Odcinki w graniastosłupach kartkówka - LiczBit

17.3. Odcinki w graniastosłupach

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 30 cm i tworzy z krawędzią boczną kąt $\alpha$ taki, że $\sin \alpha = 0,6$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt $\alpha$ taki, że $\cos \alpha = \frac{1}{4}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli wiadomo, że: a) długość krawędzi podstawy wynosi 4 cm b) wysokość graniastosłupa wynosi 5 cm

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, potrzebujemy długości krawędzi podstawy $a$ i wysokości graniastosłupa $H$. Wzory: Pole podstawy: $P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ Pole powierzchni bocznej: $P_b = 3aH$ Pole powierzchni całkowitej: $P_c = 2P_p + P_b$ Z informacji o kącie $\alpha$ między przekątną ściany bocznej $d$ a krawędzią podstawy $a$ wiemy, że $\cos \alpha = \frac{1}{4}$. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez krawędź podstawy $a$, wysokość graniastosłupa $H$ i przekątną ściany bocznej $d$, mamy:\[ \cos \alpha = \frac{a}{d} \]\[ \frac{a}{d} = \frac{1}{4} \implies d = 4a \]Z twierdzenia Pitagorasa:\[ a^2 + H^2 = d^2 \]Podstawiamy $d = 4a$:\[ a^2 + H^2 = (4a)^2 \]\[ a^2 + H^2 = 16a^2 \]\[ H^2 = 15a^2 \]\[ H = \sqrt{15a^2} = a\sqrt{15} \]a) Obliczenie dla krawędzi podstawy $a = 4 \ \text{cm}$: Obliczenie wysokości $H$: \[ H = a\sqrt{15} \]\[ H = 4\sqrt{15} \ \text{cm} \]Obliczenie pola podstawy $P_p$: \[ P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]\[ P_p = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \ \text{cm}^2 \]Obliczenie pola powierzchni bocznej $P_b$: \[ P_b = 3aH \]\[ P_b = 3 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{15} = 48\sqrt{15} \ \text{cm}^2 \]Obliczenie pola powierzchni całkowitej $P_c$: \[ P_c = 2P_p + P_b \]\[ P_c = 2 \cdot 4\sqrt{3} + 48\sqrt{15} = (8\sqrt{3} + 48\sqrt{15}) \ \text{cm}^2 \]b) Obliczenie dla wysokości $H = 5 \ \text{cm}$: Obliczenie krawędzi podstawy $a$: \[ H = a\sqrt{15} \]\[ 5 = a\sqrt{15} \]\[ a = \frac{5}{\sqrt{15}} \]\[ a = \frac{5\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3} \ \text{cm} \]Obliczenie pola podstawy $P_p$: \[ P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]\[ P_p = \frac{\left(\frac{\sqrt{15}}{3}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{15}{9}\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{12} \ \text{cm}^2 \]Obliczenie pola powierzchni bocznej $P_b$: \[ P_b = 3aH \]\[ P_b = 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{3} \cdot 5 = 5\sqrt{15} \ \text{cm}^2 \]Obliczenie pola powierzchni całkowitej $P_c$: \[ P_c = 2P_p + P_b \]\[ P_c = 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{12} + 5\sqrt{15} = \left(\frac{5\sqrt{3}}{6} + 5\sqrt{15}\right) \ \text{cm}^2 \]

Zadanie 3 (2 pkt)

