Wielomiany sprawdzian 3

Wielomiany

Sprawdzian 3

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Suma reszt, jakie otrzymujemy, dzieląc wielomian $W(x) = (x^2 + p)(x - q) + qx^2$ przez dwumiany $(x - (\sqrt{6} + 1))$ i $(x + \sqrt{6} + 1)$, jest równa $8p$, gdzie $p \neq 0$. Oblicz $W(-4)$.

Wskazówki:

Z twierdzenia o reszcie wynika, że reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian liniowy $x - c$ jest równa wartości wielomianu dla argumentu $c$, czyli $R = W(c)$.
Rozpisanie i uporządkowanie wielomianu $W(x)$ redukuje wyrazy stopnia drugiego i pozwala zauważyć symetrię składników.
Zauważ, że liczby $c_1 = \sqrt{6} + 1$ oraz $c_2 = -(\sqrt{6} + 1)$ są liczbami przeciwnymi. Przy ich sumowaniu potęgi nieparzyste ulegną redukcji do zera.
Wyznacz wartość parametru $q$ z podanego warunku sumy reszt, a następnie oblicz wartość $W(-4)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zastosowanie twierdzenia o reszcie:
Zgodnie z twierdzeniem o reszcie, reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian postaci $x - c$ wynosi $R = W(c)$.

Dla pierwszego dwumianu $x - (\sqrt{6} + 1)$ mamy: $$c_1 = \sqrt{6} + 1 \implies R_1 = W(\sqrt{6} + 1)$$ Dla drugiego dwumianu $x + \sqrt{6} + 1 = x - (-(\sqrt{6} + 1))$ mamy: $$c_2 = -(\sqrt{6} + 1) \implies R_2 = W(-(\sqrt{6} + 1))$$ Dla ułatwienia zapisu oznaczmy $a = \sqrt{6} + 1$. Wtedy $c_1 = a$, a $c_2 = -a$.
Z treści zadania suma obu reszt wynosi $8p$: $$W(a) + W(-a) = 8p$$
Przekształcenie i uporządkowanie wzoru wielomianu $W(x)$:
Wymnażamy nawiasy w wyjściowym wzorze wielomianu i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} W(x) &= (x^2 + p)(x - q) + qx^2 \\[8pt] &= x^3 - qx^2 + px - pq + qx^2 \\[8pt] &= x^3 + px - pq \end{aligned}$$ Wyrazy $-qx^2$ oraz $qx^2$ zredukowały się wzajemnie, dzięki czemu wielomian zawiera jedynie potęgi nieparzyste zmiennej $x$ oraz wyraz wolny.
Wyznaczenie sumy reszt i obliczenie wartości parametru $q$:
Obliczamy wartości wielomianu dla argumentów $x = a$ oraz $x = -a$: $$\begin{aligned} W(a) &= a^3 + pa - pq \\[8pt] W(-a) &= (-a)^3 + p(-a) - pq \\[8pt] &= -a^3 - pa - pq \end{aligned}$$ Dodajemy wyznaczone wartości stronami: $$\begin{aligned} W(a) + W(-a) &= (a^3 + pa - pq) + (-a^3 - pa - pq) \\[8pt] &= a^3 - a^3 + pa - pa - 2pq \\[8pt] &= -2pq \end{aligned}$$ Wyrazy nieparzyste zawierające $a$ zniosły się do zera. Przyrównujemy otrzymaną sumę do wartości podanej w treści zadania: $$-2pq = 8p$$ Ponieważ z założenia $p \neq 0$, możemy podzielić obie strony równania przez $-2p$: $$\begin{aligned} q &= \dfrac{8p}{-2p} \\[8pt] q &= -4 \end{aligned}$$
Obliczenie szukanej wartości $W(-4)$:
Podstawiamy obliczoną wartość $q = -4$ do uporządkowanego wzoru wielomianu: $$\begin{aligned} W(x) &= x^3 + px - p \cdot (-4) \\[8pt] &= x^3 + px + 4p \end{aligned}$$ Wstawiamy argument $x = -4$: $$\begin{aligned} W(-4) &= (-4)^3 + p \cdot (-4) + 4p \\[8pt] &= -64 - 4p + 4p \\[8pt] &= -64 \end{aligned}$$ Składniki zawierające parametr $p$ redukują się, co daje ostateczną wartość liczbową niezależną od $p$.

