+18) \le 0$ jest spełniona dla $x$ znajdujących się między pierwiastkami, włącznie z nimi: $$-6 \le x \le -\frac{13}{3}$$ Musimy uwzględnić dziedzinę $x \neq -5$. Punkt $x=-5$ leży wewnątrz tego przedziału, więc musimy go wykluczyć. Ostateczne rozwiązanie to: $$x \in [-6, -5) \cup \left(-5, -\frac{13}{3}\right]$$

Zadanie 5 (3 pkt)

Rozwiąż nierówność a) $$ \frac{3}{|x+1|} \ge \frac{1}{2} $$ b) $$ \left| \frac{x+2}{2x-3} \right| > 1 $$ c) $$ \left| \frac{x-2}{x+4} \right| \le 3 $$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Rozwiążmy nierówność: \[ \frac{3}{|x+1|} \ge \frac{1}{2} \]Zakładamy, że $x+1 \ne 0$, czyli $x \ne -1$. Ponieważ $|x+1| > 0$, możemy pomnożyć obie strony przez $2|x+1|$:\[ 6 \ge |x+1| \]Co jest równoważne:\[ |x+1| \le 6 \]Nierówność z wartością bezwzględną $|A| \le B$ jest równoważna $-B \le A \le B$. Zatem:\[ -6 \le x+1 \le 6 \]Odejmujemy 1 od wszystkich części nierówności:\[ -6 - 1 \le x \le 6 - 1 \]\[ -7 \le x \le 5 \]Pamiętając o warunku $x \ne -1$, ostateczne rozwiązanie to:\[ x \in [-7, -1) \cup (-1, 5] \]b) Rozwiążmy nierówność: \[ \left| \frac{x+2}{2x-3} \right| > 1 \]Zakładamy, że $2x-3 \ne 0$, czyli $x \ne \frac{3}{2}$. Nierówność $|A| > B$ jest równoważna $A > B$ lub $A < -B$.Rozpatrujemy dwa przypadki. Pierwszy przypadek: \[ \frac{x+2}{2x-3} > 1 \]Przenosimy 1 na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:\[ \frac{x+2}{2x-3} - 1 > 0 \]\[ \frac{x+2 - (2x-3)}{2x-3} > 0 \]\[ \frac{x+2 - 2x + 3}{2x-3} > 0 \]\[ \frac{-x+5}{2x-3} > 0 \]Iloczyn licznika i mianownika musi być dodatni (gdyż mianownik jest różny od zera):\[ (-x+5)(2x-3) > 0 \]Miejsca zerowe to $x = 5$ i $x = \frac{3}{2}$. Z analizy znaku funkcji kwadratowej wynika, że nierówność jest spełniona dla:\[ x \in \left( \frac{3}{2}, 5 \right) \]Drugi przypadek: \[ \frac{x+2}{2x-3} < -1 \]Przenosimy -1 na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:\[ \frac{x+2}{2x-3} + 1 < 0 \]\[ \frac{x+2 + (2x-3)}{2x-3} < 0 \]\[ \frac{3x-1}{2x-3} < 0 \]Iloczyn licznika i mianownika musi być ujemny:\[ (3x-1)(2x-3) < 0 \]Miejsca zerowe to $x = \frac{1}{3}$ i $x = \frac{3}{2}$. Z analizy znaku funkcji kwadratowej wynika, że nierówność jest spełniona dla:\[ x \in \left( \frac{1}{3}, \frac{3}{2} \right) \]Rozwiązaniem całej nierówności jest suma rozwiązań z obu przypadków:\[ x \in \left( \frac{1}{3}, \frac{3}{2} \right) \cup \left( \frac{3}{2}, 5 \right) \]c) Rozwiążmy nierówność: \[ \left| \frac{x-2}{x+4} \right| \le 3 \]Zakładamy, że $x+4 \ne 0$, czyli $x \ne -4$. Nierówność $|A| \le B$ jest równoważna $-B \le A \le B$. Zatem:\[ -3 \le \frac{x-2}{x+4} \le 3 \]Dzielimy to na dwie oddzielne nierówności: Pierwsza nierówność: \[ \frac{x-2}{x+4} \le 3 \]Przenosimy 3 na lewą stronę:\[ \frac{x-2}{x+4} - 3 \le 0 \]\[ \frac{x-2 - 3(x+4)}{x+4} \le 0 \]\[ \frac{x-2 - 3x - 12}{x+4} \le 0 \]\[ \frac{-2x-14}{x+4} \le 0 \]Mnożymy licznik i mianownik przez -1, zmieniając znak nierówności:\[ \frac{2x+14}{x+4} \ge 0 \]Iloczyn $(2x+14)(x+4)$ ma miejsca zerowe $x=-7$ i $x=-4$. Nierówność jest spełniona dla:\[ x \in (-\infty, -7] \cup (-4, \infty) \]Druga nierówność: \[ \frac{x-2}{x+4} \ge -3 \]Przenosimy -3 na lewą stronę:\[ \frac{x-2}{x+4} + 3 \ge 0 \]\[ \frac{x-2 + 3(x+4)}{x+4} \ge 0 \]\[ \frac{x-2 + 3x + 12}{x+4} \ge 0 \]\[ \frac{4x+10}{x+4} \ge 0 \]Iloczyn $(4x+10)(x+4)$ ma miejsca zerowe $x=-\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$ i $x=-4$. Nierówność jest spełniona dla:\[ x \in (-\infty, -4) \cup \left[ -\frac{5}{2}, \infty \right) \]Rozwiązaniem całej nierówności jest część wspólna rozwiązań obu przypadków:\[ ( (-\infty, -7] \cup (-4, \infty) ) \cap ( (-\infty, -4) \cup [-\frac{5}{2}, \infty) ) \]Wynosi to:\[ x \in (-\infty, -7] \cup \left[ -\frac{5}{2}, \infty \right) \]

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Rozwiąż daną nierówność a)$\frac{7}{3-x} < 0$ b)$\frac{2-x}{x} \le 0$ c)$\frac{x^2-4x+4}{x^2+1} > 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Rozwiąż daną nierówność a) $\frac{x^2 - 9x}{x + 3} \le 0$ b) $\frac{x - 3}{x + 5} < \frac{x}{x + 4}$ c) $\frac{4x^2 + 5x - 6}{x^2 + 3x - 10} > 4$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Rozwiąż daną nierówność a) $\frac{x-1}{x-3} - \frac{1}{x-2} - \frac{5}{x^2-5x+6} < 0$ b) $\frac{1}{x+5} - \frac{1}{x-3} \ge \frac{x-23}{x^2+2x-15} - 1$ c) $\frac{-x}{x^3+3x^2} \ge \frac{4-2x}{x^3-2x^2}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Rozwiąż daną nierówność a) $$\frac{9}{x^2} + 2 \cdot \frac{3}{x} - 3 < 0$$ b) $$\frac{x^4}{x^2 + 8x + 16} \ge \frac{x^2}{x + 4}$$ c) $$\left(1 - \frac{4}{x+2}\right) \left(1 + \frac{5}{x+2}\right) \le 0$$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Rozwiąż nierówność a) $$ \frac{4}{|x+3|} \ge \frac{1}{2} $$ b) $$ \left| \frac{x+3}{4x-7} \right| > 1 $$ c) $$ \left| \frac{x-3}{x+5} \right| \le 2 $$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

17.7 Nierówności wymierne

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