16.6 Podzielność wielomianów
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (3 pkt)
Dany jest wielomian $W(x) = 6x^3 + ax^2 - bx - 4$, który jest podzielny przez $3x + 2$. Wiadomo, że iloraz z tego dzielenia to $2x^2 - 2$. Wyznacz wartości liczb $a$ i $b$.
Zadanie 2 (5 pkt)
Udowodnij, że trójmian kwadratowy $P(x) = x^2 - 7x + 10$ jest dzielnikiem wielomianu $W(x) = (3x^2 - 5x + 6)^2 - (2x^2 + 2x - 4)^2$. Następnie oblicz iloraz powstały z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $P(x)$.
Zadanie 3 (3 pkt)
Wielomian $W(x)$, gdzie $W(x) = 3x^3 + 4x^2 - 13x + 6$, jest podzielny przez wielomian $P(x)$, gdzie $P(x) = x^2 + 2x - 3$. Znajdziemy iloraz z dzielenia $W(x)$ przez $P(x).$
Zadanie 4 (1 pkt)
W wyniku podzielenia wielomianu $W(x) = x^2 - 4$ przez wielomian $P(x)$ otrzymano wielomian $Q(x) = x-2$. Wyznacz wielomian $P(x)$.
Zadanie 5 (3 pkt)
W wyniku podzielenia wielomianu $W(x) = 2x^4 - 9x^2 + 24x - 9$ przez wielomian $P(x)$ otrzymujemy iloraz $Q(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x - 3$. Wyznacz wielomian $P(x)$.
Grupa B
Zadanie 1 (3 pkt)
Dany jest wielomian $W(x) = 12x^3 + ax^2 - bx - 5$, który jest podzielny przez $3x + 5$. Wiadomo, że iloraz z tego dzielenia to $4x^2 - 1$. Wyznacz wartości liczb $a$ i $b$.
Zadanie 2 (5 pkt)
Udowodnij, że trójmian kwadratowy $P(x) = x^2 - 6x + 8$ jest dzielnikiem wielomianu $W(x) = (4x^2 - 4x + 7)^2 - (3x^2 + 2x - 1)^2$. Następnie oblicz iloraz powstały z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $P(x)$.
Zadanie 3 (3 pkt)
Wielomian $W(x)$, gdzie $W(x) = x^3 + 6x^2 + 5x - 12$, jest podzielny przez wielomian $P(x)$, gdzie $P(x) = x^2 + 2x - 3$. Znajdziemy iloraz z dzielenia $W(x)$ przez $P(x).$
Zadanie 4 (1 pkt)
W wyniku podzielenia wielomianu $W(x) = x^3+x^2-x-1$ przez wielomian $P(x)$ otrzymano wielomian $Q(x) = x+1$. Wyznacz wielomian $P(x)$.
Zadanie 5 (3 pkt)
W wyniku podzielenia wielomianu $W(x) = 4x^4 + x^3 - 7x^2 - 5x + 7$ przez wielomian $P(x)$ otrzymujemy iloraz $Q(x) = 4x^3 + 5x^2 - 2x - 7$. Wyznacz wielomian $P(x)$.