a) Obliczenie objętości stożka: Związek między bokiem trójkąta równobocznego ($a$) a promieniem podstawy stożka ($r$): $a = 2 \cdot r$ Pole trójkąta równobocznego:\[ P = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]Podstawiamy $a = 2 \cdot r$:\[ P = \frac{(2 \cdot r)^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot r^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = r^2 \cdot \sqrt{3} \]Mamy $P = 64\sqrt{3} \ \text{cm}^2$, więc:\[ r^2 \cdot \sqrt{3} = 64\sqrt{3} \]Dzielimy przez $\sqrt{3}$:\[ r^2 = 64 \]\[ r = \sqrt{64} = 8 \ \text{cm} \]Wysokość stożka ($h$) jest wysokością trójkąta równobocznego o boku $a = 2 \cdot r$:\[ h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{(2 \cdot r) \cdot \sqrt{3}}{2} = r \cdot \sqrt{3} \]Podstawiamy $r = 8 \ \text{cm}$:\[ h = 8\sqrt{3} \ \text{cm} \]Wzór na objętość stożka:\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \]Podstawiamy wartości:\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (8 \ \text{cm})^2 \cdot (8\sqrt{3} \ \text{cm}) \]\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 64 \ \text{cm}^2 \cdot 8\sqrt{3} \ \text{cm} \]\[ V = \frac{512\sqrt{3}}{3} \cdot \pi \ \text{cm}^3 \]b) Obliczenie miary kąta między tworzącą stożka a jego podstawą: Wzór na pole podstawy stożka:\[ P_p = \pi \cdot r^2 \]Mamy $P_p = 48\pi \ \text{cm}^2$:\[ \pi \cdot r^2 = 48\pi \]Dzielimy przez $\pi$:\[ r^2 = 48 \]\[ r = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \ \text{cm} \]Wzór na objętość stożka:\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \]Mamy $V = 192\pi \ \text{cm}^3$ i $r^2 = 48$:\[ 192\pi = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 48 \cdot h \]\[ 192\pi = 16\pi \cdot h \]Dzielimy przez $16\pi$:\[ h = \frac{192\pi}{16\pi} = 12 \ \text{cm} \]Kąt $\alpha$ między tworzącą a podstawą stożka spełnia zależność:\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{r} \]Podstawiamy wartości $h = 12 \ \text{cm}$ i $r = 4\sqrt{3} \ \text{cm}$:\[ \tan(\alpha) = \frac{12 \ \text{cm}}{4\sqrt{3} \ \text{cm}} \]\[ \tan(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{3}} \]Usuwamy niewymierność z mianownika:\[ \tan(\alpha) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \]Z wartości funkcji trygonometrycznych wiemy, że:\[ \alpha = 60^\circ \]