Równania wielomianowe kartkówka

16.13 Równania wielomianowe

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: a) $ (2x - 1)(3x^2 + \sqrt{3})(x - 4) = 0 $ b) $ (9x^2 - 16)(64x^3 + 1)(x + 5) = 0 $ c) $ (9x^2 + 12x + 4)(16x^4 - 1) = 0 $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Rozwiązanie równania $(2x - 1)(3x^2 + \sqrt{3})(x - 4) = 0$: Aby iloczyn był równy zero, co najmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem: $2x - 1 = 0$ $3x^2 + \sqrt{3} = 0$ $x - 4 = 0$ Rozwiązujemy pierwsze równanie: \[ 2x - 1 = 0 \]\[ 2x = 1 \]\[ x = \frac{1}{2} \]Rozwiązujemy drugie równanie: \[ 3x^2 + \sqrt{3} = 0 \]\[ 3x^2 = -\sqrt{3} \]\[ x^2 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]Brak rzeczywistych rozwiązań, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny. Rozwiązujemy trzecie równanie: \[ x - 4 = 0 \]\[ x = 4 \]Ostateczne rozwiązania dla podpunktu a) to $x = \frac{1}{2}$ oraz $x = 4$. b) Rozwiązanie równania $(9x^2 - 16)(64x^3 + 1)(x + 5) = 0$: Aby iloczyn był równy zero, co najmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem: $9x^2 - 16 = 0$ $64x^3 + 1 = 0$ $x + 5 = 0$ Rozwiązujemy pierwsze równanie: \[ 9x^2 - 16 = 0 \]\[ 9x^2 = 16 \]\[ x^2 = \frac{16}{9} \]\[ x = \pm \sqrt{\frac{16}{9}} \]\[ x = \pm \frac{4}{3} \]Rozwiązujemy drugie równanie: \[ 64x^3 + 1 = 0 \]\[ (4x)^3 = -1 \]\[ 4x = -1 \]\[ x = -\frac{1}{4} \]Rozwiązujemy trzecie równanie: \[ x + 5 = 0 \]\[ x = -5 \]Ostateczne rozwiązania dla podpunktu b) to $x = \frac{4}{3}$, $x = -\frac{4}{3}$, $x = -\frac{1}{4}$ oraz $x = -5$. c) Rozwiązanie równania $(9x^2 + 12x + 4)(16x^4 - 1) = 0$: Aby iloczyn był równy zero, co najmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem: $9x^2 + 12x + 4 = 0$ $16x^4 - 1 = 0$ Rozwiązujemy pierwsze równanie: \[ 9x^2 + 12x + 4 = 0 \]Zauważamy, że jest to wzór skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: \[ (3x + 2)^2 = 0 \]\[ 3x + 2 = 0 \]\[ 3x = -2 \]\[ x = -\frac{2}{3} \]Rozwiązujemy drugie równanie: \[ 16x^4 - 1 = 0 \]Stosujemy wzór na różnicę kwadratów $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: \[ (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) = 0 \]Zatem: $4x^2 - 1 = 0$ $4x^2 + 1 = 0$ Rozwiązujemy $4x^2 - 1 = 0$: \[ 4x^2 = 1 \]\[ x^2 = \frac{1}{4} \]\[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \]\[ x = \pm \frac{1}{2} \]Rozwiązujemy $4x^2 + 1 = 0$: \[ 4x^2 = -1 \]\[ x^2 = -\frac{1}{4} \]Brak rzeczywistych rozwiązań. Ostateczne rozwiązania dla podpunktu c) to $x = -\frac{2}{3}$, $x = \frac{1}{2}$ oraz $x = -\frac{1}{2}$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: a) $2x^3 + 12x = -10x^2$ b) $4x^3 + 9x = 12x^2$ c) $x^3 = 10 - 9x$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: a) $81x^4 - 192x = 0$ b) $12x^3 - 8x^2 = 3x - 2$ c) $3x^3 + 5x^2 = -3x - 1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Rozwiązanie równania $81x^4 - 192x = 0$: Zauważamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $3x$:\[ 3x(27x^3 - 64) = 0 \]Z tego wynika, że jeden z czynników musi być równy zero. Pierwszy przypadek:\[ 3x = 0 \]\[ x_1 = 0 \]Drugi przypadek:\[ 27x^3 - 64 = 0 \]\[ 27x^3 = 64 \]\[ x^3 = \frac{64}{27} \]\[ x_2 = \sqrt[3]{\frac{64}{27}} \]\[ x_2 = \frac{4}{3} \]Równanie kwadratowe $9x^2+12x+16=0$ (z rozkładu $27x^3-64=(3x-4)(9x^2+12x+16)$) ma wyróżnik $\Delta = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 144 - 576 = -432 < 0$, co oznacza brak dalszych rzeczywistych rozwiązań. Odpowiedzią jest $x=0$ lub $x=\frac{4}{3}$ b) Rozwiązanie równania $12x^3 - 8x^2 = 3x - 2$: Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:\[ 12x^3 - 8x^2 - 3x + 2 = 0 \]Grupujemy wyrazy:\[ 4x^2(3x - 2) - 1(3x - 2) = 0 \]Wyłączamy wspólny czynnik $(3x - 2)$:\[ (4x^2 - 1)(3x - 2) = 0 \]Z tego wynika, że jeden z czynników musi być równy zero. Pierwszy przypadek:\[ 4x^2 - 1 = 0 \]\[ 4x^2 = 1 \]\[ x^2 = \frac{1}{4} \]\[ x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \]\[ x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{1}{2} \]Drugi przypadek:\[ 3x - 2 = 0 \]\[ 3x = 2 \]\[ x_3 = \frac{2}{3} \]Odpowiedzią są $x=-\frac{1}{2}$, $x=\frac{1}{2}$ lub $x=\frac{2}{3}$ c) Rozwiązanie równania $3x^3 + 5x^2 = -3x - 1$: Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:\[ 3x^3 + 5x^2 + 3x + 1 = 0 \]Szukamy pierwiastków wymiernych postaci $\frac{p}{q}$, gdzie $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego (1), a $q$ jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze (3). Możliwe pierwiastki: $\pm 1, \pm \frac{1}{3}$. Sprawdzamy $x=-1$:\[ 3(-1)^3 + 5(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -3 + 5 - 3 + 1 = 0 \]Zatem $x=-1$ jest pierwiastkiem równania. Możemy podzielić wielomian $(3x^3 + 5x^2 + 3x + 1)$ przez $(x+1)$. Używając schematu Hornera lub dzielenia pisemnego, otrzymujemy:\[ (x+1)(3x^2 + 2x + 1) = 0 \]Teraz rozwiązujemy równanie kwadratowe $3x^2 + 2x + 1 = 0$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = b^2 - 4ac \]\[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 \]\[ \Delta = 4 - 12 \]\[ \Delta = -8 \]Ponieważ $\Delta < 0$, równanie kwadratowe $3x^2 + 2x + 1 = 0$ nie ma rzeczywistych rozwiązań. Jedynym rzeczywistym rozwiązaniem równania jest:\[ x_1 = -1 \]Odpowiedzią jest $x=-1$

