Zadania tekstowe prowadzące do równań wymiernych kartkówka - LiczBit

17.6 Zadania tekstowe prowadzące do równań wymiernych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Suma licznika i mianownika ułamka należącego do przedziału (0, 1) jest równa 10. Jeśli licznik tego ułamka zwiększymy o 2, a mianownik zwiększymy o 8, to otrzymamy ułamek równy początkowemu. Wyznacz ten ułamek.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Turysta przebył na rowerze trasę 300 km, pokonując każdego dnia taką samą liczbę kilometrów. Gdyby codziennie pokonywał o 5 km mniej, to byłby w drodze o 3 dni dłużej. Ile dni był turysta w drodze?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Oznaczmy: $D$ - całkowita długość trasy $d$ - liczba dni, jaką turysta był w drodze $v$ - średnia liczba kilometrów pokonywanych każdego dnia Z zadania wiemy, że $D = 300 \text{ km}$. 1) Sytuacja oryginalna: Trasa jest równa iloczynowi liczby dni i średniej dziennej liczby kilometrów.\[ D = d \cdot v \]Podstawiamy $D = 300$: \[ 300 = d \cdot v \]Z tego równania wyznaczamy $v$: \[ v = \frac{300}{d} \]2) Sytuacja hipotetyczna: Gdyby turysta pokonywał o $5 \text{ km}$ mniej dziennie, czyli $v - 5$, byłby w drodze o $3$ dni dłużej, czyli $d + 3$. Trasa jest taka sama.\[ D = (d + 3) \cdot (v - 5) \]Podstawiamy $D = 300$: \[ 300 = (d + 3) \cdot (v - 5) \]3) Rozwiązanie układu równań: Podstawiamy wyrażenie na $v$ z pierwszego równania do drugiego:\[ 300 = (d + 3) \cdot \left(\frac{300}{d} - 5\right) \]Rozwijamy prawą stronę równania:\[ 300 = d \cdot \frac{300}{d} - d \cdot 5 + 3 \cdot \frac{300}{d} - 3 \cdot 5 \]\[ 300 = 300 - 5d + \frac{900}{d} - 15 \]Odejmujemy $300$ z obu stron:\[ 0 = -5d + \frac{900}{d} - 15 \]Mnożymy całe równanie przez $d$ (zakładamy $d \ne 0$):\[ 0 = -5d^2 + 900 - 15d \]Porządkujemy równanie do postaci $ad^2 + bd + c = 0$: \[ -5d^2 - 15d + 900 = 0 \]Dzielimy całe równanie przez $-5$: \[ d^2 + 3d - 180 = 0 \]4) Rozwiązanie równania kwadratowego: Korzystamy ze wzoru na wyróżnik kwadratowy (delta): $\Delta = b^2 - 4ac$. W tym równaniu $a=1$, $b=3$, $c=-180$.\[ \Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) \]\[ \Delta = 9 + 720 \]\[ \Delta = 729 \]Obliczamy pierwiastek z delty:\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{729} = 27 \]Obliczamy możliwe wartości $d$ ze wzoru $d = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:\[ d_1 = \frac{-3 - 27}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15 \]\[ d_2 = \frac{-3 + 27}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12 \]Liczba dni nie może być ujemna, więc odrzucamy $d_1 = -15$. Przyjmujemy $d = 12$. Sprawdzenie: Oryginalnie: $d=12$ dni, $v = \frac{300}{12} = 25 \text{ km/dzień}$. Hipotetycznie: $v - 5 = 25 - 5 = 20 \text{ km/dzień}$. Czas trwania podróży $d + 3 = 12 + 3 = 15 \text{ dni}$. Trasa hipotetyczna: $15 \text{ dni} \cdot 20 \text{ km/dzień} = 300 \text{ km}$. Wynik jest zgodny z treścią zadania.

Zadanie 3 (3 pkt)

