Wielomiany sprawdzian 2

Wielomiany

Sprawdzian 2

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Wielomian $W(x)$ przy dzieleniu przez trójmian $x^2 - x - 2$ daje resztę $x - 3$ a przy dzieleniu przez trójmian $x^2 - x - 6$ daje resztę $x + 1$.

Wyznacz resztę z dzielenia $W(x)$ przez trójmian $x^2 - 2x - 3$.

Wskazówki:

Każde dzielenie wielomianu $W(x)$ przez wielomian $P(x)$ z resztą $R(x)$ można zapisać tożsamościowo w postaci: $W(x) = Q(x) \cdot P(x) + R(x)$, gdzie $Q(x)$ jest ilorazem.
Stopień reszty jest zawsze ostro mniejszy od stopnia dzielnika. Ponieważ dzielnik $x^2 - 2x - 3$ jest stopnia drugiego, szukana reszta ma stopień co najwyżej pierwszy, czyli ma postać liniową $R(x) = ax + b$.
Rozłóż trójmiany kwadratowe na czynniki liniowe, aby poznać ich pierwiastki. Wstawienie pierwiastków dzielnika do tożsamości z dzielenia pozwala obliczyć wartości wielomianu $W(x)$ w tych punktach bez znajomości pełnego wzoru wielomianu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozkład trójmianów podanych w treści zadania i wyznaczenie wartości wielomianu:
Zapisujemy dzielenie wielomianu $W(x)$ przez pierwszy trójmian $x^2 - x - 2$: $$W(x) = Q_1(x) \cdot (x^2 - x - 2) + (x - 3)$$ Rozkładamy trójmian $x^2 - x - 2$ na postać iloczynową: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \quad \sqrt{\Delta} = 3$$ $$x_1 = \dfrac{1 - 3}{2} = -1, \quad x_2 = \dfrac{1 + 3}{2} = 2$$ Stąd trójmian przyjmuje postać $(x + 1)(x - 2)$, a tożsamość dzielenia to: $$W(x) = Q_1(x) \cdot (x + 1)(x - 2) + (x - 3)$$ Podstawiając $x = -1$, wyznaczamy wartość wielomianu w tym punkcie: $$\begin{aligned} W(-1) &= Q_1(-1) \cdot (-1 + 1)(-1 - 2) + (-1 - 3) \\[8pt] &= Q_1(-1) \cdot 0 - 4 \\[8pt] &= -4 \end{aligned}$$
Analogicznie zapisujemy dzielenie wielomianu $W(x)$ przez drugi trójmian $x^2 - x - 6$: $$W(x) = Q_2(x) \cdot (x^2 - x - 6) + (x + 1)$$ Rozkładamy trójmian $x^2 - x - 6$ na czynniki: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25, \quad \sqrt{\Delta} = 5$$ $$x_1 = \dfrac{1 - 5}{2} = -2, \quad x_2 = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$$ Zatem $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$, a zależność ma postać: $$W(x) = Q_2(x) \cdot (x - 3)(x + 2) + (x + 1)$$ Podstawiając $x = 3$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} W(3) &= Q_2(3) \cdot (3 - 3)(3 + 2) + (3 + 1) \\[8pt] &= Q_2(3) \cdot 0 + 4 \\[8pt] &= 4 \end{aligned}$$
Rozkład szukanego trójmianu dzielącego i postać ogólna reszty:
Mamy wyznaczyć resztę z dzielenia $W(x)$ przez $P(x) = x^2 - 2x - 3$.
Rozkładamy ten trójmian na postać iloczynową: $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \quad \sqrt{\Delta} = 4$$ $$x_1 = \dfrac{2 - 4}{2} = -1, \quad x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$$ Otrzymujemy: $$x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$$ Ponieważ dzielnik jest wielomianem drugiego stopnia, reszta $R(x)$ musi być wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego: $$R(x) = ax + b, \quad \text{gdzie } a, b \in \mathbb{R}$$
Zapisanie tożsamości dzielenia i ułożenie układu równań:
Dzielenie wielomianu $W(x)$ przez $x^2 - 2x - 3$ zapisujemy jako: $$W(x) = Q(x) \cdot (x + 1)(x - 3) + ax + b$$ gdzie $Q(x)$ jest pewnym ilorazem.

