17.4 Działania na ułamkach algebraicznych
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (3 pkt)
Uprość poniższe wyrażenia algebraiczne, sprowadzając je do najprostszej postaci:
a) $$\frac{x+2}{x} - \frac{4}{x} : \frac{5}{x+3}$$
b) $$\frac{(x+2)^2}{x+4} \cdot \left(\frac{x+6}{x+2} - \frac{1}{x+2}\right)$$
Zadanie 2 (3 pkt)
Uprość poniższe wyrażenia, zapisując podane ułamki w prostszej postaci:
a) $$\frac{5}{\frac{x+3}{x^2-9}}$$
b) $$\frac{x-2}{x+\frac{4}{x-4}}$$
Zadanie 3 (4 pkt)
Pokaż, że jeśli $a$ i $b$ są różnymi liczbami niezerowymi, to zachodzi tożsamość:
$$\frac{a}{b} + \left(\frac{b}{a} - 2 + \frac{a}{b}\right) : \frac{b-a}{a} = 1.$$
Zadanie 4 (5 pkt)
Znajdź wielomiany $P(x)$ i $Q(x)$, przy czym $\operatorname{st} P(x) = 1$ oraz $\operatorname{st} Q(x) = 0$, takie że:$$\frac{P(x)}{x-3} - \frac{Q(x)}{x+2} = \frac{3x^2 + 5x + 8}{x^2 - x - 6}.$$
Zadanie 5 (4 pkt)
Dane wyrażenie doprowadź do najprostszej postaci. Następnie oblicz jego wartość dla liczby podanej obok tego wyrażenia. $$\frac{1}{a} + \frac{a^2 - 4}{a^3 + 2a^2} : \frac{a^2 - 4a + 4}{2a}, \quad \sqrt{3}$$
Grupa B
Zadanie 1 (3 pkt)
Uprość poniższe wyrażenia algebraiczne, sprowadzając je do najprostszej postaci:
a) $$\frac{x+3}{x} - \frac{6}{x} : \frac{7}{x+4}$$
b) $$\frac{(x+3)^2}{x+5} \cdot \left(\frac{x+7}{x+3} - \frac{4}{x+3}\right)$$
Zadanie 2 (3 pkt)
Uprość poniższe wyrażenia, zapisując podane ułamki w prostszej postaci:
a) $$\frac{7}{\frac{x+4}{x^2-16}}$$
b) $$\frac{x-3}{x+\frac{9}{x-6}}$$
Zadanie 3 (4 pkt)
Pokaż, że jeśli $a$ i $b$ są różnymi liczbami niezerowymi, to zachodzi tożsamość:
$$\frac{b^2}{a^2} + \left(\frac{a^2}{b^2} - 2 + \frac{b^2}{a^2}\right) : \frac{a^2-b^2}{b^2} = 1.$$
Zadanie 4 (5 pkt)
Znajdź wielomiany $P(x)$ i $Q(x)$, przy czym $\operatorname{st} P(x) = 1$ oraz $\operatorname{st} Q(x) = 0$, takie że:$$\frac{P(x)}{x-3} - \frac{Q(x)}{x+2} = \frac{x^2 + 3x - 13}{x^2 - x - 6}.$$
Zadanie 5 (4 pkt)
Dane wyrażenie doprowadź do najprostszej postaci. Następnie oblicz jego wartość dla liczby podanej obok tego wyrażenia. $$\frac{1}{a} + \frac{a^2 - 4}{a^3 + 2a^2} : \frac{a^2 - 4a + 4}{2a} \quad \sqrt{5}$$