Weryfikacja z postaci pierwotnej: Wstawiając $q = -4$ bezpośrednio do wzoru $W(x) = (x^2 + p)(x - q) + qx^2$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} W(-4) &= \left((-4)^2 + p\right)\left(-4 - (-4)\right) + (-4) \cdot (-4)^2 \\[8pt] &= (16 + p) \cdot 0 - 4 \cdot 16 \\[8pt] &= -64 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Wartość wielomianu dla argumentu $-4$ wynosi $W(-4) = -64$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Wielomian $W(x) = 3x^4 + ax^3 + bx^2 + 8x - 2$ jest podzielny przez trójmian $P(x) = 3x^2 + 2x - 1$. Wyznacz liczby $a$ i $b$.

Wskazówki:

Jeżeli wielomian $W(x)$ jest podzielny przez trójmian kwadratowy $P(x)$, to każdy pierwiastek trójmianu $P(x)$ musi być również pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ (twierdzenie Bézouta).
Alternatywną metodą jest metoda współczynników nieoznaczonych: iloraz $Q(x) = \dfrac{W(x)}{P(x)}$ jest trójmianem kwadratowym, którego skrajne współczynniki można natychmiast odczytać.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie pierwiastków trójmianu $P(x)$:
Rozpatrujemy równanie wyjściowe trójmianu $P(x) = 3x^2 + 2x - 1 = 0$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) \\[8pt] &= 4 + 12 = 16 = 4^2 \end{aligned}$$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \dfrac{-6}{6} = -1 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$$ Trójmian $P(x)$ można więc zapisać w postaci iloczynowej: $$P(x) = (x + 1)(3x - 1)$$
Sposób I – Zastosowanie twierdzenia Bézouta i ułożenie układu równań:
Skoro wielomian $W(x) = 3x^4 + ax^3 + bx^2 + 8x - 2$ jest podzielny przez $P(x)$, to zachodzą równości $W(-1) = 0$ oraz $W\left(\dfrac{1}{3}\right) = 0$.
Podstawiamy $x = -1$: $$\begin{aligned} W(-1) &= 3 \cdot (-1)^4 + a \cdot (-1)^3 + b \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) - 2 \\[8pt] &= 3 \cdot 1 - a + b - 8 - 2 \\[8pt] &= -a + b - 7 \end{aligned}$$ Przyrównujemy do zera: $$-a + b - 7 = 0 \implies b = a + 7$$ Podstawiamy $x = \dfrac{1}{3}$: $$\begin{aligned} W\left(\dfrac{1}{3}\right) &= 3 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^4 + a \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 + b \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + 8 \cdot \dfrac{1}{3} - 2 \\[8pt] &= 3 \cdot \dfrac{1}{81} + \dfrac{a}{27} + \dfrac{b}{9} + \dfrac{8}{3} - 2 \\[8pt] &= \dfrac{1}{27} + \dfrac{a}{27} + \dfrac{3b}{27} + \dfrac{72}{27} - \dfrac{54}{27} \\[8pt] &= \dfrac{a + 3b + 19}{27} \end{aligned}$$ Przyrównujemy do zera: $$a + 3b + 19 = 0$$
Sposób I – Wyznaczenie liczb $a$ i $b$:
Wstawiamy zależność $b = a + 7$ do drugiego równania: $$\begin{aligned} a + 3(a + 7) + 19 &= 0 \\[8pt] a + 3a + 21 + 19 &= 0 \\[8pt] 4a + 40 &= 0 \\[8pt] 4a &= -40 \\[8pt] a &= -10 \end{aligned}$$ Wyliczamy wartość współczynnika $b$: $$b = -10 + 7 = -3$$
Sposób II – Metoda współczynników nieoznaczonych:
Wielomian $W(x)$ jest stopnia 4, a trójmian $P(x)$ jest stopnia 2. Z podzielności wynika, że iloraz $Q(x) = \dfrac{W(x)}{P(x)}$ jest trójmianem stopnia drugiego postaci: $$Q(x) = c x^2 + d x + e$$ Porównując współczynniki przy najwyższej potędze oraz wyrazie wolnym: - Przy $x^4$: $3x^4 = 3x^2 \cdot c x^2 \implies c = 1$ - Wyraz wolny: $-2 = -1 \cdot e \implies e = 2$ Otrzymujemy postać ilorazu $Q(x) = x^2 + d x + 2$. Wymnażamy iloczyn $P(x) \cdot Q(x)$: $$\begin{aligned} P(x) \cdot Q(x) &= (3x^2 + 2x - 1)(x^2 + dx + 2) \\[8pt] &= 3x^2(x^2 + dx + 2) + 2x(x^2 + dx + 2) - 1(x^2 + dx + 2) \\[8pt] &= 3x^4 + 3dx^3 + 6x^2 + 2x^3 + 2dx^2 + 4x - x^2 - dx - 2 \\[8pt] &= 3x^4 + (3d + 2)x^3 + (2d + 5)x^2 + (4 - d)x - 2 \end{aligned}$$ Porównujemy współczynniki z wielomianem $W(x) = 3x^4 + ax^3 + bx^2 + 8x - 2$: - Przy $x$: $$4 - d = 8 \implies d = -4$$ - Przy $x^3$: $$a = 3d + 2 = 3 \cdot (-4) + 2 = -12 + 2 = -10$$ - Przy $x^2$: $$b = 2d + 5 = 2 \cdot (-4) + 5 = -8 + 5 = -3$$

Odpowiedź:
Szukane liczby to $a = -10$ oraz $b = -3$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Przedstaw wielomian $W(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 12x - 9$ w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.

Wskazówki:

Zapisz poszukiwaną postać jako iloczyn dwóch trójmianów $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$, wymnóż nawiasy i porównaj współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej $x$.
Alternatywnie zauważ, że wyrazy $x^4 + 2x^3$ stanowią początek kwadratu sumy $(x^2 + x)^2$, co pozwala sprowadzić wielomian do różnicy kwadratów $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Metoda współczynników nieoznaczonych:
Poszukujemy rozkładu wielomianu $W(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 12x - 9$ na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych ze współczynnikami $1$ przy najwyższych potęgach: $$W(x) = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d), \quad \text{gdzie } a, b, c, d \in \mathbb{Z}$$ Wymnażamy oba nawiasy i porządkujemy wyrazy według potęg zmiennej $x$: $$\begin{aligned} (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) &= x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd \\[8pt] &= x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd \end{aligned}$$ Porównujemy współczynniki otrzymanego wyrażenia ze współczynnikami wyjściowego wielomianu: $$\begin{cases} a + c = 2 \\[6pt] ac + b + d = -3 \\[6pt] ad + bc = -12 \\[6pt] bd = -9 \end{cases}$$ Współczynniki $b$ i $d$ są liczbami całkowitymi, a ich iloczyn wynosi $bd = -9$. Rozpatrujemy całkowite dzielniki liczby $-9$. Sprawdzamy parę $b = 3$ oraz $d = -3$:

Wówczas $b + d = 3 + (-3) = 0$. Wstawiamy tę sumę do drugiego równania: $$\begin{aligned} ac + 0 &= -3 \\[8pt] ac &= -3 \end{aligned}$$ Z pierwszego równania wyznaczamy $c = 2 - a$ i podstawiamy do zależności $ac = -3$: $$\begin{aligned} a(2 - a) &= -3 \\[8pt] 2a - a^2 &= -3 \\[8pt] a^2 - 2a - 3 &= 0 \\[8pt] (a - 3)(a + 1) &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymujemy dwa rozwiązania: $a = 3$ (wtedy $c = -1$) lub $a = -1$ (wtedy $c = 3$).

Sprawdzamy trzecie równanie dla zestawu $a = 3$, $c = -1$, $b = 3$, $d = -3$: $$\begin{aligned} ad + bc &= 3 \cdot (-3) + 3 \cdot (-1) \\[8pt] &= -9 - 3 \\[8pt] &= -12 \end{aligned}$$ Równość jest spełniona. Wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, zatem poszukiwana postać iloczynowa to: $$W(x) = (x^2 + 3x + 3)(x^2 - x - 3)$$
Sposób II – Grupowanie i sprowadzenie do różnicy kwadratów:
Wielomian możemy rozłożyć bez układania układu równań, wykorzystując wzory skróconego mnożenia. Rozpatrujemy wyjściowy wielomian: $$W(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 12x - 9$$ Zauważamy, że dwa pierwsze wyrazy $x^4 + 2x^3$ stanowią początek rozwinięcia kwadratu sumy $(x^2 + x)^2 = x^4 + 2x^3 + x^2$.

Dodajemy i odejmujemy wyraz $x^2$, aby uzupełnić wyrażenie do pełnego kwadratu: $$\begin{aligned} W(x) &= (x^4 + 2x^3 + x^2) - x^2 - 3x^2 - 12x - 9 \\[8pt] &= (x^2 + x)^2 - (4x^2 + 12x + 9) \end{aligned}$$ Zauważamy, że wyrażenie w drugim nawiasie to kwadrat sumy: $$4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$$ Otrzymujemy postać różnicy kwadratów $A^2 - B^2$: $$W(x) = (x^2 + x)^2 - (2x + 3)^2$$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ dla $A = x^2 + x$ oraz $B = 2x + 3$: $$\begin{aligned} W(x) &= [(x^2 + x) - (2x + 3)][(x^2 + x) + (2x + 3)] \\[8pt] &= (x^2 + x - 2x - 3)(x^2 + x + 2x + 3) \\[8pt] &= (x^2 - x - 3)(x^2 + 3x + 3) \end{aligned}$$ Otrzymany iloczyn spełnia wszystkie warunki zadania.

Odpowiedź:
$W(x) = (x^2 + 3x + 3)(x^2 - x - 3)$

Zadanie 4 (3 pkt)

Wielomian $W(x) = x^5 + 2x^4 + px^3 + qx^2 + 12x + r$ jest podzielny przez wielomian $R(x) = x^3 - 2x + 5$. Wyznacz liczby $p$, $q$ i $r$.

Wskazówki:

Podzielność wielomianu $W(x)$ przez $R(x)$ oznacza, że reszta z dzielenia tych wielomianów jest równa zero (jest wielomianem zerowym).
Zadanie możesz rozwiązać na dwa sposoby: wykonując pisemne dzielenie wielomianów z parametrami i przyrównując współczynniki reszty do zera (Sposób I) lub wykorzystując postać iloczynową $W(x) = R(x) \cdot Q(x)$ i porównując współczynniki wielomianów (Sposób II).
Stopień ilorazu wynosi $\text{st.}(W) - \text{st.}(R) = 5 - 3 = 2$, a współczynnik przy $x^2$ wynosi $1$, co pozwala zapisać iloraz w postaci $Q(x) = x^2 + bx + c$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Dzielenie pisemne wielomianów z parametrami:
Wykonujemy dzielenie wielomianu $W(x) = x^5 + 2x^4 + px^3 + qx^2 + 12x + r$ przez wielomian $R(x) = x^3 - 2x + 5$:

• Dzielimy wyraz o najwyższej potędze $x^5$ przez $x^3$, otrzymując $x^2$, i odejmujemy iloczyn $x^2(x^3 - 2x + 5) = x^5 - 2x^3 + 5x^2$: $$\begin{aligned} &(x^5 + 2x^4 + px^3 + qx^2 + 12x + r) - (x^5 - 2x^3 + 5x^2) \\[8pt] &= 2x^4 + (p + 2)x^3 + (q - 5)x^2 + 12x + r \end{aligned}$$ • Dzielimy wyraz $2x^4$ przez $x^3$, otrzymując $2x$, i odejmujemy iloczyn $2x(x^3 - 2x + 5) = 2x^4 - 4x^2 + 10x$: $$\begin{aligned} &[2x^4 + (p + 2)x^3 + (q - 5)x^2 + 12x + r] - (2x^4 - 4x^2 + 10x) \\[8pt] &= (p + 2)x^3 + [q - 5 - (-4)]x^2 + (12 - 10)x + r \\[8pt] &= (p + 2)x^3 + (q - 1)x^2 + 2x + r \end{aligned}$$ • Dzielimy wyraz $(p + 2)x^3$ przez $x^3$, otrzymując $(p + 2)$, i odejmujemy iloczyn $(p + 2)(x^3 - 2x + 5) = (p + 2)x^3 - 2(p + 2)x + 5(p + 2)$: $$\begin{aligned} &[(p + 2)x^3 + (q - 1)x^2 + 2x + r] - [(p + 2)x^3 - 2(p + 2)x + 5(p + 2)] \\[8pt] &= (q - 1)x^2 + [2 - (-2(p + 2))]x + [r - 5(p + 2)] \\[8pt] &= (q - 1)x^2 + (2p + 6)x + (r - 5p - 10) \end{aligned}$$ Otrzymana reszta z dzielenia ma postać: $$R_{\text{reszta}}(x) = (q - 1)x^2 + (2p + 6)x + (r - 5p - 10)$$
Wyznaczenie parametrów z warunku zerowania się reszty (dokończenie Sposobu I):
Wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $R(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy reszta jest wielomianem tożsamościowo równym zero. Oznacza to, że wszystkie jej współczynniki muszą wynosić zero: $$\begin{cases} q - 1 = 0 \\[6pt] 2p + 6 = 0 \\[6pt] r - 5p - 10 = 0 \end{cases}$$ Rozwiązujemy układ równań: $$\begin{aligned} q - 1 = 0 &\implies q = 1 \\[8pt] 2p + 6 = 0 &\implies 2p = -6 \implies p = -3 \\[8pt] r - 5(-3) - 10 = 0 &\implies r + 15 - 10 = 0 \implies r + 5 = 0 \implies r = -5 \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie iloczynu wielomianów i twierdzenia o równości wielomianów:
Wielomian $W(x)$ ma stopień $5$, a wielomian $R(x)$ stopień $3$. Z definicji podzielności iloraz $Q(x)$ musi być trójmianem kwadratowym stopnia drugiego: $$\text{st.}(Q) = 5 - 3 = 2$$ Ponieważ współczynniki przy najwyższych potęgach w $W(x)$ oraz $R(x)$ są równe $1$, iloraz możemy zapisać w postaci: $$Q(x) = x^2 + bx + c$$ Zgodnie z warunkiem podzielności zachodzi tożsamość: $$W(x) = R(x) \cdot Q(x)$$ Wymnażamy wielomiany: $$\begin{aligned} R(x) \cdot Q(x) &= (x^3 - 2x + 5)(x^2 + bx + c) \\[8pt] &= x^3(x^2 + bx + c) - 2x(x^2 + bx + c) + 5(x^2 + bx + c) \\[8pt] &= x^5 + bx^4 + cx^3 - 2x^3 - 2bx^2 - 2cx + 5x^2 + 5bx + 5c \\[8pt] &= x^5 + bx^4 + (c - 2)x^3 + (5 - 2b)x^2 + (5b - 2c)x + 5c \end{aligned}$$
Porównanie odpowiednich współczynników (dokończenie Sposobu II):
Przyrównujemy otrzymane współczynniki do współczynników wielomianu $W(x) = x^5 + 2x^4 + px^3 + qx^2 + 12x + r$: $$\begin{cases} x^4:\quad b = 2 \\[6pt] x:\quad 5b - 2c = 12 \\[6pt] x^3:\quad p = c - 2 \\[6pt] x^2:\quad q = 5 - 2b \\[6pt] x^0:\quad r = 5c \end{cases}$$ Podstawiamy $b = 2$ do równania dla współczynnika przy zmiennej $x$: $$\begin{aligned} 5 \cdot 2 - 2c &= 12 \\[8pt] 10 - 2c &= 12 \\[8pt] -2c &= 2 \implies c = -1 \end{aligned}$$ Mając wartości $b = 2$ oraz $c = -1$, wyznaczamy szukane liczby $p$, $q$ i $r$: $$\begin{aligned} p &= -1 - 2 = -3 \\[8pt] q &= 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1 \\[8pt] r &= 5 \cdot (-1) = -5 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Szukane liczby to: $p = -3$, $q = 1$, $r = -5$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametrów $a$, $b$ i $c$, dla których wielomian $W(x) = 10(x - 2)^2 + a(x + 1)^3 + b(x - 1)^5 + c$ jest podzielny przez wielomian $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$.

Wskazówki:

Rozłóż wielomian $P(x)$ na czynniki liniowe metodą grupowania wyrazów, aby wyznaczyć wszystkie jego pierwiastki.
Wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$ będący iloczynem różnych dwumianów liniowych wtedy i tylko wtedy, gdy każdy pierwiastek wielomianu $P(x)$ jest jednocześnie pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ (twierdzenie Bézouta).
Ułóż układ trzech równań liniowych z niewiadomymi $a$, $b$ i $c$, wstawiając wyznaczone pierwiastki do wzoru wielomianu $W(x)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozkład wielomianu $P(x)$ na czynniki i wyznaczenie jego pierwiastków:
Zapisujemy wielomian dzielący $P(x)$ i grupujemy jego wyrazy: $$\begin{aligned} P(x) &= x^3 - 2x^2 - x + 2 \\[8pt] &= x^2(x - 2) - 1 \cdot (x - 2) \\[8pt] &= (x^2 - 1)(x - 2) \\[8pt] &= (x - 1)(x + 1)(x - 2) \end{aligned}$$ Przyrównując wielomian $P(x)$ do zera, otrzymujemy trzy różne pierwiastki rzeczywiste: $$x_1 = 1, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = 2$$
Zastosowanie warunku podzielności wielomianów:
Wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$ wtedy i tylko wtedy, gdy reszta z dzielenia wynosi zero, co oznacza, że pierwiastki wielomianu $P(x)$ zerują wielomian $W(x)$: $$\begin{cases} W(2) = 0 \\[6pt] W(1) = 0 \\[6pt] W(-1) = 0 \end{cases}$$
Wyznaczenie wartości wielomianu $W(x)$ dla poszczególnych pierwiastków:
Wstawiamy kolejno liczby $2$, $1$ oraz $-1$ do wzoru wielomianu $W(x) = 10(x - 2)^2 + a(x + 1)^3 + b(x - 1)^5 + c$:

Dla $x = 2$: $$\begin{aligned} W(2) &= 10(2 - 2)^2 + a(2 + 1)^3 + b(2 - 1)^5 + c \\[8pt] &= 10 \cdot 0^2 + a \cdot 3^3 + b \cdot 1^5 + c \\[8pt] &= 27a + b + c \end{aligned}$$ Z warunku $W(2) = 0$ otrzymujemy pierwsze równanie: $$27a + b + c = 0$$ Dla $x = 1$: $$\begin{aligned} W(1) &= 10(1 - 2)^2 + a(1 + 1)^3 + b(1 - 1)^5 + c \\[8pt] &= 10 \cdot (-1)^2 + a \cdot 2^3 + b \cdot 0^5 + c \\[8pt] &= 10 \cdot 1 + 8a + 0 + c \\[8pt] &= 8a + c + 10 \end{aligned}$$ Z warunku $W(1) = 0$ otrzymujemy drugie równanie: $$8a + c + 10 = 0 \iff 8a + c = -10$$ Dla $x = -1$: $$\begin{aligned} W(-1) &= 10(-1 - 2)^2 + a(-1 + 1)^3 + b(-1 - 1)^5 + c \\[8pt] &= 10 \cdot (-3)^2 + a \cdot 0^3 + b \cdot (-2)^5 + c \\[8pt] &= 10 \cdot 9 + 0 + b \cdot (-32) + c \\[8pt] &= 90 - 32b + c \end{aligned}$$ Z warunku $W(-1) = 0$ otrzymujemy trzecie równanie: $$90 - 32b + c = 0 \iff -32b + c = -90$$
Rozwiązanie układu trzech równań liniowych:
Zestawiamy otrzymane równania w układ: $$\begin{cases} 27a + b + c = 0 \\[6pt] 8a + c = -10 \\[6pt] -32b + c = -90 \end{cases}$$ Z drugiego równania wyznaczamy parametr $c$: $$c = -8a - 10$$ Wstawiamy wyrażenie na $c$ do trzeciego równania: $$\begin{aligned} -32b + (-8a - 10) &= -90 \\[8pt] -8a - 32b &= -80 \quad / : (-8) \\[8pt] a + 4b &= 10 \end{aligned}$$ Wstawiamy wyrażenie na $c$ do pierwszego równania: $$\begin{aligned} 27a + b + (-8a - 10) &= 0 \\[8pt] 19a + b - 10 &= 0 \\[8pt] b &= 10 - 19a \end{aligned}$$ Podstawiamy $b = 10 - 19a$ do równania $a + 4b = 10$: $$\begin{aligned} a + 4(10 - 19a) &= 10 \\[8pt] a + 40 - 76a &= 10 \\[8pt] -75a &= -30 \quad / : (-75) \\[8pt] a &= \dfrac{30}{75} = \dfrac{2}{5} \end{aligned}$$ Obliczamy wartość parametru $b$: $$\begin{aligned} b &= 10 - 19 \cdot \dfrac{2}{5} \\[8pt] &= \dfrac{50}{5} - \dfrac{38}{5} = \dfrac{12}{5} \end{aligned}$$ Obliczamy wartość parametru $c$: $$\begin{aligned} c &= -8 \cdot \dfrac{2}{5} - 10 \\[8pt] &= -\dfrac{16}{5} - \dfrac{50}{5} = -\dfrac{66}{5} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$ dla parametrów $a = \dfrac{2}{5}$, $b = \dfrac{12}{5}$ oraz $c = -\dfrac{66}{5}$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Suma reszt, jakie otrzymujemy, dzieląc wielomian $W(x) = (x^2 + px + q)(x - p)$ przez dwumiany $(x - \sqrt{5} + \sqrt{3})$ i $(x + \sqrt{5} - \sqrt{3})$, jest równa $6q$, gdzie $q \neq 0$. Oblicz $W(-3)$.