Równania i nierówności kwadratowe z parametrem kartkówka 2

11.16 Równania i nierówności kwadratowe z parametrem

Kartkówka 2

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $$(2m + 1)x^2 - 4(m + 1)x + 4 = 0$$ ma dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest liczbą dodatnią.

Wskazówki:

Równanie ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy jest stopnia drugiego ($a \neq 0$) oraz posiada ściśle dodatni wyróżnik ($\Delta > 0$).
Warunek wykonalności odwrotności pierwiastków wymaga, aby żaden z nich nie był zerem: $x_1 \neq 0$ i $x_2 \neq 0$, co oznacza $x_1 \cdot x_2 \neq 0$.
Wyrażenie $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ sprowadź do wspólnego mianownika: $\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$, a następnie zastosuj wzory Viète'a.
Rozwiązaniem końcowym jest część wspólna wszystkich wyznaczonych warunków na parametr $m$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Ustalenie warunków na istnienie dwóch różnych pierwiastków równania:
Wypisujemy współczynniki danego równania w postaci ogólnej $ax^2 + bx + c = 0$: $$a = 2m + 1, \quad b = -4(m + 1), \quad c = 4$$ Aby równanie posiadało dwa różne pierwiastki, muszą zachodzić dwa warunki: $$\begin{cases} a \neq 0 \quad \text{(równanie musi być kwadratowe)} \\[8pt] \Delta > 0 \quad \text{(dwa różne rozwiązania rzeczywiste)} \end{cases}$$ Z warunku na współczynnik kierunkowy otrzymujemy: $$\begin{aligned} 2m + 1 &\neq 0 \\[8pt] 2m &\neq -1 \\[8pt] m &\neq -\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$
Obliczenie wyróżnika $\Delta$ i rozwiązanie warunku $\Delta > 0$:
Wyznaczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= [-4(m + 1)]^2 - 4 \cdot (2m + 1) \cdot 4 \\[8pt] &= 16(m + 1)^2 - 16(2m + 1) \\[8pt] &= 16(m^2 + 2m + 1 - 2m - 1) \\[8pt] &= 16m^2 \end{aligned}$$ Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków ($\Delta > 0$) przyjmuje postać: $$\begin{aligned} 16m^2 &> 0 \\[8pt] m^2 &> 0 \\[8pt] m &\neq 0 \end{aligned}$$
Zastosowanie wzorów Viète'a do warunku dodatniości sumy odwrotności:
Aby istniały odwrotności pierwiastków, żaden z nich nie może być równy $0$, co oznacza: $$x_1 \cdot x_2 \neq 0$$ Ze wzorów Viète'a iloczyn pierwiastków wynosi: $$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{2m + 1}$$ Ponieważ licznik jest równy $4 \neq 0$, iloczyn ten nigdy nie przyjmuje wartości $0$ dla dowolnego $m \neq -\dfrac{1}{2}$.

Sprowadzamy sumę odwrotności do wspólnego mianownika: $$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$$ Korzystamy ze wzoru Viète'a na sumę pierwiastków: $$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-4(m + 1)}{2m + 1} = \dfrac{4(m + 1)}{2m + 1}$$ Podstawiamy obie zależności do ilorazu: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} &= \dfrac{\dfrac{4(m + 1)}{2m + 1}}{\dfrac{4}{2m + 1}} \\[8pt] &= \dfrac{4(m + 1)}{4} \\[8pt] &= m + 1 \end{aligned}$$ Żądamy, aby suma ta była liczbą dodatnią: $$\begin{aligned} m + 1 &> 0 \\[8pt] m &> -1 \end{aligned}$$
Wyznaczenie części wspólnej warunków i interpretacja na osi liczbowej:
Zestawiamy wszystkie otrzymane warunki: $$\begin{cases} m > -1 \\[8pt] m \neq -\dfrac{1}{2} \\[8pt] m \neq 0 \end{cases}$$ Wartości $m = -\dfrac{1}{2}$ oraz $m = 0$ leżą wewnątrz przedziału $(-1, +\infty)$, więc wyłączamy je z rozwiązania: $$m \in \left(-1, -\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{2}, 0\right) \cup (0, +\infty)$$

Odpowiedź:
Równanie ma dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest dodatnia, dla $m \in \left(-1, -\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{2}, 0\right) \cup (0, +\infty)$.