Podstawiamy punkty $x = -1$ oraz $x = 3$, dla których znamy już wartości wielomianu:

Dla $x = -1$: $$\begin{aligned} W(-1) &= Q(-1) \cdot (-1 + 1)(-1 - 3) + a \cdot (-1) + b \\[8pt] -4 &= 0 - a + b \\[8pt] -a + b &= -4 \end{aligned}$$ Dla $x = 3$: $$\begin{aligned} W(3) &= Q(3) \cdot (3 + 1)(3 - 3) + a \cdot 3 + b \\[8pt] 4 &= 0 + 3a + b \\[8pt] 3a + b &= 4 \end{aligned}$$ Tworzymy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: $$\begin{cases} -a + b = -4 \\[6pt] 3a + b = 4 \end{cases}$$
Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie reszty:
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego stronami: $$\begin{aligned} (3a + b) - (-a + b) &= 4 - (-4) \\[8pt] 3a + b + a - b &= 4 + 4 \\[8pt] 4a &= 8 \\[8pt] a &= 2 \end{aligned}$$ Podstawiamy obliczoną wartość $a = 2$ do pierwszego równania: $$\begin{aligned} -2 + b &= -4 \\[8pt] b &= -4 + 2 \\[8pt] b &= -2 \end{aligned}$$ Podstawiamy współczynniki $a = 2$ oraz $b = -2$ do postaci ogólnej reszty $R(x) = ax + b$: $$R(x) = 2x - 2$$

Odpowiedź:
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez trójmian $x^2 - 2x - 3$ wynosi $R(x) = 2x - 2$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: $|x^3 - 7x - 6| = 2x^2 - 3x - 14$

Wskazówki:

Wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest zawsze nieujemna ($|A| \ge 0$), dlatego prawa strona równania musi spełniać warunek: $2x^2 - 3x - 14 \ge 0$.
Dla nieujemnej prawej strony równanie typu $|A| = B$ rozpisujemy jako dwa oddzielne przypadki: $A = B$ lub $A = -B$.
Każdy otrzymany pierwiastek należy bezwzględnie skonfrontować z warunkiem istnienia rozwiązań, odrzucając te, które leżą poza dopuszczalnym przedziałem (tzw. pierwiastki obce).

Rozwiązanie krok po kroku:

