a) Upraszczamy wyrażenia trygonometryczne, wykorzystując okresowość funkcji sinus i cosinus. Każdy kąt w postaci $x + 2k\pi$ dla całkowitych $k$ ma takie same wartości funkcji trygonometrycznych jak kąt $x$. Zatem:\[ \sin(2\pi + 3) = \sin(3) \]oraz\[ \cos(2\pi - 3) = \cos(-3) = \cos(3) \]Podstawiamy te uproszczone formy do lewej strony równania:\[ \sin \frac{3\pi}{7} \cdot \sin^2(3) + \sin \frac{4\pi}{7} \cdot \cos^2(3) \]Zauważamy, że $ \frac{4\pi}{7} = \pi - \frac{3\pi}{7} $. Stosujemy wzór redukcyjny $ \sin(\pi - x) = \sin(x) $:\[ \sin \frac{4\pi}{7} = \sin \left( \pi - \frac{3\pi}{7} \right) = \sin \frac{3\pi}{7} \]Podstawiamy to z powrotem do równania:\[ \sin \frac{3\pi}{7} \cdot \sin^2(3) + \sin \frac{3\pi}{7} \cdot \cos^2(3) \]Wyciągamy wspólny czynnik $ \sin \frac{3\pi}{7} $ przed nawias:\[ \sin \frac{3\pi}{7} \cdot (\sin^2(3) + \cos^2(3)) \]Stosujemy jedynkę trygonometryczną $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $:\[ \sin \frac{3\pi}{7} \cdot 1 = \sin \frac{3\pi}{7} \]Teraz musimy wykazać, że $ \sin \frac{3\pi}{7} $ jest równe prawej stronie równania, czyli $ \cos \frac{\pi}{14} $. Korzystamy z tożsamości $ \sin(x) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) $:\[ \sin \frac{3\pi}{7} = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7} \right) \]Obliczamy wartość w nawiasie:\[ \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7} = \frac{7\pi}{14} - \frac{6\pi}{14} = \frac{\pi}{14} \]Zatem:\[ \sin \frac{3\pi}{7} = \cos \frac{\pi}{14} \]Lewa strona równania jest równa prawej stronie, co dowodzi tożsamości. b) Upraszczamy lewą stronę równania $ \cos (-0,6\pi) : \sin (-0,4\pi) $. Korzystamy z własności funkcji parzystych i nieparzystych: $ \cos(-x) = \cos(x) $ oraz $ \sin(-x) = -\sin(x) $.\[ \cos (-0,6\pi) = \cos (0,6\pi) \]\[ \sin (-0,4\pi) = -\sin (0,4\pi) \]Podstawiamy te uproszczenia do wyrażenia:\[ \frac{\cos (0,6\pi)}{-\sin (0,4\pi)} \]Zauważamy, że $ 0,6\pi = \pi - 0,4\pi $. Stosujemy wzór redukcyjny $ \cos(\pi - x) = -\cos(x) $:\[ \cos (0,6\pi) = \cos (\pi - 0,4\pi) = -\cos (0,4\pi) \]Podstawiamy to z powrotem do wyrażenia:\[ \frac{-\cos (0,4\pi)}{-\sin (0,4\pi)} = \frac{\cos (0,4\pi)}{\sin (0,4\pi)} \]Z definicji cotangensa $ \text{ctg}(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} $:\[ \frac{\cos (0,4\pi)}{\sin (0,4\pi)} = \text{ctg} (0,4\pi) \]Teraz musimy wykazać, że $ \text{ctg} (0,4\pi) $ jest równe prawej stronie równania, czyli $ \text{tg } 0,1\pi $. Korzystamy z tożsamości $ \text{ctg}(x) = \text{tg} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) $:\[ \text{ctg} (0,4\pi) = \text{tg} \left( \frac{\pi}{2} - 0,4\pi \right) \]Obliczamy wartość w nawiasie:\[ \frac{\pi}{2} - 0,4\pi = 0,5\pi - 0,4\pi = 0,1\pi \]Zatem:\[ \text{ctg} (0,4\pi) = \text{tg } 0,1\pi \]Lewa strona równania jest równa prawej stronie, co dowodzi tożsamości.