Oblicz długości przekątnych wszystkich ścian oraz długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach: a) 3, 4, 5, b) 2, 3, 6.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 6 cm, a przekątna jego ściany bocznej tworzy: a) z krawędzią podstawy kąt $45^{\circ}$, b) z krawędzią boczną kąt $45^{\circ}$, c) przekątna graniastosłupa tworzy z przekątną podstawy kąt $45^{\circ}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dane: $a = 6 \ \text{cm}$ $\alpha = 45^\circ$ Szukane: $P_c = ?$ Obliczenia wspólne: Pole podstawy $P_p$ to pole kwadratu o boku $a$.\[ P_p = a^2 \]Podstawiając $a = 6 \ \text{cm}$:\[ P_p = 6^2 \]\[ P_p = 36 \ \text{cm}^2 \]Pole powierzchni bocznej $P_b$ to suma pól czterech prostokątów o bokach $a$ i $h$.\[ P_b = 4 \cdot a \cdot h \]Pole powierzchni całkowitej $P_c$ jest sumą podwojonego pola podstawy i pola powierzchni bocznej.\[ P_c = 2P_p + P_b \]a) Obliczenie pola powierzchni całkowitej, gdy przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 45°: Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez krawędź podstawy $a$, wysokość $h$ i przekątną ściany bocznej, oraz kąta $45^\circ$ między przekątną a krawędzią podstawy, wynika, że:\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{a} \]Ponieważ $\tan(45^\circ) = 1$, otrzymujemy:\[ h = a \]Podstawiając $a = 6 \ \text{cm}$:\[ h = 6 \ \text{cm} \]Obliczenie pola powierzchni bocznej:\[ P_b = 4 \cdot a \cdot h \]\[ P_b = 4 \cdot 6 \ \text{cm} \cdot 6 \ \text{cm} \]\[ P_b = 144 \ \text{cm}^2 \]Obliczenie pola powierzchni całkowitej:\[ P_c = 2P_p + P_b \]\[ P_c = 2 \cdot 36 \ \text{cm}^2 + 144 \ \text{cm}^2 \]\[ P_c = 72 \ \text{cm}^2 + 144 \ \text{cm}^2 \]\[ P_c = 216 \ \text{cm}^2 \]b) Obliczenie pola powierzchni całkowitej, gdy przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 45°: Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez krawędź podstawy $a$, wysokość $h$ i przekątną ściany bocznej, oraz kąta $45^\circ$ między przekątną a krawędzią boczną, wynika, że:\[ \tan(45^\circ) = \frac{a}{h} \]Ponieważ $\tan(45^\circ) = 1$, otrzymujemy:\[ a = h \]Podstawiając $a = 6 \ \text{cm}$:\[ h = 6 \ \text{cm} \]Obliczenie pola powierzchni bocznej:\[ P_b = 4 \cdot a \cdot h \]\[ P_b = 4 \cdot 6 \ \text{cm} \cdot 6 \ \text{cm} \]\[ P_b = 144 \ \text{cm}^2 \]Obliczenie pola powierzchni całkowitej:\[ P_c = 2P_p + P_b \]\[ P_c = 2 \cdot 36 \ \text{cm}^2 + 144 \ \text{cm}^2 \]\[ P_c = 72 \ \text{cm}^2 + 144 \ \text{cm}^2 \]\[ P_c = 216 \ \text{cm}^2 \]c) Obliczenie pola powierzchni całkowitej, gdy przekątna graniastosłupa tworzy z przekątną podstawy kąt 45°: Najpierw obliczamy długość przekątnej podstawy $d_p$ dla kwadratu o boku $a$:\[ d_p = a\sqrt{2} \]Podstawiając $a = 6 \ \text{cm}$:\[ d_p = 6\sqrt{2} \ \text{cm} \]Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez przekątną podstawy $d_p$, wysokość $h$ i przekątną graniastosłupa $D$, oraz kąta $45^\circ$ między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy, wynika, że:\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{d_p} \]Ponieważ $\tan(45^\circ) = 1$, otrzymujemy:\[ h = d_p \]\[ h = 6\sqrt{2} \ \text{cm} \]Obliczenie pola powierzchni bocznej:\[ P_b = 4 \cdot a \cdot h \]\[ P_b = 4 \cdot 6 \ \text{cm} \cdot 6\sqrt{2} \ \text{cm} \]\[ P_b = 144\sqrt{2} \ \text{cm}^2 \]Obliczenie pola powierzchni całkowitej:\[ P_c = 2P_p + P_b \]\[ P_c = 2 \cdot 36 \ \text{cm}^2 + 144\sqrt{2} \ \text{cm}^2 \]\[ P_c = 72 + 144\sqrt{2} \ \text{cm}^2 \]

Zadanie 5 (4 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego wszystkie krawędzie mają długość 6 cm. Oblicz długości przekątnych tego graniastosłupa.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 50 cm i tworzy z krawędzią boczną kąt $\alpha$ taki, że $\sin \alpha = 0,28$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt $\alpha$ taki, że $\cos \alpha = \frac{2}{3}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli wiadomo, że: a) długość krawędzi podstawy wynosi 8 cm b) wysokość graniastosłupa wynosi 10 cm

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (2 pkt)

Oblicz długości przekątnych wszystkich ścian oraz długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach: a) 7, 8, 24, b) 1, 2, 2.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 8 cm, a przekątna jego ściany bocznej tworzy: a) z krawędzią podstawy kąt $60^{\circ}$, b) z krawędzią boczną kąt $60^{\circ}$, c) przekątna graniastosłupa tworzy z przekątną podstawy kąt $60^{\circ}$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego wszystkie krawędzie mają długość 5 cm. Oblicz długości przekątnych tego graniastosłupa.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi