Zgodnie z twierdzeniem o reszcie, jeśli wielomian $W(x)$ jest dzielony przez dwumian $(x - c)$, to reszta z dzielenia jest równa $W(c)$.Zatem z treści zadania mamy:\[ W(2) = 5 \]\[ W(-3) = -15 \]Ponieważ dzielimy wielomian $W(x)$ przez wielomian $P(x) = (x - 2)(x + 3)$, który jest wielomianem stopnia drugiego, reszta z tego dzielenia musi być wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego. Możemy ją zapisać w postaci $R(x) = ax + b$.Zatem możemy zapisać:\[ W(x) = Q(x) \cdot (x - 2)(x + 3) + ax + b \]gdzie $Q(x)$ jest ilorazem.Podstawiając $x = 2$:\[ W(2) = Q(2) \cdot (2 - 2)(2 + 3) + a \cdot 2 + b \]\[ 5 = 0 + 2a + b \]\[ 2a + b = 5 \quad (1) \]Podstawiając $x = -3$:\[ W(-3) = Q(-3) \cdot (-3 - 2)(-3 + 3) + a \cdot (-3) + b \]\[ -15 = 0 - 3a + b \]\[ -3a + b = -15 \quad (2) \]Otrzymujemy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi $a$ i $b$:Równanie (1): $2a + b = 5$Równanie (2): $-3a + b = -15$Odejmujemy równanie (2) od równania (1):\[ (2a + b) - (-3a + b) = 5 - (-15) \]\[ 2a + b + 3a - b = 5 + 15 \]\[ 5a = 20 \]Dzielimy obie strony przez 5:\[ a = \frac{20}{5} \]\[ a = 4 \]Podstawiamy wartość $a = 4$ do równania (1):\[ 2 \cdot 4 + b = 5 \]\[ 8 + b = 5 \]Odejmujemy 8 od obu stron:\[ b = 5 - 8 \]\[ b = -3 \]Zatem reszta z dzielenia $R(x)$ wynosi:\[ R(x) = 4x - 3 \]