Zadanie 2 (5 pkt)

Dla jakich wartości parametru $k$ funkcja określona jest dla każdej liczby $x$: $$f(x) = \sqrt{(k - 4)x^2 + 2kx + 2k}$$

Wskazówki:

Pierwiastek kwadratowy w zbiorze liczb rzeczywistych istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne dla każdego $x \in \mathbb{R}$: $$(k - 4)x^2 + 2kx + 2k \ge 0$$
Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze zależy od parametru $k$, należy obowiązkowo zbadać dwa przypadki:
- przypadek liniowy: $k - 4 = 0$ ($k = 4$),
- przypadek kwadratowy: $k - 4 \ne 0$ ($k \ne 4$).
Funkcja kwadratowa przyjmuje wartości nieujemne dla wszystkich liczb rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy jej ramiona są skierowane ku górze ($a > 0$), a wyróżnik jest niedodatni ($\Delta \le 0$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Założenie dotyczące dziedziny i analiza przypadku liniowego ($a = 0$):
Dziedziną funkcji $f(x) = \sqrt{g(x)}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$, jeżeli dla każdego $x \in \mathbb{R}$ spełniona jest nierówność: $$ (k - 4)x^2 + 2kx + 2k \ge 0 $$ Badamy przypadek, w którym współczynnik przy $x^2$ zeruje się: $$ k - 4 = 0 \iff k = 4 $$ Podstawiamy wartość $k = 4$ do badanej nierówności: $$ \begin{aligned} (4 - 4)x^2 + 2 \cdot 4 x + 2 \cdot 4 &\ge 0 \\[8pt] 0 \cdot x^2 + 8x + 8 &\ge 0 \\[8pt] 8x + 8 &\ge 0 \\[8pt] 8x &\ge -8 \\[8pt] x &\ge -1 \end{aligned} $$ Nierówność jest spełniona jedynie dla przedziału $x \in \langle -1, +\infty)$, a nie dla każdej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ (przykładowo dla $x = -2$ otrzymujemy liczbę ujemną pod pierwiastkiem: $f(-2) = \sqrt{-8}$, co nie istnieje w $\mathbb{R}$). Zatem wartość $k = 4$ nie spełnia warunków zadania.
Analiza przypadku funkcji kwadratowej ($k \ne 4$) i wyznaczenie warunków:
Trójmian kwadratowy $g(x) = ax^2 + bx + c$ przyjmuje wartości nieujemne ($g(x) \ge 0$) dla każdego $x \in \mathbb{R}$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ dwóch warunków: $$ \begin{cases} a > 0 \\ \Delta \le 0 \end{cases} $$ Wypisujemy współczynniki trójmianu: $$ a = k - 4, \quad b = 2k, \quad c = 2k $$
Warunek 1: Ramiona paraboli skierowane w górę ($a > 0$): $$ k - 4 > 0 \iff k > 4 \iff k \in (4, +\infty) $$
Warunek 2: Wyróżnik trójmianu kwadratowego niedodatni ($\Delta \le 0$):
Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$ \begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (2k)^2 - 4(k - 4)(2k) \\[8pt] &= 4k^2 - 8k(k - 4) \\[8pt] &= 4k^2 - 8k^2 + 32k \\[8pt] &= -4k^2 + 32k \end{aligned} $$ Rozwiązujemy nierówność $\Delta \le 0$: $$ -4k^2 + 32k \le 0 $$ Dzielimy obie strony nierówności przez $-4$, pamiętając o zmianie zwrotu znaku nierówności: $$ \begin{aligned} k^2 - 8k &\ge 0 \\[8pt] k(k - 8) &\ge 0 \end{aligned} $$ Miejscami zerowymi paraboli pomocniczej zmiennej $k$ są liczby $k_1 = 0$ oraz $k_2 = 8$. Ponieważ współczynnik przy $k^2$ jest dodatni, ramiona paraboli są skierowane w górę. Zatem: $$ k \in (-\infty, 0\rangle \cup \langle 8, +\infty) $$
Wyznaczenie części wspólnej warunków i podsumowanie:
Wyznaczamy część wspólną otrzymanych warunków dla przypadku kwadratowego: $$ \begin{cases} k \in (4, +\infty) \\ k \in (-\infty, 0\rangle \cup \langle 8, +\infty) \end{cases} $$ Ponieważ przedział $(-\infty, 0\rangle$ jest rozłączny z przedziałem $(4, +\infty)$, wspólnym rozwiązaniem jest przedział: $$ k \in \langle 8, +\infty) $$ Uwzględniając brak rozwiązań z przypadku liniowego ($k = 4$), ostatecznym zbiorem wszystkich wartości parametru $k$ jest przedział domknięty $\langle 8, +\infty)$.

