a) Najpierw rozszerzamy wielomian $W(x)$: \[ W(x) = (3x - 1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1 \]Następnie mnożymy $W(x)$ przez $F(x) = ax + b$: \[ W(x) \cdot F(x) = (9x^2 - 6x + 1)(ax + b) \]\[ = 9x^2 \cdot ax + 9x^2 \cdot b - 6x \cdot ax - 6x \cdot b + 1 \cdot ax + 1 \cdot b \]\[ = 9ax^3 + 9bx^2 - 6ax^2 - 6bx + ax + b \]Grupujemy wyrazy o tych samych potęgach $x$: \[ = 9ax^3 + (9b - 6a)x^2 + (a - 6b)x + b \]Porównujemy współczynniki tego iloczynu z wielomianem $H(x) = -9x^3 + 15x^2 - 7x + 1$: Z porównania współczynnika przy $x^3$: \[ 9a = -9 \]\[ a = -1 \]Z porównania wyrazu wolnego: \[ b = 1 \]Sprawdzamy pozostałe współczynniki, podstawiając $a = -1$ i $b = 1$: Dla $x^2$: \[ 9b - 6a = 9(1) - 6(-1) = 9 + 6 = 15 \]Dla $x$: \[ a - 6b = -1 - 6(1) = -7 \]Wszystkie współczynniki się zgadzają. Dlatego, $a = -1$ i $b = 1$. b) Najpierw upraszczamy i rozszerzamy wielomian $W(x)$: \[ W(x) = (x - 3)^2 (x - 3) = (x - 3)^3 \]Korzystamy ze wzoru na sześcian różnicy $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$: \[ W(x) = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 \]\[ = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \]Następnie mnożymy $W(x)$ przez $F(x) = ax + b$: \[ W(x) \cdot F(x) = (x^3 - 9x^2 + 27x - 27)(ax + b) \]\[ = x^3 \cdot ax + x^3 \cdot b - 9x^2 \cdot ax - 9x^2 \cdot b + 27x \cdot ax + 27x \cdot b - 27 \cdot ax - 27 \cdot b \]\[ = ax^4 + bx^3 - 9ax^3 - 9bx^2 + 27ax^2 + 27bx - 27ax - 27b \]Grupujemy wyrazy o tych samych potęgach $x$: \[ = ax^4 + (b - 9a)x^3 + (27a - 9b)x^2 + (27b - 27a)x - 27b \]Porównujemy współczynniki tego iloczynu z wielomianem $H(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 27$: Z porównania współczynnika przy $x^4$: \[ a = 1 \]Z porównania wyrazu wolnego: \[ -27b = -27 \]\[ b = 1 \]Sprawdzamy pozostałe współczynniki, podstawiając $a = 1$ i $b = 1$: Dla $x^3$: \[ b - 9a = 1 - 9(1) = 1 - 9 = -8 \]Dla $x^2$: \[ 27a - 9b = 27(1) - 9(1) = 27 - 9 = 18 \]Dla $x$: \[ 27b - 27a = 27(1) - 27(1) = 0 \]Wszystkie współczynniki się zgadzają. Dlatego, $a = 1$ i $b = 1$.