Warunek istnienia rozwiązań (nieujemność prawej strony):
Ponieważ lewa strona równania $|x^3 - 7x - 6| \ge 0$, prawa strona również nie może być ujemna: $$2x^2 - 3x - 14 \ge 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe za pomocą wyróżnika $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) \\[8pt] &= 9 + 112 = 121 = 11^2 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-3) - 11}{2 \cdot 2} = \dfrac{3 - 11}{4} = \dfrac{-8}{4} = -2 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-3) + 11}{2 \cdot 2} = \dfrac{3 + 11}{4} = \dfrac{14}{4} = \dfrac{7}{2} \end{aligned}$$ Współczynnik $a = 2 > 0$, więc ramiona paraboli skierowane są w górę. Zatem dopuszczalny zbiór rozwiązań to: $$x \in (-\infty, -2] \cup \left[\dfrac{7}{2}, +\infty\right)$$
Rozpatrzenie przypadku I ($A = B$):
Opuszczamy moduł bez zmiany znaku: $$x^3 - 7x - 6 = 2x^2 - 3x - 14$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: $$\begin{aligned} x^3 - 2x^2 - 7x + 3x - 6 + 14 &= 0 \\[8pt] x^3 - 2x^2 - 4x + 8 &= 0 \end{aligned}$$ Rozkładamy wielomian na czynniki przez grupowanie: $$\begin{aligned} x^2(x - 2) - 4(x - 2) &= 0 \\[8pt] (x^2 - 4)(x - 2) &= 0 \\[8pt] (x - 2)(x + 2)(x - 2) &= 0 \\[8pt] (x - 2)^2(x + 2) &= 0 \end{aligned}$$ Kandydatami na rozwiązania są: $$x = -2 \quad \text{lub} \quad x = 2$$ Weryfikacja kandydatów z warunkiem $x \in (-\infty, -2] \cup \left[\frac{7}{2}, +\infty\right)$:
- Dla $x = -2$: liczba należy do przedziału $(-\infty, -2]$ → spełnia warunek.
- Dla $x = 2$: liczba nie należy do dopuszczalnego zbioru ($-2 < 2 < 3{,}5$) → odrzucamy (pierwiastek obcy).
Rozpatrzenie przypadku II ($A = -B$):
Zmieniamy znak wyrażenia po prawej stronie: $$x^3 - 7x - 6 = -(2x^2 - 3x - 14)$$ Przekształcamy równanie: $$\begin{aligned} x^3 - 7x - 6 &= -2x^2 + 3x + 14 \\[8pt] x^3 + 2x^2 - 10x - 20 &= 0 \end{aligned}$$ Grupujemy wyrazy: $$\begin{aligned} x^2(x + 2) - 10(x + 2) &= 0 \\[8pt] (x^2 - 10)(x + 2) &= 0 \\[8pt] (x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10})(x + 2) &= 0 \end{aligned}$$ Kandydatami na rozwiązania są: $$x = -2, \quad x = -\sqrt{10}, \quad x = \sqrt{10}$$ Weryfikacja kandydatów z warunkiem $x \in (-\infty, -2] \cup \left[\frac{7}{2}, +\infty\right)$:
- Dla $x = -2$: liczba należy do przedziału $(-\infty, -2]$ → spełnia warunek.
- Dla $x = -\sqrt{10} \approx -3{,}16$: ponieważ $-\sqrt{10} \le -2$, liczba ta należy do $(-\infty, -2]$ → spełnia warunek.
- Dla $x = \sqrt{10} \approx 3{,}16$: ponieważ $(\sqrt{10})^2 = 10 < 12{,}25 = 3{,}5^2$, zachodzi $\sqrt{10} < \frac{7}{2}$. Liczba leży w obszarze odrzuconym → odrzucamy (pierwiastek obcy).
Podsumowanie i weryfikacja graficzna na osi liczbowej:
Zestawienie dopuszczalnych przedziałów dla prawej strony oraz wszystkich wyliczonych pierwiastków:

Odpowiedź:
Równanie posiada dwa rozwiązania: $x = -\sqrt{10}$ oraz $x = -2$, czyli $x \in \{-\sqrt{10}, -2\}$.

Zadanie 3 (2 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji

a) $f(x) = \sqrt{x^3 + x^2 - 10x + 8}$

b) $f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{2x^4 - 3x^3 + x}}$

Wskazówki:

Wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem stopnia parzystego musi być większe bądź równe zero.
Gdy pod pierwiastkiem znajduje się ułamek, jego mianownik nie może być równy zero. Jeżeli w liczniku występuje liczba dodatnia, to cały ułamek jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy mianownik jest ściśle dodatni.
Rozłóż wielomiany na czynniki, szukając pierwiastków całkowitych wśród dzielników wyrazu wolnego, a następnie naszkicuj siatkę znaków (tzw. wężyk wielomianowy), pamiętając o krotnościach pierwiastków.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie dziedziny funkcji $f(x) = \sqrt{x^3 + x^2 - 10x + 8}$:
Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne: $$x^3 + x^2 - 10x + 8 \ge 0$$ Szukamy pierwiastków wielomianu $W(x) = x^3 + x^2 - 10x + 8$ wśród dzielników wyrazu wolnego $8$, czyli w zbiorze $\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\}$.
Sprawdzamy wartość dla $x = 1$: $$W(1) = 1^3 + 1^2 - 10 \cdot 1 + 8 = 1 + 1 - 10 + 8 = 0$$ Zatem liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu, co oznacza, że wielomian dzieli się przez dwumian $(x - 1)$. Rozkładamy wielomian na czynniki za pomocą grupowania wyrazów: $$\begin{aligned} x^3 + x^2 - 10x + 8 &= x^3 - x^2 + 2x^2 - 2x - 8x + 8 \\[8pt] &= x^2(x - 1) + 2x(x - 1) - 8(x - 1) \\[8pt] &= (x - 1)(x^2 + 2x - 8) \end{aligned}$$ Rozkładamy trójmian kwadratowy $x^2 + 2x - 8$: $$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$\sqrt{\Delta} = 6$$ $$x_1 = \dfrac{-2 - 6}{2} = -4, \quad x_2 = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2$$ Otrzymujemy pełną postać iloczynową nierówności: $$(x + 4)(x - 1)(x - 2) \ge 0$$ Wszystkie pierwiastki $\{-4, 1, 2\}$ są jednokrotne, a współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni ($a = 1 > 0$). Szkicujemy wykres znaków (zaczynając od prawej strony od góry, przecinając oś w każdym z pierwiastków) i odczytujemy przedziały, w których wykres leży nad osią lub na osi:

Ostatecznie dziedzina w podpunkcie a wynosi: $$D = [-4, 1] \cup [2, +\infty)$$
Podpunkt b) Wyznaczenie dziedziny funkcji $f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{2x^4 - 3x^3 + x}}$:
Wyrażenie pod pierwiastkiem musi spełniać dwa warunki: $$\dfrac{1}{2x^4 - 3x^3 + x} \ge 0 \quad \text{oraz} \quad 2x^4 - 3x^3 + x \neq 0$$ Ponieważ licznik ułamka jest równy $1 > 0$, cały ułamek jest większy od zera dokładnie wtedy, gdy jego mianownik jest ściśle dodatni: $$2x^4 - 3x^3 + x > 0$$ Wyłączamy wspólny czynnik $x$ przed nawias: $$x(2x^3 - 3x^2 + 1) > 0$$ Dla wielomianu $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$ sprawdzamy wartość dla $x = 1$: $$P(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$$ Liczba $1$ jest pierwiastkiem, więc dzielimy wielomian $P(x)$ przez $(x - 1)$: $$\begin{aligned} 2x^3 - 3x^2 + 1 &= 2x^3 - 2x^2 - x^2 + x - x + 1 \\[8pt] &= 2x^2(x - 1) - x(x - 1) - 1(x - 1) \\[8pt] &= (x - 1)(2x^2 - x - 1) \end{aligned}$$ Rozkładamy trójmian $2x^2 - x - 1$: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ $$\sqrt{\Delta} = 3$$ $$x_1 = \dfrac{1 - 3}{4} = -\dfrac{1}{2}, \quad x_2 = \dfrac{1 + 3}{4} = 1$$ Zatem trójmian przyjmuje postać: $$2x^2 - x - 1 = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 1) = (2x + 1)(x - 1)$$ Podstawiamy to do całego mianownika: $$\begin{aligned} 2x^4 - 3x^3 + x &= x(x - 1) \cdot 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 1) \\[8pt] &= 2x\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 1)^2 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy nierówność: $$2x\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 1)^2 > 0$$ Miejsca zerowe to: $$x = -\dfrac{1}{2} \text{ (pierwiastek 1-krotny)}, \quad x = 0 \text{ (pierwiastek 1-krotny)}, \quad x = 1 \text{ (pierwiastek 2-krotny)}$$ Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni ($2 > 0$). Wykres zaczynamy rysować od prawej strony od góry. W punkcie $x = 1$ (pierwiastek parzystokrotny) wykres odbija się od osi i nie zmienia znaku, natomiast w punktach $x = 0$ oraz $x = -\dfrac{1}{2}$ przecina oś:

Ponieważ nierówność jest ostra ($> 0$), punkty zerowe nie należą do dziedziny. Zwracamy uwagę na punkt $x = 1$, w którym mianownik się zeruje, zatem musi on zostać wyłączony ze zbioru rozwiązań.

Ostatecznie dziedzina w podpunkcie b wynosi: $$D = \left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$$

Odpowiedź:
a) $D = [-4, 1] \cup [2, +\infty)$

b) $D = \left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$

Zadanie 4 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, $m \in \mathbb{R}$, dla których równanie $(x + 2)[(m + 1)x^2 - 4mx + m + 1] = 0$ ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste.

Wskazówki:

Zauważ, że iloczyn wyrażeń jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero – wyznacz stąd pierwsze gotowe rozwiązanie $x = -2$.
Aby całe równanie miało trzy różne rozwiązania, czynnik w nawiasie kwadratowym musi być równaniem ściśle kwadratowym ($a \neq 0$) oraz posiadać dwa różne rozwiązania rzeczywiste ($\Delta > 0$).
Pamiętaj o warunku koniecznym: żadne z dwóch rozwiązań trójmianu kwadratowego nie może być równe $-2$, co oznacza, że wartość trójmianu dla $x = -2$ musi być różna od zera.
Wyznacz część wspólną wszystkich otrzymanych warunków dla parametru $m$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza struktury równania i sformułowanie warunków:
Równanie ma postać iloczynową: $$(x + 2)[(m + 1)x^2 - 4mx + m + 1] = 0$$ Iloczyn jest równy zero, gdy: $$x + 2 = 0 \quad \text{lub} \quad (m + 1)x^2 - 4mx + m + 1 = 0$$ Z pierwszego równania otrzymujemy jedno ustalone rozwiązanie rzeczywiste: $$x_0 = -2$$ Aby wyjściowe równanie miało łącznie trzy różne rozwiązania rzeczywiste, równanie w nawiasie kwadratowym: $$(m + 1)x^2 - 4mx + m + 1 = 0$$ musi spełniać równocześnie trzy warunki: $$\begin{cases} 1)\; a \neq 0 \quad \text{(równanie musi być kwadratowe)} \\[6pt] 2)\; \Delta > 0 \quad \text{(dwa różne rozwiązania rzeczywiste)} \\[6pt] 3)\; f(-2) \neq 0 \quad \text{(żadne z rozwiązań nie może być równe } -2\text{)} \end{cases}$$ gdzie $f(x) = (m + 1)x^2 - 4mx + m + 1$.
Warunek I – stopień równania ($a \neq 0$):
Współczynnik przy $x^2$ nie może być zerem: $$\begin{aligned} m + 1 &\neq 0 \\[8pt] m &\neq -1 \end{aligned}$$
Warunek II – dwa różne pierwiastki trójmianu ($\Delta > 0$):
Wyznaczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= (-4m)^2 - 4(m + 1)(m + 1) \\[8pt] &= 16m^2 - 4(m^2 + 2m + 1) \\[8pt] &= 16m^2 - 4m^2 - 8m - 4 \\[8pt] &= 12m^2 - 8m - 4 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy nierówność $\Delta > 0$: $$12m^2 - 8m - 4 > 0$$ Dzielimy obie strony nierówności przez $4$: $$3m^2 - 2m - 1 > 0$$ Obliczamy miejsca zerowe powstałego trójmianu zmiennej $m$: $$\begin{aligned} \Delta_m &= (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) \\[8pt] &= 4 + 12 = 16 \\[8pt] \sqrt{\Delta_m} &= 4 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} m_1 &= \dfrac{-(-2) - 4}{2 \cdot 3} = \dfrac{2 - 4}{6} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3} \\[8pt] m_2 &= \dfrac{-(-2) + 4}{2 \cdot 3} = \dfrac{2 + 4}{6} = \dfrac{6}{6} = 1 \end{aligned}$$ Współczynnik przy $m^2$ jest dodatni ($3 > 0$), zatem ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości dodatnie otrzymujemy dla: $$m \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{3}\right) \cup (1, +\infty)$$
Warunek III – wykluczenie pierwiastka $x = -2$ ($f(-2) \neq 0$):
Liczba $-2$ nie może być rozwiązaniem równania kwadratowego: $$f(-2) \neq 0$$ Podstawiamy $x = -2$ do wzoru trójmianu: $$\begin{aligned} (m + 1)(-2)^2 - 4m(-2) + m + 1 &\neq 0 \\[8pt] 4(m + 1) + 8m + m + 1 &\neq 0 \\[8pt] 4m + 4 + 8m + m + 1 &\neq 0 \\[8pt] 13m + 5 &\neq 0 \\[8pt] 13m &\neq -5 \\[8pt] m &\neq -\dfrac{5}{13} \end{aligned}$$
Wyznaczenie części wspólnej wszystkich warunków:
Zestawiamy uzyskane zależności: $$\begin{cases} m \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{3}\right) \cup (1, +\infty) \\[8pt] m \neq -1 \\[8pt] m \neq -\dfrac{5}{13} \end{cases}$$ Porównajmy wartości ułamków w przedziale ujemnym: $$-1 = -\dfrac{13}{13} < -\dfrac{5}{13} \approx -0{,}385 < -\dfrac{1}{3} \approx -0{,}333$$ Obie wykluczone wartości, $m = -1$ oraz $m = -\dfrac{5}{13}$, leżą wewnątrz przedziału $\left(-\infty, -\dfrac{1}{3}\right)$. Należy je zatem z niego usunąć.

Odpowiedź:
Równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste dla: $$m \in (-\infty, -1) \cup \left(-1, -\dfrac{5}{13}\right) \cup \left(-\dfrac{5}{13}, -\dfrac{1}{3}\right) \cup (1, +\infty)$$

Zadanie 5 (6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, $m \in \mathbb{R}$, dla których równanie $$\dfrac{1}{4}x^4 + 2\sqrt{3}mx^2 - m^2 - 6m + 7 = 0$$ ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Wskazówki:

Zastosuj podstawienie pomocnicze $t = x^2$, gdzie $t \ge 0$, sprowadzając wyjściowe równanie dwukwadratowe do równania kwadratowego ze zmienną $t$.
Zauważ, że dla każdego dodatniego pierwiastka zmiennej pomocniczej ($t > 0$) równanie $x^2 = t$ daje dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste: $x = \sqrt{t}$ oraz $x = -\sqrt{t}$. Dla $t = 0$ otrzymujemy jedno rozwiązanie ($x = 0$), a dla $t < 0$ brak rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Wyjściowe równanie będzie miało dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste w dwóch przypadkach:
– Przypadek I: równanie kwadratowe ze zmienną $t$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste o przeciwnych znakach ($t_1 > 0$ oraz $t_2 < 0$),
– Przypadek II: równanie kwadratowe ze zmienną $t$ ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty, który jest ściśle dodatni ($\Delta = 0$ oraz $t_0 > 0$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Wprowadzenie zmiennej pomocniczej i analiza liczby rozwiązań:
Zapisujemy wyjściowe równanie: $$\dfrac{1}{4}x^4 + 2\sqrt{3}mx^2 - m^2 - 6m + 7 = 0$$ Wprowadzamy podstawienie pomocnicze $t = x^2$, przy czym z własności kwadratu liczby rzeczywistej wynika warunek $t \ge 0$. Otrzymujemy równanie kwadratowe: $$\dfrac{1}{4}t^2 + 2\sqrt{3}mt - (m^2 + 6m - 7) = 0$$ Mnożymy obie strony równania przez $4$, aby uprościć współczynniki: $$t^2 + 8\sqrt{3}mt - 4(m^2 + 6m - 7) = 0$$ Współczynniki równania wynoszą: $$a = 1, \quad b = 8\sqrt{3}m, \quad c = -4(m^2 + 6m - 7)$$ Analiza liczby rozwiązań wyjściowego równania:
– Jeśli $t > 0$, to równość $x^2 = t$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste: $x = \sqrt{t}$ oraz $x = -\sqrt{t}$.
– Jeśli $t = 0$, to równość $x^2 = 0$ ma jedno rozwiązanie rzeczywiste: $x = 0$.
– Jeśli $t < 0$, to równość $x^2 = t$ nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Aby wyjściowe równanie miało dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste, równanie ze zmienną $t$ musi posiadać:
1) dwa różne pierwiastki rzeczywiste o przeciwnych znakach ($t_1 \cdot t_2 < 0$), albo
2) jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty, który jest ściśle dodatni ($\Delta = 0$ i $t_0 > 0$).
Przypadek I – Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki o przeciwnych znakach:
Warunek, aby równanie kwadratowe miało dwa pierwiastki o różnych znakach ($t_1 > 0$ i $t_2 < 0$), zapisujemy w postaci układu: $$\begin{cases} \Delta > 0 \\[6pt] t_1 \cdot t_2 < 0 \end{cases}$$ Korzystając ze wzoru Viète'a na iloczyn pierwiastków: $$t_1 \cdot t_2 = \dfrac{c}{a}$$ Warunek $t_1 \cdot t_2 < 0$ przy $a = 1 > 0$ oznacza, że $c < 0$. Zauważmy, że wówczas iloczyn $-4ac > 0$, a zatem wyróżnik: $$\Delta = b^2 - 4ac > 0$$ jest automatycznie dodatni dla każdego $m$. Wystarczy więc rozwiązać samą nierówność wynikającą ze wzoru Viète'a: $$\dfrac{-4(m^2 + 6m - 7)}{1} < 0$$ Dzielimy obie strony przez $-4$, zmieniając zwrot nierówności: $$m^2 + 6m - 7 > 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta_m &= 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) \\[8pt] &= 36 + 28 \\[8pt] &= 64 \end{aligned}$$ $$\sqrt{\Delta_m} = \sqrt{64} = 8$$ $$\begin{aligned} m_1 &= \dfrac{-6 - 8}{2} = \dfrac{-14}{2} = -7 \\[8pt] m_2 &= \dfrac{-6 + 8}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \end{aligned}$$ Ramiona paraboli są skierowane w górę ($a = 1 > 0$), zatem trójmian przyjmuje wartości dodatnie dla: $$m \in (-\infty, -7) \cup (1, \infty)$$
Przypadek II – Równanie kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek dodatni:
Układ warunków dla pierwiastka podwójnego ściśle dodatniego ma postać: $$\begin{cases} \Delta = 0 \\[6pt] t_0 > 0 \end{cases}$$ Obliczamy wyróżnik $\Delta$ równania kwadratowego ze zmienną $t$: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (8\sqrt{3}m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot [-4(m^2 + 6m - 7)] \\[8pt] &= 64 \cdot 3m^2 + 16(m^2 + 6m - 7) \\[8pt] &= 192m^2 + 16m^2 + 96m - 112 \\[8pt] &= 208m^2 + 96m - 112 \end{aligned}$$ Przyrównujemy wyróżnik do zera: $$208m^2 + 96m - 112 = 0$$ Dzielimy obie strony równania przez $16$: $$13m^2 + 6m - 7 = 0$$ Wyznaczamy wyróżnik $\Delta'$ dla tego równania: $$\begin{aligned} \Delta' &= 6^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-7) \\[8pt] &= 36 + 364 \\[8pt] &= 400 \end{aligned}$$ $$\sqrt{\Delta'} = \sqrt{400} = 20$$ Obliczamy wartości parametru $m$: $$\begin{aligned} m_3 &= \dfrac{-6 - 20}{2 \cdot 13} = \dfrac{-26}{26} = -1 \\[8pt] m_4 &= \dfrac{-6 + 20}{2 \cdot 13} = \dfrac{14}{26} = \dfrac{7}{13} \end{aligned}$$ Badamy warunek dodatniości pierwiastka podwójnego: $$\begin{aligned} t_0 &= -\dfrac{b}{2a} \\[8pt] &= -\dfrac{8\sqrt{3}m}{2 \cdot 1} \\[8pt] &= -4\sqrt{3}m \end{aligned}$$ Wymagamy, aby: $$-4\sqrt{3}m > 0 \iff m < 0$$ Sprawdzamy otrzymane wartości $m$:
– Dla $m = -1$: warunek $m < 0$ jest spełniony, a pierwiastek wynosi $t_0 = -4\sqrt{3}(-1) = 4\sqrt{3} > 0$. Wtedy równanie $x^2 = 4\sqrt{3}$ ma dokładnie dwa rozwiązania: $x = \pm 2\sqrt[4]{3}$. Zatem $m = -1$ spełnia warunki zadania.
– Dla $m = \dfrac{7}{13}$: wartość ta jest dodatnia ($m > 0$), więc $t_0 < 0$, co oznacza, że równanie $x^2 = t_0$ nie miałoby żadnych rozwiązań rzeczywistych. Wartość tę odrzucamy.

Z Przypadku II otrzymujemy zatem jedynie rozwiązanie: $$m = -1$$
Wyznaczenie sumy uzyskanych przedziałów i podsumowanie:
Łączymy zbiory rozwiązań uzyskane w obu rozpatrzonych przypadkach: $$\begin{aligned} m &\in (-\infty, -7) \cup (1, \infty) \cup \{-1\} \\[8pt] m &\in (-\infty, -7) \cup \{-1\} \cup (1, \infty) \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Równanie ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste dla $m \in (-\infty, -7) \cup \{-1\} \cup (1, \infty)$.

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Wielomian $W(x)$ przy dzieleniu przez trójmian $x^2-x-2$ daje resztę $2x-5$ a przy dzieleniu przez trójmian $x^2+2x-3$ daje resztę $3x+4$. Wyznacz resztę z dzielenia $W(x)$ przez trójmian $x^2+x-6$