Wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną kartkówka

11.13 Wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji: $$f(x) = |x - 2| \cdot (x - 4)$$

Wskazówki:

Skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej: $|x - 2| = x - 2$ dla $x \ge 2$ oraz $|x - 2| = -(x - 2)$ dla $x < 2$.
Rozbij wzór funkcji na dwa osobne przedziały dziedziny: $(-\infty, 2)$ oraz $\langle 2, +\infty)$.
W każdym z przedziałów otrzymasz funkcję kwadratową. Wyznacz dla obu gałęzi kluczowe punkty charakterystyczne: wierzchołek, miejsca zerowe oraz punkt przecięcia z osią $OY$.
Zwróć uwagę na punkt $x = 2$, w którym obie parabole stykają się w punkcie $(2, 0)$, tworząc załamanie (ostrze) wykresu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zastosowanie definicji wartości bezwzględnej i podział dziedziny:
Wychodzimy z wyjściowego wzoru funkcji: $$f(x) = |x - 2| \cdot (x - 4)$$ Definicja modułu dla wyrażenia $x - 2$ określa dwa przypadki w zależności od znaku argumentu: $$|x - 2| = \begin{cases} x - 2 & \text{dla } x - 2 \ge 0 \iff x \ge 2 \\[8pt] -(x - 2) & \text{dla } x - 2 < 0 \iff x < 2 \end{cases}$$ Dzieli to całą dziedzinę $D = \mathbb{R}$ na dwa przedziały: $\langle 2, +\infty)$ oraz $(-\infty, 2)$.
Wyznaczenie postaci i punktów charakterystycznych w przedziale $\langle 2, +\infty)$:
Dla $x \ge 2$ wyrażenie pod modułem jest nieujemne, więc $|x - 2| = x - 2$: $$\begin{aligned} f(x) &= (x - 2)(x - 4) \\[8pt] &= x^2 - 4x - 2x + 8 \\[8pt] &= x^2 - 6x + 8 \end{aligned}$$ Jest to fragment paraboli o ramionach skierowanych w górę ($a = 1 > 0$):

1. Miejsca zerowe w tym przedziale: $$f(x) = 0 \iff (x - 2)(x - 4) = 0 \iff x = 2 \quad \text{lub} \quad x = 4$$ Otrzymujemy punkty leżące na osi $OX$: $(2, 0)$ oraz $(4, 0)$.

2. Współrzędne wierzchołka paraboli $W = (x_w, y_w)$: $$\begin{aligned} x_w &= \dfrac{2 + 4}{2} = 3 \in \langle 2, +\infty) \\[8pt] y_w &= f(3) = (3 - 2)(3 - 4) = 1 \cdot (-1) = -1 \end{aligned}$$ Wierzchołek znajduje się w punkcie $W(3, -1)$.

3. Dodatkowy punkt pomocniczy: $$\text{Dla } x = 5: \quad f(5) = (5 - 2)(5 - 4) = 3 \cdot 1 = 3 \implies (5, 3)$$
Wyznaczenie postaci i punktów charakterystycznych w przedziale $(-\infty, 2)$:
Dla $x < 2$ wyrażenie pod modułem jest ujemne, więc $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$: $$\begin{aligned} f(x) &= -(x - 2)(x - 4) \\[8pt] &= -(x^2 - 6x + 8) \\[8pt] &= -x^2 + 6x - 8 \end{aligned}$$ Jest to fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół ($a = -1 < 0$):

1. Punkt graniczny przy $x \to 2^-$: $$f(2) = -(2 - 2)(2 - 4) = 0$$ Oznacza to, że funkcja jest ciągła i oba łuki spotykają się w punkcie $(2, 0)$.

2. Punkt przecięcia z osią $OY$ (dla $x = 0$): $$f(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 8 = -8 \implies (0, -8)$$ 3. Dodatkowy punkt pomocniczy: $$\text{Dla } x = 1: \quad f(1) = -(1 - 2)(1 - 4) = -((-1) \cdot (-3)) = -3 \implies (1, -3)$$
Zestawienie wzoru klamrowego i sporządzenie wykresu funkcji:
Ostatecznie funkcja $f(x)$ przyjmuje postać: $$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x - 8 & \text{dla } x \in (-\infty, 2) \\[8pt] x^2 - 6x + 8 & \text{dla } x \in \langle 2, +\infty) \end{cases}$$ W punkcie $x = 2$ następuje zmiana znaku pochodnej, przez co wykres posiada wyraźny punkt załamania (ostrze) o współrzędnych $(2, 0)$.

Odpowiedź:
Wykres funkcji $f(x) = |x - 2| \cdot (x - 4)$ składa się z fragmentu paraboli $y = -x^2 + 6x - 8$ dla $x \in (-\infty, 2)$ oraz fragmentu paraboli $y = x^2 - 6x + 8$ o wierzchołku $W(3, -1)$ dla $x \in \langle 2, +\infty)$. W punkcie $(2, 0)$ następuje załamanie (ostrze) wykresu.

Zadanie 2 (2 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji: $$f(x) = |x^2 + 3| - 5$$

Wskazówki:

Zbadaj znak wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną: $x^2 + 3$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$.
Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny ($x^2 \ge 0$), wyrażenie $x^2 + 3 \ge 3 > 0$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.
Z definicji wartości bezwzględnej, gdy $a > 0$, zachodzi tożsamość $|a| = a$, co pozwala opuścić moduł i znacznie uprościć postać funkcji.
Wyznacz punkty charakterystyczne uproszczonej paraboli (wierzchołek, miejsca zerowe, punkt przecięcia z osią $OY$) i nanieś je na układ współrzędnych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza wyrażenia pod wartością bezwzględną:
Rozważamy wyjściowy wzór funkcji: $$ f(x) = |x^2 + 3| - 5 $$ Dla dowolnego argumentu $x \in \mathbb{R}$ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny ($x^2 \ge 0$). Po dodaniu liczby $3$ otrzymujemy: $$ x^2 + 3 \ge 3 > 0 $$ Oznacza to, że wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest stale dodatnie dla całej dziedziny rzeczywistej. Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej: $$ |a| = a \quad \text{dla } a \ge 0 $$ Zatem: $$ |x^2 + 3| = x^2 + 3 $$ Przekształcamy wzór funkcji do prostszej postaci wielomianowej: $$ \begin{aligned} f(x) &= (x^2 + 3) - 5 \\[8pt] &= x^2 - 2 \end{aligned} $$
Wyznaczenie punktów charakterystycznych funkcji $f(x) = x^2 - 2$:
Wykres funkcji kwadratowej w postaci ogólnej $f(x) = ax^2 + bx + c$ posiada współczynniki: $$ a = 1, \quad b = 0, \quad c = -2 $$ Ponieważ $a = 1 > 0$, ramiona paraboli są skierowane ku górze.

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka $W(p, q)$: $$ \begin{aligned} p &= -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{2 \cdot 1} = 0 \\[8pt] q &= f(p) = 0^2 - 2 = -2 \end{aligned} $$ Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $W(0, -2)$.

Obliczamy miejsca zerowe funkcji ($f(x) = 0$): $$ \begin{aligned} x^2 - 2 &= 0 \\[8pt] x^2 &= 2 \\[8pt] x_1 = -\sqrt{2} &\approx -1{,}41, \quad x_2 = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \end{aligned} $$ Wyznaczamy dodatkowe punkty kratowe ułatwiające precyzyjny szkic:
- dla $x = \pm 1 \implies f(\pm 1) = (\pm 1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \implies (-1, -1), \; (1, -1)$
- dla $x = \pm 2 \implies f(\pm 2) = (\pm 2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \implies (-2, 2), \; (2, 2)$
- dla $x = \pm 3 \implies f(\pm 3) = (\pm 3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \implies (-3, 7), \; (3, 7)$
Sposób I i Sposób II – Konstrukcja wykresu i interpretacja przekształceń:

Sposób I – Szkicowanie z uproszczonego wzoru algebraicznego:
Wykres funkcji $f(x) = x^2 - 2$ otrzymujemy bezpośrednio poprzez przesunięcie wykresu paraboli podstawowej $y = x^2$ o wektor $\vec{v} = [0, -2]$, czyli o $2$ jednostki w dół wzdłuż osi $OY$.

