a) Ustalenie założeń i podstawienie:Założenia: $x^2 - 9 \neq 0$, co oznacza $x \neq 3$ i $x \neq -3$. Wprowadzamy podstawienie $t = x^2 - 9$. Równanie przyjmuje postać:\[ t + \frac{9}{t} + 10 = 0 \]Mnożymy równanie przez $t$ (zakładamy $t \neq 0$, co jest spełnione przez założenia $x^2 - 9 \neq 0$):\[ t^2 + 9 + 10t = 0 \]Porządkujemy równanie kwadratowe:\[ t^2 + 10t + 9 = 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \]Obliczamy wartości $t$:\[ t_1 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 8}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]\[ t_2 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]Wracamy do podstawienia $t = x^2 - 9$:Dla $t_1 = -9$:\[ x^2 - 9 = -9 \]\[ x^2 = 0 \]\[ x = 0 \]Dla $t_2 = -1$:\[ x^2 - 9 = -1 \]\[ x^2 = 8 \]\[ x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \quad \text{lub} \quad x = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2} \]Wszystkie rozwiązania spełniają założenia. b) Ustalenie założeń i podstawienie: Założenia: $x^2 + 2x \neq 0$, co oznacza $x(x+2) \neq 0$, czyli $x \neq 0$ i $x \neq -2$. Wprowadzamy podstawienie $t = x^2 + 2x$. Równanie przyjmuje postać:\[ t = \frac{16}{t} \]Mnożymy równanie przez $t$ (zakładamy $t \neq 0$, co jest spełnione przez założenia $x^2 + 2x \neq 0$):\[ t^2 = 16 \]\[ t^2 - 16 = 0 \]Rozkładamy na czynniki:\[ (t-4)(t+4) = 0 \]Obliczamy wartości $t$:\[ t_1 = 4 \]\[ t_2 = -4 \]Wracamy do podstawienia $t = x^2 + 2x$:Dla $t_1 = 4$:\[ x^2 + 2x = 4 \]\[ x^2 + 2x - 4 = 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20 \]Obliczamy wartości $x$:\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \]\[ x_1 = -1 + \sqrt{5} \]\[ x_2 = -1 - \sqrt{5} \]Dla $t_2 = -4$:\[ x^2 + 2x = -4 \]\[ x^2 + 2x + 4 = 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 \]Ponieważ $\Delta < 0$, brak jest rozwiązań rzeczywistych dla tego przypadku. Wszystkie znalezione rozwiązania ($x=-1+\sqrt{5}$ i $x=-1-\sqrt{5}$) spełniają założenia. c) Ustalenie założeń i podstawienie: Założenia: $x^2 - 3 \neq 0$, co oznacza $x \neq \sqrt{3}$ i $x \neq -\sqrt{3}$. Wprowadzamy podstawienie $t = x^2 - 3$. Równanie przyjmuje postać:\[ \frac{t}{4} + \frac{7}{t} = 4 \]Mnożymy równanie przez $4t$ (zakładamy $t \neq 0$, co jest spełnione przez założenia $x^2 - 3 \neq 0$):\[ t^2 + 4 \cdot 7 = 4 \cdot 4t \]\[ t^2 + 28 = 16t \]Porządkujemy równanie kwadratowe:\[ t^2 - 16t + 28 = 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144 \]Obliczamy wartości $t$:\[ t_{1,2} = \frac{-(-16) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm 12}{2} \]\[ t_1 = \frac{16 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]\[ t_2 = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]Wracamy do podstawienia $t = x^2 - 3$:Dla $t_1 = 14$:\[ x^2 - 3 = 14 \]\[ x^2 = 17 \]\[ x = \sqrt{17} \quad \text{lub} \quad x = -\sqrt{17} \]Dla $t_2 = 2$:\[ x^2 - 3 = 2 \]\[ x^2 = 5 \]\[ x = \sqrt{5} \quad \text{lub} \quad x = -\sqrt{5} \]Wszystkie rozwiązania spełniają założenia.