Odpowiedź:
Funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ dla parametru $k \in \langle 8, +\infty)$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Dla jakiej wartości parametru $m$ równanie $x^2 + (m - 1)x + (m - 3) = 0$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste o jednakowych znakach?

Wskazówki:

Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni: $\Delta > 0$ (w ujęciu dwóch różnych pierwiastków) lub $\Delta \ge 0$ (gdy dopuszcza się pierwiastek podwójny). Sprawdź postać wyróżnika trójmianu.
Dwie liczby rzeczywiste mają jednakowe znaki (obie są dodatnie albo obie są ujemne) wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest ściśle dodatni: $x_1 \cdot x_2 > 0$.
Do wyznaczenia iloczynu pierwiastków bez konieczności ich bezpośredniego wyliczania zastosuj wzór Viète'a: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Wyznacz część wspólną wszystkich nałożonych warunków na parametr $m$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Warunek istnienia dwóch pierwiastków rzeczywistych (analiza wyróżnika $\Delta$):
Wypisujemy współczynniki równania kwadratowego $x^2 + (m - 1)x + (m - 3) = 0$: $$a = 1, \quad b = m - 1, \quad c = m - 3$$ Współczynnik przy $x^2$ wynosi $a = 1 \ne 0$, zatem równanie jest stopnia drugiego dla każdego $m \in \mathbb{R}$.
Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (m - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 3) \\[8pt] &= m^2 - 2m + 1 - 4m + 12 \\[8pt] &= m^2 - 6m + 13 \end{aligned}$$ Zbadajmy znak trójmianu $\Delta(m) = m^2 - 6m + 13$ na dwa sposoby:

Sposób I – Wyznaczenie wyróżnika trójmianu $\Delta_m$:
Obliczamy $\Delta_m$ dla równania $m^2 - 6m + 13 = 0$: $$\begin{aligned} \Delta_m &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 \\[8pt] &= 36 - 52 = -16 < 0 \end{aligned}$$ Ponieważ współczynnik przy $m^2$ jest dodatni ($a_m = 1 > 0$) oraz $\Delta_m < 0$, parabola funkcji $\Delta(m)$ leży w całości nad osią poziomą. Oznacza to, że: $$\Delta > 0 \quad \text{dla każdego } m \in \mathbb{R}$$
Sposób II – Przekształcenie do postaci kanonicznej (uzupełnienie do kwadratu):
Zapisujemy wyrażenie w postaci sumy kwadratu i liczby: $$\begin{aligned} \Delta &= m^2 - 6m + 9 + 4 \\[8pt] &= (m - 3)^2 + 4 \end{aligned}$$ Dla dowolnej liczby rzeczywistej $m \in \mathbb{R}$ kwadrat wyrażenia jest nieujemny, czyli $(m - 3)^2 \ge 0$. W konsekwencji: $$\Delta = (m - 3)^2 + 4 \ge 4 > 0$$ Wyróżnik $\Delta$ jest zawsze ściśle dodatni, co oznacza, że wyjściowe równanie posiada dwa różne pierwiastki rzeczywiste dla każdego $m \in \mathbb{R}$.
Warunek jednakowych znaków pierwiastków (wzory Viète'a):
Dwa pierwiastki rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$ mają jednakowe znaki (są jednocześnie dodatnie: $x_1 > 0$ i $x_2 > 0$ albo jednocześnie ujemne: $x_1 < 0$ i $x_2 < 0$) wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest ściśle dodatni: $$x_1 \cdot x_2 > 0$$ Liczba $0$ nie posiada znaku (nie jest ani dodatnia, ani ujemna), stąd iloczyn nie może być równy zeru.

Korzystamy ze wzoru Viète'a na iloczyn pierwiastków równania kwadratowego: $$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$$ Podstawiamy współczynniki $a = 1$ oraz $c = m - 3$: $$\begin{aligned} x_1 \cdot x_2 &= \dfrac{m - 3}{1} = m - 3 \end{aligned}$$ Układamy nierówność: $$\begin{aligned} m - 3 &> 0 \\[8pt] m &> 3 \implies m \in (3, +\infty) \end{aligned}$$
Wyznaczenie części wspólnej warunków i podsumowanie rozwiązania:
Równanie posiada dwa pierwiastki rzeczywiste o jednakowych znakach, gdy spełniony jest układ warunków: $$\begin{cases} \Delta > 0 \\[6pt] x_1 \cdot x_2 > 0 \end{cases}$$ Podstawiamy wyznaczone zbiory rozwiązań: $$\begin{cases} m \in \mathbb{R} \\[6pt] m \in (3, +\infty) \end{cases}$$ Częścią wspólną obu warunków jest przedział: $$m \in (3, +\infty)$$

Odpowiedź:
$m \in (3, +\infty)$ (czyli $m > 3$)

Zadanie 4 (4 pkt)

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^2 + (m + 1)x + (m^2 - 4) = 0$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków, przy czym pierwiastek ujemny jest większy co do wartości bezwzględnej?

Wskazówki:

Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych to dodatni wyróżnik: $\Delta > 0$.
Dwa pierwiastki mają różne znaki wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest ujemny: $x_1 \cdot x_2 < 0$. Skorzystaj ze wzoru Viète'a na iloczyn pierwiastków: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Warunek „pierwiastek ujemny jest większy co do wartości bezwzględnej”: niech $x_1 < 0 < x_2$. Wówczas $|x_1| > |x_2| \iff -x_1 > x_2 \iff x_1 + x_2 < 0$. Skorzystaj ze wzoru Viète'a na sumę pierwiastków: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$.
Rozwiązaniem zadania jest część wspólna wszystkich trzech warunków nałożonych na parametr $m$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sformułowanie układu warunków dla równania kwadratowego:
Wypisujemy współczynniki danego równania $x^2 + (m + 1)x + (m^2 - 4) = 0$: $$a = 1, \quad b = m + 1, \quad c = m^2 - 4$$ Równanie kwadratowe spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zachodzą trzy nierówności: $$\begin{cases} 1.\; \Delta > 0 \\[6pt] 2.\; x_1 \cdot x_2 < 0 \\[6pt] 3.\; x_1 + x_2 < 0 \end{cases}$$
Rozwiązanie poszczególnych warunków z wykorzystaniem wzorów Viète'a:
Warunek 1. Istnienie dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych ($\Delta > 0$):
Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (m + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 4) \\[8pt] &= m^2 + 2m + 1 - 4m^2 + 16 \\[8pt] &= -3m^2 + 2m + 17 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy nierówność: $$-3m^2 + 2m + 17 > 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu względem zmiennej $m$: $$\begin{aligned} \Delta_m &= 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 17 \\[8pt] &= 4 + 204 = 208 \\[8pt] \sqrt{\Delta_m} &= \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13} \\[8pt] m_1 &= \dfrac{-2 - 4\sqrt{13}}{-6} = \dfrac{1 + 2\sqrt{13}}{3} \approx 2{,}74 \\[8pt] m_2 &= \dfrac{-2 + 4\sqrt{13}}{-6} = \dfrac{1 - 2\sqrt{13}}{3} \approx -2{,}07 \end{aligned}$$ Ramiona paraboli są skierowane w dół ($-3 < 0$), zatem wartości dodatnie trójmian przyjmuje wewnątrz przedziału: $$m \in \left(\dfrac{1 - 2\sqrt{13}}{3}, \dfrac{1 + 2\sqrt{13}}{3}\right)$$
Warunek 2. Pierwiastki różnych znaków ($x_1 \cdot x_2 < 0$):
Stosujemy wzór Viète'a na iloczyn pierwiastków: $$\begin{aligned} \dfrac{c}{a} &< 0 \\[8pt] \dfrac{m^2 - 4}{1} &< 0 \\[8pt] (m - 2)(m + 2) &< 0 \\[8pt] m &\in (-2, 2) \end{aligned}$$
Warunek 3. Pierwiastek ujemny większy co do wartości bezwzględnej ($x_1 + x_2 < 0$):
Stosujemy wzór Viète'a na sumę pierwiastków: $$\begin{aligned} -\dfrac{b}{a} &< 0 \\[8pt] -\dfrac{m + 1}{1} &< 0 \\[8pt] -(m + 1) &< 0 \\[8pt] m + 1 &> 0 \\[8pt] m &> -1 \iff m \in (-1, +\infty) \end{aligned}$$
Wyznaczenie części wspólnej warunków i interpretacja graficzna:
Wyznaczamy iloczyn zbiorów rozwiązań wszystkich trzech warunków: $$\begin{aligned} m &\in \left(\dfrac{1 - 2\sqrt{13}}{3}, \dfrac{1 + 2\sqrt{13}}{3}\right) \cap (-2, 2) \cap (-1, +\infty) \end{aligned}$$ Zauważmy, że: $$\begin{aligned} \dfrac{1 - 2\sqrt{13}}{3} &\approx -2{,}07 < -2 \\[8pt] \dfrac{1 + 2\sqrt{13}}{3} &\approx 2{,}74 > 2 \end{aligned}$$ Zatem cały przedział $(-2, 2)$ zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności $\Delta > 0$. Biorąc część wspólną przedziału $(-2, 2)$ oraz warunku $m > -1$, otrzymujemy: $$m \in (-1, 2)$$

Odpowiedź:
$m \in (-1, 2)$

Zadanie 5 (5 pkt)

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^2 + (m + 2)x + (m + 1) = 0$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste, z których jeden jest dwukrotnością drugiego?

Wskazówki:

Wypisz współczynniki trójmianu kwadratowego i oblicz jego wyróżnik $\Delta$ w zależności od parametru $m$.
Zauważ, że warunek istnienia pierwiastków rzeczywistych wymaga $\Delta \ge 0$ (a dla dwóch różnych pierwiastków $\Delta > 0$).
Warunek mówiący, że jeden pierwiastek jest dwukrotnością drugiego, można zapisać jako $x_2 = 2x_1$ (lub ogólnie: pierwiastki to $t$ oraz $2t$).
Zastosuj wzory Viète'a na sumę i iloczyn pierwiastków, aby powiązać niewiadomą $t$ z parametrem $m$ i ułożyć równanie kwadratowe zmiennej $m$.
Alternatywnie zauważ, że pierwiastek z wyróżnika $\sqrt{\Delta}$ jest wyrażeniem liniowym, co pozwala wprost wyznaczyć oba pierwiastki i przyrównać jeden do dwukrotności drugiego.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza warunków zadania i wyznaczenie wyróżnika trójmianu:
Rozważmy wyjściowe równanie kwadratowe: $$x^2 + (m + 2)x + (m + 1) = 0$$ Współczynniki tego równania wynoszą odpowiednio: $$a = 1, \quad b = m + 2, \quad c = m + 1$$ Ponieważ $a = 1 \neq 0$, równanie jest zawsze stopnia drugiego. Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (m + 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 1) \\[8pt] &= m^2 + 4m + 4 - 4m - 4 \\[8pt] &= m^2 \end{aligned}$$ Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem $\Delta = m^2 \ge 0$ dla każdego $m \in \mathbb{R}$.
Dla $m \neq 0$ wyróżnik jest ściśle dodatni ($\Delta > 0$), co gwarantuje istnienie dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych.
Dla $m = 0$ mielibyśmy $\Delta = 0$, czyli jeden pierwiastek podwójny $x_0 = -1$, jednak wówczas nie zachodziłby warunek dwukrotności, gdyż $-1 \neq 2 \cdot (-1)$. Zatem poszukujemy wartości spełniających $m \neq 0$.
Sposób I – Zastosowanie wzorów Viète'a:
Niech poszukiwanymi pierwiastkami będą liczby $x_1$ oraz $x_2$, przy czym jeden z nich jest dwukrotnością drugiego, czyli $x_2 = 2x_1$.
Korzystamy ze wzorów Viète'a: $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\dfrac{b}{a} = -(m + 2) \\[8pt] x_1 \cdot x_2 &= \dfrac{c}{a} = m + 1 \end{aligned}$$ Wstawiamy zależność $x_2 = 2x_1$ do wzoru na sumę pierwiastków: $$\begin{aligned} x_1 + 2x_1 &= -(m + 2) \\[8pt] 3x_1 &= -(m + 2) \\[8pt] x_1 &= -\dfrac{m + 2}{3} \end{aligned}$$ Wstawiamy zależność $x_2 = 2x_1$ do wzoru na iloczyn pierwiastków: $$x_1 \cdot 2x_1 = 2x_1^2 = m + 1$$ Podstawiamy wyznaczone wcześniej wyrażenie na $x_1$: $$\begin{aligned} 2 \cdot \left(-\dfrac{m + 2}{3}\right)^2 &= m + 1 \\[8pt] 2 \cdot \dfrac{(m + 2)^2}{9} &= m + 1 \\[8pt] 2(m^2 + 4m + 4) &= 9(m + 1) \\[8pt] 2m^2 + 8m + 8 &= 9m + 9 \\[8pt] 2m^2 - m - 1 &= 0 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe zmiennej $m$: $$\begin{aligned} \Delta_m &= (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \\[8pt] \sqrt{\Delta_m} &= 3 \end{aligned}$$ Wyznaczamy wartości parametru $m$: $$\begin{aligned} m_1 &= \dfrac{-(-1) - 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 - 3}{4} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2} \\[8pt] m_2 &= \dfrac{-(-1) + 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 + 3}{4} = \dfrac{4}{4} = 1 \end{aligned}$$ Obie wyznaczone liczby są różne od zera ($m \neq 0$), zatem dla obu wartości wyróżnik wyjściowego równania wynosi $\Delta > 0$.
Sposób II – Bezpośrednie wyznaczenie pierwiastków z wyróżnika:
Ponieważ wyróżnik równania wynosi $\Delta = m^2$, pierwiastek z delty wynosi: $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{m^2} = |m|$$ Wyznaczamy pierwiastki równania ze standardowych wzorów: $$x = \dfrac{-(m + 2) \pm |m|}{2}$$ Niezależnie od znaku parametru $m$, zbiór pierwiastków tworzą liczby: $$\begin{aligned} x_A &= \dfrac{-(m + 2) + m}{2} = \dfrac{-m - 2 + m}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \\[8pt] x_B &= \dfrac{-(m + 2) - m}{2} = \dfrac{-2m - 2}{2} = -m - 1 \end{aligned}$$ Jeden z pierwiastków równania jest stały i wynosi $x_A = -1$.
Warunek, aby jeden pierwiastek był dwukrotnością drugiego, oznacza dwa możliwe przypadki:

Przypadek 1: $x_B = 2x_A$
$$\begin{aligned} -m - 1 &= 2 \cdot (-1) \\[8pt] -m - 1 &= -2 \\[8pt] -m &= -1 \\[8pt] m &= 1 \end{aligned}$$ Dla $m = 1$ pierwiastkami są $x_A = -1$ oraz $x_B = -1 - 1 = -2$. Zachodzi $ -2 = 2 \cdot (-1) $.

Przypadek 2: $x_A = 2x_B$
$$\begin{aligned} -1 &= 2 \cdot (-m - 1) \\[8pt] -1 &= -2m - 2 \\[8pt] 2m &= -2 + 1 \\[8pt] 2m &= -1 \\[8pt] m &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ Dla $m = -\dfrac{1}{2}$ pierwiastkami są $x_A = -1$ oraz $x_B = -\left(-\dfrac{1}{2}\right) - 1 = -\dfrac{1}{2}$. Zachodzi $ -1 = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) $.
Podsumowanie i interpretacja graficzna rozwiązań:
Otrzymaliśmy dwie wartości parametru: $m = 1$ oraz $m = -\dfrac{1}{2}$.
W obu przypadkach wyjściowe równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
- Dla $m = 1$: parabola $f_1(x) = x^2 + 3x + 2$ przecina oś $Ox$ w punktach $x = -2$ oraz $x = -1$.
- Dla $m = -\dfrac{1}{2}$: parabola $f_2(x) = x^2 + \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}$ przecina oś $Ox$ w punktach $x = -1$ oraz $x = -\dfrac{1}{2}$.

Odpowiedź:
Warunki zadania są spełnione dla $m = -\dfrac{1}{2}$ oraz $m = 1$ (czyli $m \in \left\{-\dfrac{1}{2}, 1\right\}$).

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Dla jakich wartości parametru m równanie $(3m-1)x^2 - 6(m+2)x + 3 = 0$ ma dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest liczbą dodatnią.