a) Rozkładanie wielomianu poprzez wyłączenie wspólnego czynnika i zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów:\[ W(x) = x^2(x^2+4)^2 - 25x^2 \]\[ W(x) = x^2((x^2+4)^2 - 25) \]\[ W(x) = x^2((x^2+4)^2 - 5^2) \]Stosujemy wzór na różnicę kwadratów $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, gdzie $A = x^2+4$ i $B = 5$.\[ W(x) = x^2((x^2+4-5)(x^2+4+5)) \]\[ W(x) = x^2(x^2-1)(x^2+9) \]Rozkładamy czynnik $x^2-1$ jako różnicę kwadratów.\[ W(x) = x^2(x-1)(x+1)(x^2+9) \]b) Rozkładanie wielomianu poprzez zastosowanie wzoru na sumę sześcianów: Niech $A = 3x-1$ i $B = x+1$. Wzór na sumę sześcianów to $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - A \cdot B + B^2)$. Obliczamy poszczególne części wzoru:\[ A+B = (3x-1)+(x+1) = 4x \]\[ A^2 = (3x-1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = 9x^2-6x+1 \]\[ B^2 = (x+1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2+2x+1 \]\[ A \cdot B = (3x-1)(x+1) = 3x^2+3x-x-1 = 3x^2+2x-1 \]Następnie obliczamy $A^2 - A \cdot B + B^2$:\[ A^2 - A \cdot B + B^2 = (9x^2-6x+1) - (3x^2+2x-1) + (x^2+2x+1) \]\[ = 9x^2-6x+1-3x^2-2x+1+x^2+2x+1 \]\[ = (9-3+1)x^2 + (-6-2+2)x + (1+1+1) \]\[ = 7x^2-6x+3 \]Zatem, wielomian $W(x)$ ma postać:\[ W(x) = 4x(7x^2-6x+3) \]Sprawdzamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $7x^2-6x+3$:\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 36 - 84 = -48 \]Ponieważ $ \Delta < 0$, trójmian $7x^2-6x+3$ jest nierozkładalny na czynniki liniowe rzeczywiste. c) Rozkładanie wielomianu poprzez wyłączenie wspólnego czynnika i grupowanie wyrazów:\[ W(x) = 10x^5 + 15x^4 + 4 \sqrt{3}x^3 + 6 \sqrt{3}x^2 \]Wyłączamy wspólny czynnik $x^2$:\[ W(x) = x^2(10x^3 + 15x^2 + 4 \sqrt{3}x + 6 \sqrt{3}) \]Grupujemy wyrazy w nawiasie:\[ W(x) = x^2[5x^2(2x+3) + 2 \sqrt{3}(2x+3)] \]Wyłączamy wspólny czynnik $(2x+3)$:\[ W(x) = x^2(2x+3)(5x^2+2 \sqrt{3}) \]d) Rozkładanie wielomianu poprzez zastosowanie wzoru na różnicę sześcianów: Niech $A = 3x+1$ i $B = x-2$. Wzór na różnicę sześcianów to $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + A \cdot B + B^2)$. Obliczamy poszczególne części wzoru:\[ A-B = (3x+1)-(x-2) = 3x+1-x+2 = 2x+3 \]\[ A^2 = (3x+1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = 9x^2+6x+1 \]\[ B^2 = (x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2-4x+4 \]\[ A \cdot B = (3x+1)(x-2) = 3x^2-6x+x-2 = 3x^2-5x-2 \]Następnie obliczamy $A^2 + A \cdot B + B^2$:\[ A^2 + A \cdot B + B^2 = (9x^2+6x+1) + (3x^2-5x-2) + (x^2-4x+4) \]\[ = 9x^2+6x+1+3x^2-5x-2+x^2-4x+4 \]\[ = (9+3+1)x^2 + (6-5-4)x + (1-2+4) \]\[ = 13x^2-3x+3 \]Zatem, wielomian $W(x)$ ma postać:\[ W(x) = (2x+3)(13x^2-3x+3) \]Sprawdzamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $13x^2-3x+3$:\[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 3 = 9 - 156 = -147 \]Ponieważ $ \Delta < 0$, trójmian $13x^2-3x+3$ jest nierozkładalny na czynniki liniowe rzeczywiste.