W sali konferencyjnej ustawiono krzesła dla 640 osób, w kilkunastu rzędach, po tyle samo krzeseł w każdym rzędzie. Gdyby rzędów krzeseł było o 4 więcej, to w każdym rzędzie siedziałoby o 8 osób mniej. Ile rzędów krzeseł ustawiono? Ile było krzeseł w jednym rzędzie?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Prędkość własna motorówki wynosi 20 km/h. Motorówka wyruszyła z przystani rzecznej A i po przypłynięciu do przystani B od razu zawróciła, kierując się do przystani A. Trasę od A do B i z powrotem, o łącznej długości 150 km, pokonała w czasie 8 godzin. Jaką prędkość ma prąd rzeki?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Zbiornik można napełnić za pomocą dwóch kranów. Pierwszy kran napełnia zbiornik o 12 minut dłużej niż drugi kran. Jeśli oba krany pracują razem, to czas napełniania zbiornika wynosi 8 minut. Oblicz, w jakim czasie każdy z kranów napełni ten zbiornik.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Niech $t_1$ będzie czasem potrzebnym pierwszemu kranowi na samodzielne napełnienie zbiornika, a $t_2$ czasem potrzebnym drugiemu kranowi. Zgodnie z treścią zadania, pierwszy kran napełnia zbiornik o $12$ minut dłużej niż drugi kran: $t_1 = t_2 + 12$ Tempo pracy każdego kranu to odwrotność czasu potrzebnego na napełnienie zbiornika. Zatem: Tempo pierwszego kranu: $\frac{1}{t_1}$ Tempo drugiego kranu: $\frac{1}{t_2}$ Oba krany razem napełniają zbiornik w $8$ minut, więc ich wspólne tempo pracy wynosi: $\frac{1}{8}$ Sumując tempa pracy obu kranów otrzymujemy wspólne tempo:\[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8} \]Podstawiamy wyrażenie na $t_1$ do równania:\[ \frac{1}{t_2 + 12} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8} \]Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:\[ \frac{t_2 + (t_2 + 12)}{t_2(t_2 + 12)} = \frac{1}{8} \]\[ \frac{2t_2 + 12}{t_2^2 + 12t_2} = \frac{1}{8} \]Mnożymy krzyżowo:\[ 8 \cdot (2t_2 + 12) = 1 \cdot (t_2^2 + 12t_2) \]\[ 16t_2 + 96 = t_2^2 + 12t_2 \]Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę, aby otrzymać równanie kwadratowe:\[ t_2^2 + 12t_2 - 16t_2 - 96 = 0 \]\[ t_2^2 - 4t_2 - 96 = 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$, gdzie $a=1$, $b=-4$, $c=-96$:\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) \]\[ \Delta = 16 + 384 \]\[ \Delta = 400 \]Obliczamy pierwiastek z wyróżnika:\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{400} = 20 \]Obliczamy możliwe wartości dla $t_2$ przy użyciu wzoru $t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:\[ t_{2,1} = \frac{-(-4) + 20}{2 \cdot 1} \]\[ t_{2,1} = \frac{4 + 20}{2} \]\[ t_{2,1} = \frac{24}{2} = 12 \]\[ t_{2,2} = \frac{-(-4) - 20}{2 \cdot 1} \]\[ t_{2,2} = \frac{4 - 20}{2} \]\[ t_{2,2} = \frac{-16}{2} = -8 \]Ponieważ czas nie może być ujemny, odrzucamy rozwiązanie $t_{2,2} = -8$. Zatem czas napełniania zbiornika przez drugi kran wynosi $12$ minut. Obliczamy czas napełniania zbiornika przez pierwszy kran, korzystając z zależności $t_1 = t_2 + 12$:\[ t_1 = 12 + 12 \]\[ t_1 = 24 \]Pierwszy kran napełnia zbiornik w $24$ minuty.

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Suma licznika i mianownika ułamka należącego do przedziału (0, 1) jest równa 14. Jeśli licznik tego ułamka zwiększymy o 2, a mianownik zwiększymy o 5, to otrzymamy ułamek równy początkowemu. Wyznacz ten ułamek.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Turysta przebył na rowerze trasę 480 km, pokonując każdego dnia taką samą liczbę kilometrów. Gdyby codziennie pokonywał o 8 km mniej, to byłby w drodze o 2 dni dłużej. Ile dni był turysta w drodze?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

W sali konferencyjnej ustawiono krzesła dla 1000 osób, w kilkunastu rzędach, po tyle samo krzeseł w każdym rzędzie. Gdyby rzędów krzeseł było o 5 więcej, to w każdym rzędzie siedziałoby o 10 osób mniej. Ile rzędów krzeseł ustawiono? Ile było krzeseł w jednym rzędzie?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Prędkość własna motorówki wynosi 24 km/h. Motorówka wyruszyła z przystani rzecznej A i po przypłynięciu do przystani B od razu zawróciła, kierując się do przystani A. Trasę od A do B i z powrotem, o łącznej długości 280 km, pokonała w czasie 12 godzin. Jaką prędkość ma prąd rzeki?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Zbiornik można napełnić za pomocą dwóch kranów. Pierwszy kran napełnia zbiornik o 30 minut dłużej niż drugi kran. Jeśli oba krany pracują razem, to czas napełniania zbiornika wynosi 20 minut. Oblicz, w jakim czasie każdy z kranów napełni ten zbiornik.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi