Równania i nierówności kwadratowe z parametrem kartkówka

11.16 Równania i nierówności kwadratowe z parametrem

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, $m \in \mathbb{R}$, dla których dane równanie ma dwa rozwiązania. $$(m + 1)x^2 - 4x + m + 1 = 0$$

Wskazówki:

Równanie stopnia co najwyżej drugiego ma dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy jest równaniem kwadratowym ($a \neq 0$) oraz posiada dodatni wyróżnik ($\Delta > 0$).
Gdyby współczynnik $a = 0$, równanie stałoby się równaniem liniowym, które może mieć co najwyżej jedno rozwiązanie.
Rozwiąż nierówność kwadratową $\Delta > 0$ względem parametru $m$, a następnie wyznacz część wspólną z warunkiem $a \neq 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Ustalenie warunków istnienia dwóch rozwiązań równania:
Wypisujemy współczynniki danego równania w postaci ogólnej $ax^2 + bx + c = 0$: $$a = m + 1, \quad b = -4, \quad c = m + 1$$ Aby równanie posiadało dwa rozwiązania, muszą być jednocześnie spełnione dwa warunki: $$\begin{cases} a \neq 0 \quad \text{(równanie musi być kwadratowe)} \\[8pt] \Delta > 0 \quad \text{(równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki)} \end{cases}$$ Z pierwszego warunku otrzymujemy: $$\begin{aligned} m + 1 &\neq 0 \\[8pt] m &\neq -1 \end{aligned}$$ Gdyby $m = -1$, równanie przyjęłoby postać $-4x = 0 \implies x = 0$, mając tylko jedno rozwiązanie.
Wyznaczenie wyróżnika $\Delta$ i rozwiązanie nierówności $\Delta > 0$:
Obliczamy wyróżnik $\Delta$ w zależności od parametru $m$: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (-4)^2 - 4 \cdot (m + 1) \cdot (m + 1) \\[8pt] &= 16 - 4(m + 1)^2 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy nierówność $\Delta > 0$: $$\begin{aligned} 16 - 4(m + 1)^2 &> 0 \\[8pt] 4 - (m + 1)^2 &> 0 \end{aligned}$$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$: $$\begin{aligned} [2 - (m + 1)][2 + (m + 1)] &> 0 \\[8pt] (2 - m - 1)(2 + m + 1) &> 0 \\[8pt] (1 - m)(m + 3) &> 0 \\[8pt] -(m - 1)(m + 3) &> 0 \end{aligned}$$ Miejscami zerowymi wyróżnika są: $$m_1 = -3, \quad m_2 = 1$$ Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $m$ jest ujemny (ramiona paraboli skierowane są w dół), zatem wartości dodatnie ($\Delta > 0$) funkcja przyjmuje wewnątrz przedziału: $$m \in (-3, 1)$$
Zestawienie warunków, wykluczenie punktu $m = -1$ oraz interpretacja graficzna:
Wyznaczamy część wspólną obu rozpatrywanych warunków: $$\begin{cases} m \in (-3, 1) \\[8pt] m \neq -1 \end{cases}$$ Wartość $m = -1$ leży wewnątrz przedziału $(-3, 1)$, dlatego musimy ją wykluczyć ze zbioru rozwiązań: $$m \in (-3, -1) \cup (-1, 1)$$

Odpowiedź:
Równanie ma dwa rozwiązania dla $m \in (-3, -1) \cup (-1, 1)$.

Zadanie 2 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k, k \in \mathbb{R}$, dla których równanie:
a) $4(k^2 - 1)x^2 + (4k - 4)x + 1 = 0$ nie ma rozwiązań,

b) $(k - 2)x^2 + (k - 1)x + 1 = 0$ ma tylko jedno rozwiązanie,

Wskazówki:

W poleceniu użyto ogólnego sformułowania „równanie”, a nie „równanie kwadratowe”. Oznacza to, że należy obowiązkowo sprawdzić przypadek, w którym współczynnik przy najwyższej potędze $x^2$ zeruje się, sprowadzając równanie do postaci liniowej ($a = 0$).
Gdy równanie staje się liniowe:
- nie ma rozwiązań, gdy otrzymujemy sprzeczność (postać $0 \cdot x + c = 0$ dla $c \ne 0$),
- ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy współczynnik przy $x$ jest różny od zera ($b \ne 0$).
Gdy współczynnik przy $x^2$ jest różny od zera ($a \ne 0$), mamy do czynienia z równaniem kwadratowym:
- brak rozwiązań odpowiada warunkowi $\Delta < 0$,
- dokładnie jedno (podwójne) rozwiązanie odpowiada warunkowi $\Delta = 0$.
Ostateczną odpowiedzią jest suma rozwiązań (suma zbiorów) otrzymanych z przypadku liniowego oraz kwadratowego.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy wartości parametru $k$, dla których równanie $4(k^2 - 1)x^2 + (4k - 4)x + 1 = 0$ nie ma rozwiązań:
Współczynniki równania wynoszą: $$ a = 4(k^2 - 1), \quad b = 4k - 4, \quad c = 1 $$ Rozważamy dwa niezależne przypadki w zależności od współczynnika $a$:

Przypadek 1: Równanie stopnia pierwszego lub tożsamościowe/sprzeczne ($a = 0$):
$$ \begin{aligned} 4(k^2 - 1) &= 0 \\[8pt] k^2 - 1 &= 0 \\[8pt] k = 1 \quad &\text{lub} \quad k = -1 \end{aligned} $$ Sprawdzamy obie wartości parametru:
- Dla $k = 1$: $$ \begin{aligned} a &= 4(1^2 - 1) = 0 \\[8pt] b &= 4 \cdot 1 - 4 = 0 \\[8pt] c &= 1 \end{aligned} $$ Równanie przyjmuje postać: $$ 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 1 = 0 \iff 1 = 0 $$ Otrzymujemy równanie sprzeczne, które nie posiada żadnych rozwiązań ($x \in \emptyset$). Zatem wartość $k = 1$ spełnia warunki zadania.
- Dla $k = -1$: $$ \begin{aligned} a &= 4((-1)^2 - 1) = 0 \\[8pt] b &= 4 \cdot (-1) - 4 = -8 \\[8pt] c &= 1 \end{aligned} $$ Równanie przyjmuje postać liniową: $$ -8x + 1 = 0 \iff 8x = 1 \iff x = \dfrac{1}{8} $$ Równanie ma jedno rozwiązanie, więc wartość $k = -1$ nie spełnia warunku braku rozwiązań.
Przypadek 2: Równanie kwadratowe ($a \ne 0$, czyli $k \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$):
Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest ujemny ($\Delta < 0$).
Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$ \begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (4k - 4)^2 - 4 \cdot 4(k^2 - 1) \cdot 1 \\[8pt] &= [4(k - 1)]^2 - 16(k^2 - 1) \\[8pt] &= 16(k^2 - 2k + 1) - 16(k^2 - 1) \\[8pt] &= 16k^2 - 32k + 16 - 16k^2 + 16 \\[8pt] &= -32k + 32 = -32(k - 1) \end{aligned} $$ Rozwiązujemy nierówność $\Delta < 0$: $$ \begin{aligned} -32(k - 1) &< 0 \\[8pt] k - 1 &> 0 \\[8pt] k &> 1 \end{aligned} $$ Uwzględniając założenie przypadku kwadratowego ($k \ne 1$ oraz $k \ne -1$), z nierówności $k > 1$ otrzymujemy przedział: $$ k \in (1, +\infty) $$
Podsumowanie podpunktu a):
Łączymy rezultaty uzyskane w obu przypadkach: $$ k = 1 \quad \text{lub} \quad k \in (1, +\infty) \implies k \in \langle 1, +\infty) $$
Podpunkt b) Wyznaczamy wartości parametru $k$, dla których równanie $(k - 2)x^2 + (k - 1)x + 1 = 0$ ma tylko jedno rozwiązanie:
Współczynniki równania wynoszą: $$ a = k - 2, \quad b = k - 1, \quad c = 1 $$ Ponownie rozpatrujemy dwa przypadki:

Przypadek 1: Równanie liniowe ($a = 0$):
$$ k - 2 = 0 \iff k = 2 $$ Podstawiamy wartość $k = 2$ do równania wyjściowego: $$ \begin{aligned} (2 - 2)x^2 + (2 - 1)x + 1 &= 0 \\[8pt] 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 1 &= 0 \\[8pt] x + 1 &= 0 \\[8pt] x &= -1 \end{aligned} $$ Otrzymaliśmy równanie liniowe mające dokładnie jedno rozwiązanie ($x = -1$). Zatem liczba $k = 2$ jest jednym z poszukiwanych parametrów.

Przypadek 2: Równanie kwadratowe ($a \ne 0$, czyli $k \ne 2$):
Równanie kwadratowe posiada dokładnie jedno rozwiązanie (jeden pierwiastek podwójny) wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest równy zero ($\Delta = 0$).
Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$ \begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (k - 1)^2 - 4(k - 2) \cdot 1 \\[8pt] &= k^2 - 2k + 1 - 4k + 8 \\[8pt] &= k^2 - 6k + 9 \\[8pt] &= (k - 3)^2 \end{aligned} $$ Przyrównujemy wyróżnik do zera: $$ \begin{aligned} (k - 3)^2 &= 0 \\[8pt] k - 3 &= 0 \\[8pt] k &= 3 \end{aligned} $$ Sprawdzamy założenie przypadku kwadratowego: $k = 3 \ne 2$, co jest spełnione.
(Dla $k = 3$ równanie przyjmuje postać $x^2 + 2x + 1 = 0 \iff (x + 1)^2 = 0 \iff x = -1$, czyli ma dokładnie jedno rozwiązanie).

Podsumowanie podpunktu b):
Łącząc rozwiązania z obu przypadków, otrzymujemy dwie wartości parametru: $$ k = 2 \quad \text{lub} \quad k = 3 \implies k \in \{2, 3\} $$

Odpowiedź:
a) $k \in \langle 1, +\infty)$

b) $k \in \{2, 3\}$

Zadanie 3 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, $m \in \mathbb{R}$, dla których dana nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą $x$.

a) $-x^2 + (m + 2)x + m + 2 < 0$

b) $x^2 + \left(m + \dfrac{1}{2}\right)x + \dfrac{25}{16} \ge 0$

Wskazówki:

Nierówność kwadratowa postaci $ax^2 + bx + c < 0$ jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ wtedy i tylko wtedy, gdy parabola leży w całości poniżej osi $OX$. Wymaga to spełnienia układu warunków: $a < 0$ (ramiona skierowane w dół) oraz $\Delta < 0$ (brak punktów wspólnych z osią $OX$).
Nierówność kwadratowa postaci $ax^2 + bx + c \ge 0$ jest spełniona dla każdego $x \in \mathbb{R}$ wtedy i tylko wtedy, gdy parabola leży powyżej osi $OX$ lub styka się z nią w jednym punkcie (wierzchołku). Odpowiada to warunkom: $a > 0$ (ramiona w górę) oraz $\Delta \le 0$ (co najwyżej jeden punkt wspólny z osią $OX$).
Wyróżnik $\Delta$ tworzy nową nierówność kwadratową ze względu na parametr $m$. Można ją rozwiązać na dwa sposoby: poprzez faktoryzację (wzory skróconego mnożenia lub wyłączanie wspólnego czynnika) albo doprowadzając do postaci ogólnej i wyznaczając $\Delta_m$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $-x^2 + (m + 2)x + m + 2 < 0$:
Wypisujemy współczynniki trójmianu kwadratowego $f(x) = ax^2 + bx + c$: $$a = -1, \quad b = m + 2, \quad c = m + 2$$ Aby nierówność $f(x) < 0$ była spełniona dla każdego $x \in \mathbb{R}$, wykres funkcji musi znajdować się w całości pod osią $OX$. Wymaga to jednoczesnego spełnienia dwóch warunków: $$\begin{cases} a < 0 \\[6pt] \Delta < 0 \end{cases}$$ Współczynnik $a = -1 < 0$, więc pierwszy warunek jest spełniony tożsamościowo dla dowolnego $m \in \mathbb{R}$.

Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (m + 2)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (m + 2) \\[8pt] &= (m + 2)^2 + 4(m + 2) \end{aligned}$$ Warunek $\Delta < 0$ rozwiązujemy na dwa równorzędne sposoby:

Sposób I – Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias:
Wyłączamy wyrażenie $(m + 2)$ przed nawias: $$\begin{aligned} (m + 2)\big[(m + 2) + 4\big] &< 0 \\[8pt] (m + 2)(m + 6) &< 0 \end{aligned}$$ Miejscami zerowymi wielomianu po lewej stronie są $m_1 = -6$ oraz $m_2 = -2$. Parabola ma ramiona skierowane w górę, zatem przyjmuje wartości ujemne w przedziale otwartym: $$m \in (-6, -2)$$
Sposób II – Przekształcenie do postaci ogólnej i obliczenie $\Delta_m$:
Alternatywnie możemy pomnożyć wyjściową nierówność przez $-1$: $$x^2 - (m + 2)x - (m + 2) > 0$$ Dla trójmianu o współczynnikach $a = 1 > 0$, $b = -(m + 2)$, $c = -(m + 2)$ warunek $g(x) > 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ również wymaga $\Delta < 0$: $$\begin{aligned} \Delta &= [-(m + 2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot [-(m + 2)] \\[8pt] &= m^2 + 4m + 4 + 4m + 8 \\[8pt] &= m^2 + 8m + 12 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy nierówność $m^2 + 8m + 12 < 0$: $$\begin{aligned} \Delta_m &= 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \\[8pt] \sqrt{\Delta_m} &= 4 \\[8pt] m_1 &= \dfrac{-8 - 4}{2} = -6, \quad m_2 = \dfrac{-8 + 4}{2} = -2 \end{aligned}$$ Współczynnik przy $m^2$ jest dodatni ($1 > 0$), więc wartości ujemne leżą pomiędzy pierwiastkami: $$m \in (-6, -2)$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $x^2 + \left(m + \dfrac{1}{2}\right)x + \dfrac{25}{16} \ge 0$:
Wypisujemy współczynniki trójmianu kwadratowego $g(x) = ax^2 + bx + c$: $$a = 1, \quad b = m + \dfrac{1}{2}, \quad c = \dfrac{25}{16}$$ Nierówność $g(x) \ge 0$ jest nieostra. Aby była spełniona dla każdej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$, parabola musi leżeć w całości nad osią $OX$ lub dotykać jej dokładnie w jednym punkcie (wierzchołku). Odpowiada to układowi warunków: $$\begin{cases} a > 0 \\[6pt] \Delta \le 0 \end{cases}$$ Współczynnik $a = 1 > 0$, więc ramiona paraboli są skierowane w górę dla każdego $m \in \mathbb{R}$.

Wyznaczamy wyróżnik trójmianu $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= \left(m + \dfrac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \dfrac{25}{16} \\[8pt] &= \left(m + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{25}{4} \end{aligned}$$ Warunek $\Delta \le 0$ rozwiązujemy dwoma sposobami:

Sposób I – Rozkład na czynniki ze wzoru na różnicę kwadratów:
Zauważmy, że $\dfrac{25}{4} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^2$. Stosujemy tożsamość $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$: $$\begin{aligned} \left(m + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 &\le 0 \\[8pt] \left[\left(m + \dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{5}{2}\right] \cdot \left[\left(m + \dfrac{1}{2}\right) + \dfrac{5}{2}\right] &\le 0 \\[8pt] \left(m - \dfrac{4}{2}\right) \cdot \left(m + \dfrac{6}{2}\right) &\le 0 \\[8pt] (m - 2)(m + 3) &\le 0 \end{aligned}$$ Pierwiastkami są $m_1 = -3$ oraz $m_2 = 2$. Wykres paraboli ze względu na $m$ ma ramiona skierowane w górę, więc przyjmuje wartości niedodatnie w przedziale domkniętym: $$m \in \langle -3, 2 \rangle$$
Sposób II – Rozwinięcie do postaci ogólnej i obliczenie wyróżnika $\Delta_m$:
Rozwijamy kwadrat sumy pod znakiem $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= m^2 + 2 \cdot m \cdot \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{25}{4} \\[8pt] &= m^2 + m + \dfrac{1}{4} - \dfrac{25}{4} \\[8pt] &= m^2 + m - \dfrac{24}{4} = m^2 + m - 6 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy nierówność $m^2 + m - 6 \le 0$: $$\begin{aligned} \Delta_m &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \\[8pt] \sqrt{\Delta_m} &= 5 \\[8pt] m_1 &= \dfrac{-1 - 5}{2} = -3, \quad m_2 = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2 \end{aligned}$$ Współczynnik przy $m^2$ jest dodatni ($1 > 0$), zatem zbiorem rozwiązań nierówności $\le 0$ jest przedział domknięty: $$m \in \langle -3, 2 \rangle$$

Odpowiedź:
a) $m \in (-6, -2)$

b) $m \in \langle -3, 2 \rangle$

Zadanie 4 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a, a \in \mathbb{R}$, dla których dane równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste przeciwnych znaków.
a) $x^2 + 2(a - 2)x + 7a - 3 = 0$
b) $3x^2 - 4(a + 2)x + 2 - a^2 = 0$

Wskazówki:

Równanie kwadratowe $ax^2 + bx + c = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik jest ściśle dodatni: $\Delta > 0$.
Rozwiązania mają przeciwne znaki (jedno jest dodatnie, drugie ujemne) wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest ściśle ujemny: $x_1 \cdot x_2 < 0$.
Do wyznaczenia iloczynu pierwiastków stosujemy wzór Viète'a: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Warto zauważyć regułę algebraiczną: jeżeli $a \cdot c < 0$ (co wynika z warunku $x_1 x_2 < 0$), to wyrażenie $-4ac > 0$, a stąd $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ zachodzi automatycznie dla każdego $b \in \mathbb{R}$. Mimo to, w standardzie szkolnym zawsze formalnie wyznaczamy wyróżnik $\Delta$ i sprawdzamy część wspólną obu warunków.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Warunki istnienia dwóch rozwiązań przeciwnych znaków dla równania $x^2 + 2(a - 2)x + 7a - 3 = 0$:
Wypisujemy współczynniki danego równania kwadratowego: $$a = 1, \quad b = 2(a - 2), \quad c = 7a - 3$$ Równanie posiada dwa rozwiązania rzeczywiste o przeciwnych znakach, gdy spełniony jest układ warunków: $$\begin{cases} \Delta > 0 \\ x_1 \cdot x_2 < 0 \end{cases}$$ Wyznaczamy wyróżnik równania kwadratowego $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= [2(a - 2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7a - 3) \\[8pt] &= 4(a^2 - 4a + 4) - 28a + 12 \\[8pt] &= 4a^2 - 16a + 16 - 28a + 12 \\[8pt] &= 4a^2 - 44a + 28 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy pierwszy warunek ($\Delta > 0$): $$\begin{aligned} 4a^2 - 44a + 28 &> 0 \quad / : 4 \\[8pt] a^2 - 11a + 7 &> 0 \end{aligned}$$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu względem parametru $a$: $$\begin{aligned} \Delta_a &= (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 \\[8pt] &= 121 - 28 = 93 \\[8pt] \sqrt{\Delta_a} &= \sqrt{93} \approx 9{,}64 \\[8pt] a_1 &= \dfrac{11 - \sqrt{93}}{2} \approx 0{,}68 \\[8pt] a_2 &= \dfrac{11 + \sqrt{93}}{2} \approx 10{,}32 \end{aligned}$$ Parabola ma ramiona skierowane ku górze, więc: $$a \in \left(-\infty, \dfrac{11 - \sqrt{93}}{2}\right) \cup \left(\dfrac{11 + \sqrt{93}}{2}, +\infty\right)$$ Rozwiązujemy drugi warunek ze wzoru Viète'a ($x_1 \cdot x_2 < 0$): $$\begin{aligned} \dfrac{c}{a} &< 0 \\[8pt] \dfrac{7a - 3}{1} &< 0 \\[8pt] 7a - 3 &< 0 \\[8pt] 7a &< 3 \\[8pt] a &< \dfrac{3}{7} \iff a \in \left(-\infty, \dfrac{3}{7}\right) \end{aligned}$$ Porównujemy liczby $\dfrac{3}{7}$ oraz $\dfrac{11 - \sqrt{93}}{2}$: $$\begin{aligned} \dfrac{3}{7} &\approx 0{,}43 \\[8pt] \dfrac{11 - \sqrt{93}}{2} &\approx 0{,}68 \end{aligned}$$ Ponieważ $\dfrac{3}{7} < \dfrac{11 - \sqrt{93}}{2}$, cały przedział $\left(-\infty, \dfrac{3}{7}\right)$ zawiera się w zbiorze rozwiązań warunku $\Delta > 0$. Część wspólna obu warunków wynosi: $$a \in \left(-\infty, \dfrac{3}{7}\right)$$
Podpunkt b) Warunki istnienia dwóch rozwiązań przeciwnych znaków dla równania $3x^2 - 4(a + 2)x + 2 - a^2 = 0$:
Wypisujemy współczynniki danego równania kwadratowego: $$a = 3, \quad b = -4(a + 2), \quad c = 2 - a^2$$ Układamy analogiczny układ warunków: $$\begin{cases} \Delta > 0 \\ x_1 \cdot x_2 < 0 \end{cases}$$ Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= [-4(a + 2)]^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2 - a^2) \\[8pt] &= 16(a^2 + 4a + 4) - 12(2 - a^2) \\[8pt] &= 16a^2 + 64a + 64 - 24 + 12a^2 \\[8pt] &= 28a^2 + 64a + 40 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy warunek $\Delta > 0$: $$\begin{aligned} 28a^2 + 64a + 40 &> 0 \quad / : 4 \\[8pt] 7a^2 + 16a + 10 &> 0 \end{aligned}$$ Badamy wyróżnik tego trójmianu względem $a$: $$\begin{aligned} \Delta_a &= 16^2 - 4 \cdot 7 \cdot 10 \\[8pt] &= 256 - 280 = -24 < 0 \end{aligned}$$ Ponieważ $\Delta_a < 0$ oraz współczynnik przy $a^2$ jest dodatni ($7 > 0$), trójmian kwadratowy przyjmuje wyłącznie wartości ściśle dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej: $$\Delta > 0 \iff a \in \mathbb{R}$$ Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych jest zatem spełniony tożsamościowo dla dowolnej wartości parametru $a$.

Rozwiązujemy warunek przeciwnych znaków ($x_1 \cdot x_2 < 0$): $$\begin{aligned} \dfrac{c}{a} &< 0 \\[8pt] \dfrac{2 - a^2}{3} &< 0 \quad / \cdot 3 \\[8pt] 2 - a^2 &< 0 \\[8pt] a^2 - 2 &> 0 \\[8pt] (a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2}) &> 0 \end{aligned}$$ Miejscami zerowymi są liczby $a = -\sqrt{2}$ oraz $a = \sqrt{2}$. Ramiona paraboli skierowane są w górę, stąd: $$a \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$$ Wyznaczamy część wspólną obu warunków: $$\begin{aligned} a &\in \mathbb{R} \cap \Big( (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \Big) \\[8pt] a &\in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $a \in \left(-\infty, \dfrac{3}{7}\right)$

b) $a \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$

Zadanie 5 (5 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $k$ prawdziwa jest nierówność $x^2 - kx + 3 > 2x - 2k^2$.

Wskazówki:

Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności i uporządkuj wyrażenie jako trójmian kwadratowy zmiennej $x$ z parametrem $k$.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby trójmian kwadratowy o dodatnim współczynniku kierunkowym ($a > 0$) przyjmował wyłącznie wartości dodatnie dla każdego $x \in \mathbb{R}$, jest ujemny wyróżnik ($\Delta_x < 0$).
Wyznacz wyróżnik $\Delta_x$ i potraktuj go jako funkcję kwadratową zmiennej $k$. Zbadaj znak jej współczynnika kierunkowego oraz wyróżnika $\Delta_k$.
Alternatywnie przedstaw lewą stronę nierówności w postaci sumy kwadratów wyrażeń oraz dodatniej liczby rzeczywistej (metoda dopełniania do pełnych kwadratów).

Rozwiązanie krok po kroku:

Uporządkowanie nierówności i sprowadzenie do trójmianu kwadratowego:
Rozważmy wyjściową nierówność: $$x^2 - kx + 3 > 2x - 2k^2$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: $$x^2 - kx - 2x + 2k^2 + 3 > 0$$ Grupujemy wyrazy zawierające zmienną $x$ w pierwszej potędze: $$x^2 - (k + 2)x + (2k^2 + 3) > 0$$ Lewą stronę nierówności możemy potraktować jako funkcję kwadratową zmiennej $x$ z parametrem $k$: $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ gdzie współczynniki wynoszą odpowiednio: $$a = 1, \quad b = -(k + 2), \quad c = 2k^2 + 3$$ Współczynnik przy najwyższej potędze wynosi $a = 1 > 0$, zatem ramiona paraboli są skierowane w górę. Aby funkcja kwadratowa przyjmowała wyłącznie wartości dodatnie dla każdego $x \in \mathbb{R}$, jej wykres musi w całości leżeć nad osią $Ox$, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik $\Delta_x$ jest ujemny: $$\begin{cases} a > 0 \\ \Delta_x < 0 \end{cases}$$
Sposób I – Wykorzystanie wyróżnika trójmianu kwadratowego i analiza graficzna:
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $\Delta_x$: $$\begin{aligned} \Delta_x &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= [-(k + 2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2k^2 + 3) \\[8pt] &= (k^2 + 4k + 4) - 4(2k^2 + 3) \\[8pt] &= k^2 + 4k + 4 - 8k^2 - 12 \\[8pt] &= -7k^2 + 4k - 8 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy wyrażenie opisujące $\Delta_x$ jako funkcję kwadratową zmiennej $k$: $$g(k) = -7k^2 + 4k - 8$$ gdzie współczynniki wynoszą: $$a = -7, \quad b = 4, \quad c = -8$$ Współczynnik przy najwyższej potędze wynosi $a = -7 < 0$, co oznacza, że ramiona paraboli funkcji $g(k)$ są skierowane w dół.
Obliczamy wyróżnik trójmianu $g(k)$, oznaczany jako $\Delta_k$: $$\begin{aligned} \Delta_k &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= 4^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-8) \\[8pt] &= 16 - 224 \\[8pt] &= -208 < 0 \end{aligned}$$ Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli $W(p, q)$: $$\begin{aligned} p &= -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-7)} = \dfrac{2}{7} \\[8pt] q &= -\dfrac{\Delta_k}{4a} = -\dfrac{-208}{4 \cdot (-7)} = -\dfrac{52}{7} \end{aligned}$$ Ponieważ $a = -7 < 0$ oraz $\Delta_k = -208 < 0$, wierzchołek paraboli leży ściśle pod osią zmiennej $k$, a ramiona są skierowane w dół. Oznacza to, że funkcja $g(k)$ przyjmuje wyłącznie wartości ujemne dla każdego $k \in \mathbb{R}$: $$\Delta_x = -7k^2 + 4k - 8 < 0 \quad \text{dla każdego } k \in \mathbb{R}$$

Skoro dla każdej liczby rzeczywistej $k$ wyróżnik $\Delta_x$ jest ujemny, a współczynnik $a = 1 > 0$, trójmian kwadratowy $x^2 - (k + 2)x + (2k^2 + 3)$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie dla każdego $x \in \mathbb{R}$, co kończy dowód.
Sposób II – Metoda algebraiczna (zwijanie do sumy kwadratów):
Dopełniamy wyjściowe wyrażenie do pełnego kwadratu różnicy względem zmiennej $x$: $$\begin{aligned} x^2 - (k + 2)x + 2k^2 + 3 &= \left[x^2 - 2 \cdot x \cdot \dfrac{k + 2}{2} + \left(\dfrac{k + 2}{2}\right)^2\right] - \left(\dfrac{k + 2}{2}\right)^2 + 2k^2 + 3 \\[8pt] &= \left(x - \dfrac{k + 2}{2}\right)^2 - \dfrac{(k + 2)^2}{4} + \dfrac{4(2k^2 + 3)}{4} \\[8pt] &= \left(x - \dfrac{k + 2}{2}\right)^2 + \dfrac{-(k^2 + 4k + 4) + 8k^2 + 12}{4} \\[8pt] &= \left(x - \dfrac{k + 2}{2}\right)^2 + \dfrac{7k^2 - 4k + 8}{4} \end{aligned}$$ Dopełniamy do pełnego kwadratu wyrażenie w liczniku drugiego składnika: $$\begin{aligned} 7k^2 - 4k + 8 &= 7\left(k^2 - \dfrac{4}{7}k\right) + 8 \\[8pt] &= 7\left[\left(k - \dfrac{2}{7}\right)^2 - \left(\dfrac{2}{7}\right)^2\right] + 8 \\[8pt] &= 7\left(k - \dfrac{2}{7}\right)^2 - 7 \cdot \dfrac{4}{49} + 8 \\[8pt] &= 7\left(k - \dfrac{2}{7}\right)^2 - \dfrac{4}{7} + \dfrac{56}{7} \\[8pt] &= 7\left(k - \dfrac{2}{7}\right)^2 + \dfrac{52}{7} \end{aligned}$$ Wstawiamy przekształcony licznik do całego wyrażenia: $$\begin{aligned} x^2 - (k + 2)x + 2k^2 + 3 &= \left(x - \dfrac{k + 2}{2}\right)^2 + \dfrac{7\left(k - \dfrac{2}{7}\right)^2 + \dfrac{52}{7}}{4} \\[8pt] &= \left(x - \dfrac{k + 2}{2}\right)^2 + \dfrac{7}{4}\left(k - \dfrac{2}{7}\right)^2 + \dfrac{13}{7} \end{aligned}$$ Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny: $$\left(x - \dfrac{k + 2}{2}\right)^2 \ge 0 \quad \text{oraz} \quad \dfrac{7}{4}\left(k - \dfrac{2}{7}\right)^2 \ge 0$$ Dodając dodatnią liczbę $\dfrac{13}{7} > 0$, otrzymujemy: $$\left(x - \dfrac{k + 2}{2}\right)^2 + \dfrac{7}{4}\left(k - \dfrac{2}{7}\right)^2 + \dfrac{13}{7} \ge \dfrac{13}{7} > 0$$ Całe wyrażenie jest ściśle większe od zera dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ oraz $k$, co stanowi drugi niezależny dowód twierdzenia.

Odpowiedź:
Wykazano, że trójmian kwadratowy $x^2 - (k + 2)x + (2k^2 + 3)$ ma dodatni współczynnik kierunkowy $a = 1 > 0$ oraz ujemny wyróżnik $\Delta_x = -7k^2 + 4k - 8 < 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $k$, co dowodzi, że nierówność $x^2 - kx + 3 > 2x - 2k^2$ jest prawdziwa dla każdych $x, k \in \mathbb{R}$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, $m \in \mathbb{R}$, dla których dane równanie ma dwa rozwiązania. $(m + 4)x^2 - 6x + m + 4 = 0$