Zadanie 4 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: a) $(27x^3 - 8)(x^2 + 8x + 16) = 0$ b) $x^8 + 144 = 25x^4$ c) $3x^3 - 9x^2 = x - 3$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie rozwiązań równania $(27x^3 - 8)(x^2 + 8x + 16) = 0$: Równanie jest spełnione, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Pierwszy przypadek: $27x^3 - 8 = 0$\[27x^3 = 8\]\[x^3 = \frac{8}{27}\]\[x = \sqrt[3]{\frac{8}{27}}\]\[x = \frac{2}{3}\]Drugi przypadek: $x^2 + 8x + 16 = 0$ Zauważamy, że jest to wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy:\[(x+4)^2 = 0\]\[x+4 = 0\]\[x = -4\]Rozwiązaniami równania są $x = \frac{2}{3}$ oraz $x = -4$. b) Obliczenie rozwiązań równania $x^8 + 144 = 25x^4$: Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i podstawiamy $y = x^4$:\[x^8 - 25x^4 + 144 = 0\]Niech $y = x^4$. Wtedy równanie przyjmuje postać kwadratową:\[y^2 - 25y + 144 = 0\]Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[\Delta = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49\]Obliczamy pierwiastki $y_1, y_2$:\[y_{1,2} = \frac{-(-25) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25 \pm 7}{2}\]\[y_1 = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16\]\[y_2 = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9\]Wracamy do podstawienia $y = x^4$: Dla $y_1 = 16$:\[x^4 = 16\]\[x = \pm \sqrt[4]{16}\]\[x = \pm 2\]Dla $y_2 = 9$:\[x^4 = 9\]\[x = \pm \sqrt[4]{9}\]\[x = \pm \sqrt{3}\]Rozwiązaniami równania są $x = 2$, $x = -2$, $x = \sqrt{3}$ oraz $x = -\sqrt{3}$. c) Obliczenie rozwiązań równania $3x^3 - 9x^2 = x - 3$: Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania:\[3x^3 - 9x^2 - x + 3 = 0\]Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólne czynniki:\[3x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0\]Wyłączamy wspólny czynnik $(x - 3)$:\[(3x^2 - 1)(x - 3) = 0\]Równanie jest spełnione, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Pierwszy przypadek: $3x^2 - 1 = 0$\[3x^2 = 1\]\[x^2 = \frac{1}{3}\]\[x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}\]\[x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\]Usuwamy niewymierność z mianownika:\[x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\]Drugi przypadek: $x - 3 = 0$\[x = 3\]Rozwiązaniami równania są $x = 3$, $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ oraz $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: a) $3x^3 + 3 = x^2 + 9x$ b) $\sqrt{8}x^3 - 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2}x - \sqrt{2}x^2$ c) $x^6 + 5x^3 = 6$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: a) $ (5x + 3)(x^2 + \sqrt{5})(x - 1) = 0 $ b) $ (25x^2 - 4)(8x^3 + 1)(x - 3) = 0 $ c) $ (25x^2 + 10x + 1)(625x^4 - 1) = 0 $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: a) $5x^3 + 30x = -25x^2$ b) $25x^3 + 4x = 20x^2$ c) $x^3 = 14 - 13x$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: a) $250x^4 - 16x = 0$ b) $80x^3 - 16x^2 = 45x - 9$ c) $x^3 - x^2 = x + 2$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: a) $(x^3 - 125)(x^2 + 10x + 25) = 0$ b) $x^8 + 36 = 13x^4$ c) $5x^3 - 10x^2 = x - 2$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: a) $4x^3 + 4 = x^2 + 16x$ b) $\sqrt{27}x^3 - \sqrt{3} = \sqrt{27}x - \sqrt{3}x^2$ c) $x^6 - 2x^3 = 15$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

16.13 Równania wielomianowe

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