Sposób II – Etapowa transformacja geometryczna wykresu:
1. Rysujemy parabolę podstawową $y_1 = x^2$.
2. Przesuwamy wykres o $3$ jednostki w górę (wektor $[0, 3]$), uzyskując $y_2 = x^2 + 3$.
3. Nakładamy wartość bezwzględną: $y_3 = |y_2| = |x^2 + 3|$. Ponieważ cały wykres $y_2$ leży ściśle powyżej osi $OX$, odbicie symetryczne części pod osią jest zbiorem pustym – wykres nie ulega żadnej zmianie.
4. Przesuwamy otrzymany wykres o $5$ jednostek w dół (wektor $[0, -5]$), uzyskując ostateczny wzór: $$ f(x) = |x^2 + 3| - 5 = x^2 + 3 - 5 = x^2 - 2 $$ Wierzchołek z poziomu $y = 3$ przemieszcza się na poziom $y = 3 - 5 = -2$.

Odpowiedź:
Funkcja po uproszczeniu ma postać $f(x) = x^2 - 2$. Jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych ku górze, wierzchołku w punkcie $W(0, -2)$ oraz miejscach zerowych $x_1 = -\sqrt{2}$ i $x_2 = \sqrt{2}$.

Zadanie 3 (2 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji: $$f(x) = x^2 - 2|x|$$

Wskazówki:

Zastosuj definicję wartości bezwzględnej: $|x| = x$ dla $x \ge 0$ oraz $|x| = -x$ dla $x < 0$, rozbijając funkcję na dwa osobne przedziały.
Zauważ, że funkcja jest parzysta: $f(-x) = (-x)^2 - 2|-x| = x^2 - 2|x| = f(x)$, co oznacza, że jej wykres posiada oś symetrii pokrywającą się z osią $OY$.
Alternatywnie wykorzystaj tożsamość $x^2 = |x|^2$ i potraktuj funkcję jako złożenie $g(|x|)$, gdzie $g(x) = x^2 - 2x$. Aby otrzymać wykres $g(|x|)$, wystarczy sporządzić wykres $g(x)$ dla $x \ge 0$, a następnie odbić go symetrycznie względem osi $OY$ na stronę ujemną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie wzoru funkcji w przedziałach i analiza składowych:
Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej: $$|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \ge 0 \\[6pt] -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}$$ Rozpatrujemy funkcję w dwóch przedziałach:

1. Dla $x \ge 0$:
Mamy $|x| = x$, zatem wzór funkcji przyjmuje postać: $$f(x) = x^2 - 2x$$ Wyznaczamy miejsca zerowe: $$x(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0 \quad \text{lub} \quad x_2 = 2$$ Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli $W_1 = (p_1, q_1)$: $$\begin{aligned} p_1 &= -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \\[8pt] q_1 &= f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1 \implies W_1 = (1, -1) \end{aligned}$$
2. Dla $x < 0$:
Mamy $|x| = -x$, zatem wzór funkcji przyjmuje postać: $$f(x) = x^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$$ Wyznaczamy miejsca zerowe: $$x(x + 2) = 0 \implies x_3 = -2 \quad (\text{oraz } x = 0 \text{ jako punkt styku})$$ Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli $W_2 = (p_2, q_2)$: $$\begin{aligned} p_2 &= -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1 \\[8pt] q_2 &= f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = -1 \implies W_2 = (-1, -1) \end{aligned}$$ Ostatecznie funkcję $f$ możemy zapisać klamrowo: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{dla } x < 0 \\[8pt] x^2 - 2x & \text{dla } x \ge 0 \end{cases}$$
Sposób II – Przekształcenie geometryczne wykresu $g(|x|)$:
Korzystamy z faktu, że dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi równość $x^2 = |x|^2$. Wzór funkcji możemy zatem zapisać jako: $$f(x) = |x|^2 - 2|x|$$ Definiujemy funkcję pomocniczą: $$g(x) = x^2 - 2x$$ Wówczas badana funkcja jest jej złożeniem z wartością bezwzględną: $$f(x) = g(|x|)$$ Przekształcenie wykresu postaci $y = g(|x|)$ wykonujemy w dwóch krokach:
1. Rysujemy wykres funkcji bazowej $g(x) = x^2 - 2x$ wyłącznie dla nieujemnych argumentów ($x \ge 0$).
2. Odrzucamy wykres funkcji $g(x)$ dla $x < 0$, a część wykresu leżącą po prawej stronie osi $OY$ ($x \ge 0$) odbijamy symetrycznie względem osi $OY$ na stronę lewą ($x < 0$).
Dzięki temu od razu uzyskujemy symetrię osiową względem pionowej osi $OY$, charakterystyczną dla wszystkich funkcji parzystych.
Tabela wartości charakterystycznych i sporządzenie wykresu wynikowego:
Wyznaczamy wartości funkcji $f(x)$ dla kluczowych punktów z obu przedziałów: $$\begin{aligned} f(-3) &= (-3)^2 - 2|-3| = 9 - 6 = 3 \\[8pt] f(-2) &= (-2)^2 - 2|-2| = 4 - 4 = 0 \\[8pt] f(-1) &= (-1)^2 - 2|-1| = 1 - 2 = -1 \quad (\text{wierzchołek } W_2) \\[8pt] f(0) &= 0^2 - 2|0| = 0 \quad (\text{ostrze wykresu}) \\[8pt] f(1) &= 1^2 - 2|1| = 1 - 2 = -1 \quad (\text{wierzchołek } W_1) \\[8pt] f(2) &= 2^2 - 2|2| = 4 - 4 = 0 \\[8pt] f(3) &= 3^2 - 2|3| = 9 - 6 = 3 \end{aligned}$$ Łącząc wyznaczone punkty gładkimi łukami w przedziałach $(-\infty, 0\rangle$ oraz $\langle 0, +\infty)$, otrzymujemy pełny wykres funkcji:

Odpowiedź:
Wykres funkcji $f(x) = x^2 - 2|x|$ powstał z połączenia dwóch fragmentów parabol: $y = x^2 - 2x$ dla $x \ge 0$ oraz $y = x^2 + 2x$ dla $x < 0$. Funkcja posiada dwa minima globalne w punktach $W_1 = (1, -1)$ i $W_2 = (-1, -1)$, trzy miejsca zerowe $x \in \{-2, 0, 2\}$ oraz maksimum lokalne (ostrze) w punkcie $(0, 0)$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji: $$f(x) = |x^2 - 4| + x^2$$

Wskazówki:

Skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej: $|a| = a$ dla $a \ge 0$ oraz $|a| = -a$ dla $a < 0$.
Wyznacz miejsca zerowe wyrażenia pod wartością bezwzględną, czyli rozwiąż równanie $x^2 - 4 = 0$, aby podzielić oś liczbową na odpowiednie przedziały.
Zauważ, że funkcja jest parzysta ($f(-x) = f(x)$), co oznacza, że jej wykres jest idealnie symetryczny względem osi pionowej $OY$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną:
Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $D = \mathbb{R}$. Badamy znak wyrażenia znajdującego się wewnątrz wartości bezwzględnej: $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ Miejscami zerowymi tego wyrażenia są: $$x_1 = -2, \quad x_2 = 2$$ Szkicujemy parabolę pomocniczą $y = x^2 - 4$ z ramionami skierowanymi ku górze, aby odczytać znaki wartości w poszczególnych przedziałach:

Wnioski dotyczące znaku wyrażenia: $$\begin{aligned} x^2 - 4 &\ge 0 \iff x \in (-\infty, -2\rangle \cup \langle 2, +\infty) \\[8pt] x^2 - 4 &< 0 \iff x \in (-2, 2) \end{aligned}$$
Sposób I – Rozpisanie wzoru funkcji przedziałami według definicji wartości bezwzględnej:
Usuwamy wartość bezwzględną w każdym z wyznaczonych przedziałów:

Przypadek 1: Dla $x \in (-\infty, -2\rangle \cup \langle 2, +\infty)$ wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, zatem $|x^2 - 4| = x^2 - 4$: $$\begin{aligned} f(x) &= (x^2 - 4) + x^2 \\[8pt] &= 2x^2 - 4 \end{aligned}$$ Wykres w tym obszarze stanowią fragmenty paraboli o ramionach skierowanych w górę.

Przypadek 2: Dla $x \in (-2, 2)$ wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, zatem $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$: $$\begin{aligned} f(x) &= (4 - x^2) + x^2 \\[8pt] &= 4 \end{aligned}$$ Wykres w tym przedziale stanowi poziomy odcinek prostej $y = 4$.

Ostateczny wzór funkcji przyjmuje postać klamrową: $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 4 & \text{dla } x \in (-\infty, -2\rangle \cup \langle 2, +\infty) \\[8pt] 4 & \text{dla } x \in (-2, 2) \end{cases}$$
Sposób II – Wykorzystanie parzystości funkcji:
Badamy parzystość funkcji dla dowolnego $x \in \mathbb{R}$: $$\begin{aligned} f(-x) &= |(-x)^2 - 4| + (-x)^2 \\[8pt] &= |x^2 - 4| + x^2 \\[8pt] &= f(x) \end{aligned}$$ Funkcja $f$ jest funkcją parzystą, co oznacza, że jej wykres jest osiowosymetryczny względem osi $OY$. Wystarczy zatem przeanalizować funkcję wyłącznie dla $x \ge 0$: $$\begin{aligned} \text{dla } x \in \langle 0, 2\rangle: \quad f(x) &= -(x^2 - 4) + x^2 = 4 \\[8pt] \text{dla } x \in (2, +\infty): \quad f(x) &= (x^2 - 4) + x^2 = 2x^2 - 4 \end{aligned}$$ Następnie sporządzony dla $x \ge 0$ wykres odbijamy symetrycznie względem osi $OY$ dla argumentów ujemnych $x < 0$.
Wyznaczenie punktów kluczowych i naszkicowanie docelowego wykresu:
Wyznaczamy wartości funkcji w charakterystycznych punktach: $$\begin{aligned} f(0) &= 4 \implies (0, 4) \\[8pt] f(\pm 1) &= 4 \implies (-1, 4), \; (1, 4) \\[8pt] f(\pm 2) &= 2(\pm 2)^2 - 4 = 8 - 4 = 4 \implies (-2, 4), \; (2, 4) \\[8pt] f(\pm 2{,}5) &= 2(2{,}5)^2 - 4 = 2 \cdot 6{,}25 - 4 = 8{,}5 \implies (-2{,}5; \; 8{,}5), \; (2{,}5; \; 8{,}5) \end{aligned}$$ Zauważmy, że w punktach skrajnych $x = -2$ oraz $x = 2$ obie części wykresu łączą się w sposób ciągły na wysokości $y = 4$. Wykres składa się z poziomego odcinka o końcach $(-2, 4)$ i $(2, 4)$ oraz dwóch symetrycznych ramion paraboli $y = 2x^2 - 4$ wznoszących się stromo ku górze.

Odpowiedź:
Wykres funkcji $f(x) = |x^2 - 4| + x^2$ przedstawiono na załączonym szkicu. Funkcję opisuje wzór: $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 4 & \text{dla } x \in (-\infty, -2\rangle \cup \langle 2, +\infty) \\[8pt] 4 & \text{dla } x \in (-2, 2) \end{cases}$$

Zadanie 5 (5 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji $g(x) = x|x - 3| + x$, gdzie $x \in \mathbb{R}$. Odczytaj z wykresu:

a) zbiór wartości funkcji $g$,

b) dla jakich argumentów wartość funkcji $g$ wynosi $3$,

c) przedziały, w których funkcja $g$ jest rosnąca.

Wskazówki:

Skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej: $|x - 3| = x - 3$ dla $x \ge 3$ oraz $|x - 3| = -(x - 3)$ dla $x < 3$.
Rozpisz funkcję $g(x)$ na dwa osobne wzory (funkcje kwadratowe) w odpowiednich przedziałach.
Wyznacz współrzędne wierzchołków i punkty charakterystyczne (miejsca zerowe, punkt połączenia gałęzi) obu parabol, aby precyzyjnie naszkicować wykres.
Zbiór wartości odczytaj jako rzut całego wykresu na oś $Oy$.
Argumenty, dla których $g(x) = 3$, odczytaj, sprawdzając przecięcia wykresu z poziomą prostą $y = 3$.
Przedziały monotoniczności odczytaj z osi $Ox$, obserwując, gdzie wykres wznosi się w prawo.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozpisanie wzoru funkcji z definicji wartości bezwzględnej:
Rozważmy wyjściową funkcję: $$g(x) = x|x - 3| + x, \quad \text{dla } x \in \mathbb{R}$$ Miejscem zerowym wyrażenia pod wartością bezwzględną jest liczba $x = 3$. Z definicji modułu mamy: $$|x - 3| = \begin{cases} x - 3 & \text{dla } x \ge 3 \\[8pt] -(x - 3) = 3 - x & \text{dla } x < 3 \end{cases}$$ Wyznaczamy postać funkcji w każdym z dwóch przedziałów:

Dla $x \in (-\infty, 3)$: $$\begin{aligned} g(x) &= x(3 - x) + x \\[8pt] &= 3x - x^2 + x \\[8pt] &= -x^2 + 4x \end{aligned}$$ Dla $x \in \langle 3, +\infty)$: $$\begin{aligned} g(x) &= x(x - 3) + x \\[8pt] &= x^2 - 3x + x \\[8pt] &= x^2 - 2x \end{aligned}$$ Funkcję $g$ możemy zatem zapisać w postaci klamrowej: $$g(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{dla } x < 3 \\[8pt] x^2 - 2x & \text{dla } x \ge 3 \end{cases}$$
Wyznaczenie punktów kluczowych i naszkicowanie wykresu:
Analizujemy obie parabole w odpowiadających im dziedzinach:

Gałąź 1: $y = -x^2 + 4x$ dla $x < 3$
Ramiona paraboli skierowane są w dół ($a = -1 < 0$). Wyznaczamy współrzędne wierzchołka $W = (p, q)$: $$\begin{aligned} p &= -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2 \\[8pt] q &= g(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4 \end{aligned}$$ Wierzchołek $W = (2, 4)$ leży w rozpatrywanym przedziale ($2 < 3$).
Miejsca zerowe: $$-x^2 + 4x = 0 \iff -x(x - 4) = 0 \iff x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 4$$ Liczba $x = 0$ należy do przedziału $x < 3$, więc wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych $(0, 0)$.
Wartość na prawym krańcu przedziału (dla $x = 3$): $$g(3) = -(3)^2 + 4 \cdot 3 = -9 + 12 = 3$$ Wybrane punkty pomocnicze: $(-1, -5)$, $(0, 0)$, $(1, 3)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$.

Gałąź 2: $y = x^2 - 2x$ dla $x \ge 3$
Ramiona paraboli skierowane są w górę ($a = 1 > 0$). Wierzchołek tej paraboli leżałby w punkcie $p = -\dfrac{-2}{2} = 1$, który nie należy do przedziału $x \ge 3$, więc na całym przedziale $\langle 3, +\infty)$ ta część paraboli jest rosnąca.
Wartość początkowa dla $x = 3$: $$g(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$$ Obie gałęzie łączą się w sposób ciągły w punkcie $(3, 3)$.
Kolejny punkt pomocniczy: dla $x = 4$ mamy $g(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8$.
Podpunkt a) Odczytanie zbioru wartości funkcji $g$:
Zbiór wartości funkcji odczytujemy jako rzut wszystkich punktów wykresu na oś pionową $Oy$:
- Dla $x < 3$ funkcja osiąga wartość największą równą $4$ w wierzchołku $W(2, 4)$ i opada nieograniczenie w dół do $-\infty$. Wartości z tej gałęzi tworzą przedział $(-\infty, 4\rangle$.
- Dla $x \ge 3$ funkcja przyjmuje w punkcie sklejenia wartość $g(3) = 3$ i rośnie nieograniczenie do $+\infty$. Wartości z tej gałęzi tworzą przedział $\langle 3, +\infty)$.
Zbiór wartości całej funkcji $g$ jest sumą zbiorów wartości obu części: $$ZW_g = (-\infty, 4\rangle \cup \langle 3, +\infty) = \mathbb{R} \quad \text{(czyli } (-\infty, +\infty)\text{)}$$
Podpunkt b) Odczytanie argumentów, dla których wartość funkcji $g$ wynosi $3$:
Rysujemy pomocniczą poziomą prostą o równaniu $y = 3$ i odczytujemy punkty jej przecięcia z wykresem funkcji $g(x)$.
Prosta $y = 3$ przecina wykres dokładnie w dwóch punktach:
- w punkcie $(1, 3)$, czyli dla argumentu $x = 1$,
- w punkcie $(3, 3)$, czyli dla argumentu $x = 3$.
Sprawdzenie algebraiczne:
Dla $x < 3$: $$\begin{aligned} -x^2 + 4x &= 3 \\[8pt] x^2 - 4x + 3 &= 0 \\[8pt] (x - 1)(x - 3) &= 0 \implies x = 1 \quad (\text{ponieważ } 1 < 3) \end{aligned}$$ Dla $x \ge 3$: $$\begin{aligned} x^2 - 2x &= 3 \\[8pt] x^2 - 2x - 3 &= 0 \\[8pt] (x - 3)(x + 1) &= 0 \implies x = 3 \quad (\text{ponieważ } 3 \ge 3) \end{aligned}$$ Wartość funkcji wynosi $3$ dla argumentów: $$x \in \{1, 3\}$$
Podpunkt c) Odczytanie przedziałów, w których funkcja $g$ jest rosnąca:
Obserwując zachowanie wykresu wraz ze wzrostem argumentów $x$ (od lewej do prawej strony):
- W przedziale $(-\infty, 2\rangle$ wykres stale wznosi się w górę aż do osiągnięcia wierzchołka w punkcie $(2, 4)$ – funkcja jest rosnąca.
- W przedziale $\langle 2, 3\rangle$ wykres opada w dół od wartości $4$ do wartości $3$ – funkcja jest malejąca.
- W przedziale $\langle 3, +\infty)$ wykres ponownie stale wznosi się w górę ku nieskończoności – funkcja jest rosnąca.
Zatem funkcja $g$ jest rosnąca w każdym z przedziałów: $$(-\infty, 2\rangle \quad \text{oraz} \quad \langle 3, +\infty)$$

Odpowiedź:
a) Zbiór wartości: $ZW_g = \mathbb{R}$ (czyli $(-\infty, +\infty)$).

b) Wartość funkcji wynosi $3$ dla argumentów $x \in \{1, 3\}$ (czyli dla $x = 1$ oraz $x = 3$).

c) Funkcja $g$ jest rosnąca w przedziałach $(-\infty, 2\rangle$ oraz $\langle 3, +\infty)$.