Aby dwa okręgi miały wspólną część, muszą być spełnione następujące warunki: 1. Promienie okręgów muszą być dodatnie. 2. Odległość między środkami musi spełniać warunki związane z sumą i różnicą promieni. Warunki dla promieni: Promienie to $r_1 = 7 - a$ i $r_2 = 3a$. \[ 7 - a > 0 \] \[ a < 7 \] \[ 3a > 0 \] \[ a > 0 \] Z tych warunków wynika, że: \[ 0 < a < 7 \] Warunki geometryczne: Odległość między środkami okręgów wynosi $d = 12$. Okręgi mają wspólną część, jeśli: \[ |r_1 - r_2| \le d \le r_1 + r_2 \] Podstawiamy wartości: \[ |(7 - a) - 3a| \le 12 \le (7 - a) + 3a \] Upraszczamy wyrażenia dla sumy i różnicy promieni: \[ r_1 + r_2 = 7 - a + 3a = 7 + 2a \] \[ r_1 - r_2 = 7 - a - 3a = 7 - 4a \] Rozpatrujemy dwie nierówności: Nierówność 1: $d \le r_1 + r_2$ \[ 12 \le 7 + 2a \] \[ 12 - 7 \le 2a \] \[ 5 \le 2a \] \[ a \ge \frac{5}{2} \] Nierówność 2: $d \ge |r_1 - r_2|$ \[ 12 \ge |7 - 4a| \] Jest to równoważne: \[ -12 \le 7 - 4a \le 12 \] Rozdzielamy na dwie nierówności: Pierwsza część: \[ -12 \le 7 - 4a \] \[ -12 - 7 \le -4a \] \[ -19 \le -4a \] Dzieląc przez $-4$ i zmieniając znak nierówności: \[ a \le \frac{-19}{-4} \] \[ a \le \frac{19}{4} \] Druga część: \[ 7 - 4a \le 12 \] \[ -4a \le 12 - 7 \] \[ -4a \le 5 \] Dzieląc przez $-4$ i zmieniając znak nierówności: \[ a \ge \frac{5}{-4} \] \[ a \ge -\frac{5}{4} \] Łącząc wyniki z Nierówności 2: \[ -\frac{5}{4} \le a \le \frac{19}{4} \] Łączenie wszystkich warunków: Musimy znaleźć część wspólną przedziałów: 1. $a \in (0, 7)$ (z warunku na promienie) 2. $a \in \left[\frac{5}{2}, \infty\right)$ (z nierówności $d \le r_1 + r_2$) 3. $a \in \left[-\frac{5}{4}, \frac{19}{4}\right]$ (z nierówności $d \ge |r_1 - r_2|$) Przedział z warunków 1 i 2: \[ a \in \left[\frac{5}{2}, 7\right) \] Przedział z warunku 3: \[ a \in \left[-\frac{5}{4}, \frac{19}{4}\right] \] Część wspólna tych dwóch przedziałów: \[ \left[\frac{5}{2}, 7\right) \cap \left[-\frac{5}{4}, \frac{19}{4}\right] \] Dolna granica to $\max\left(\frac{5}{2}, -\frac{5}{4}\right) = \frac{5}{2}$. Górna granica to $\min\left(7, \frac{19}{4}\right) = \frac{19}{4}$, ponieważ $\frac{19}{4} = 4.75$ i $7 = 28/4$. Ostateczny przedział dla $a$: \[ a \in \left[\frac{5}{2}, \frac{19}{4}\right] \]