Nierówność liniowa z parametrem kartkówka

10.9 Nierówność liniowa z parametrem

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (1 pkt)

Dana jest nierówność $4 + k^2x < 7x - 3k$, gdzie $x$ jest niewiadomą, $k$ – parametrem. Wyznacz zbiór rozwiązań tej nierówności, jeśli $k = 3$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i podstawienie wartości parametru: Ponieważ treść zadania podaje konkretną wartość parametru ($k = 3$), pierwszym krokiem jest wstawienie liczby $3$ w miejsce każdego wystąpienia litery $k$ w nierówności.
Wykonanie działań arytmetycznych: Obliczamy wartości liczbowe powstałe po podstawieniu, czyli potęgę $3^2$ oraz iloczyn $3 \cdot 3$, otrzymując klasyczną nierówność liniową z jedną niewiadomą $x$.
Porządkowanie i grupowanie wyrazów: Przenosimy wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą $x$ na lewą stronę nierówności, a wyrazy wolne (same liczby) na prawą stronę, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny przy przechodzeniu przez znak nierówności.
Redukcja i obustronne dzielenie: Redukujemy wyrazy podobne do postaci $ax < b$. Następnie dzielimy obie strony przez współczynnik stojący przy $x$. Zwracamy uwagę na znak tej liczby – dzielenie przez liczbę dodatnią zachowuje zwrot nierówności bez zmian.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na znaki minus przy przenoszeniu wyrazów wolnych ($-9 - 4 = -13$, a nie $-5$). Ponadto pamiętaj, że zwrot nierówności odwracamy tylko wtedy, gdy dzielimy lub mnożymy obie strony przez liczbę ujemną – tutaj dzielimy przez dodatnią liczbę $2$, więc zwrot „$<$” pozostaje nienaruszony.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podstawienie wartości parametru $k = 3$ do wyjściowej nierówności:
Wstawiamy $k = 3$ do nierówności $4 + k^2x < 7x - 3k$: $$4 + 3^2 \cdot x < 7x - 3 \cdot 3$$ Wykonujemy potęgowanie oraz mnożenie: $$4 + 9x < 7x - 9$$
Przeniesienie wyrazów z niewiadomą na lewą stronę i redukcja wyrazów podobnych:
Przenosimy wyrażenie $7x$ na lewą stronę, a liczbę $4$ na prawą stronę nierówności ze zmianą znaków: $$\begin{aligned} 9x - 7x &< -9 - 4 \\[8pt] 2x &< -13 \end{aligned}$$
Wyznaczenie niewiadomej $x$ i zilustrowanie zbioru rozwiązań na osi liczbowej:
Dzielimy obie strony nierówności przez $2$. Ponieważ $2 > 0$, zwrot nierówności nie ulega zmianie: $$\begin{aligned} 2x &< -13 \quad / :2 \\[8pt] x &< -\dfrac{13}{2} \quad \left(\text{czyli } x < -6\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: $$x \in \left(-\infty, -\dfrac{13}{2}\right)$$

Odpowiedź:
$x \in \left(-\infty, -\dfrac{13}{2}\right)$

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k, \; k \in \mathbb{R}$, dla których:

a) zbiór rozwiązań nierówności $3x - k + 5 < 0$ jest przedziałem $(-\infty, 2)$

b) zbiór rozwiązań nierówności $4x - 3(k + 1) \ge x + 10$ jest przedziałem $[3, +\infty)$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i rozróżnienie ról liter: W każdej nierówności niewiadomą jest $x$, natomiast $k$ jest parametrem (stałą liczbą). Przekształcaj nierówność dokładnie tak, jak standardową nierówność liniową: przenieś wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a wyrażenia zawierające parametr $k$ oraz liczby na prawą stronę.
Kluczowa metoda i porównanie przedziałów (Sposób I): Po doprowadzeniu nierówności do postaci $x < \dots$ lub $x \ge \dots$ zapisz jej zbiór rozwiązań w postaci przedziału zależnego od $k$. Następnie porównaj otrzymany kraniec przedziału z liczbą podaną w treści zadania, co doprowadzi do prostego równania liniowego ze zmienną $k$.
Własność liczby brzegowej (Sposób II): Liczba ograniczająca przedział rozwiązań jest miejscem zerowym odpowiedniego wyrażenia liniowego (spełnia równanie brzegowe po zastąpieniu znaku nierówności znakiem równości). Możesz więc podstawić daną liczbę w miejsce $x$ do równania i bezpośrednio wyznaczyć $k$, pamiętając o sprawdzeniu zgodności zwrotu nierówności.
Weryfikacja wyniku: Po obliczeniu wartości $k$ podstaw ją do wyjściowej nierówności i rozwiąż ją od nowa, aby upewnić się, że otrzymany przedział jest identyczny z zadanym (wraz z typem nawiasu: otwarty lub domknięty).
Czego unikać (częsta pułapka): Pamiętaj, że dzielenie obu stron nierówności przez liczbę dodatnią (w obu podpunktach dzielimy przez $3$) NIE zmienia zwrotu nierówności. Zwróć też szczególną uwagę na poprawne opuszczenie nawiasu ze znakiem minus w podpunkcie b): $-3(k + 1) = -3k - 3$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy wartość parametru $k$ dla nierówności $3x - k + 5 < 0$:
Zadanie można rozwiązać dwoma równoważnymi sposobami:

Sposób I – Rozwiązanie nierówności i porównanie krańców przedziału:
Przenosimy wyrażenia niezawierające niewiadomej $x$ na prawą stronę nierówności: $$ 3x < k - 5 $$ Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę $3$ (ponieważ $3 > 0$, zwrot nierówności pozostaje bez zmian): $$ x < \dfrac{k - 5}{3} $$ Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział: $$ x \in \left(-\infty, \dfrac{k - 5}{3}\right) $$ Z treści zadania zbiór ten ma być przedziałem $(-\infty, 2)$. Przyrównujemy prawe krańce obu przedziałów: $$ \dfrac{k - 5}{3} = 2 $$ Mnożymy obustronnie przez $3$: $$ k - 5 = 6 $$ Dodajemy $5$ do obu stron: $$ k = 11 $$
Sposób II – Wykorzystanie własności liczby brzegowej:
Kraniec przedziału $x = 2$ jest liczbą, dla której lewa strona nierówności osiąga wartość $0$. Podstawiamy $x = 2$ do równania brzegowego: $$ \begin{aligned} 3 \cdot 2 - k + 5 &= 0 \\[8pt] 6 - k + 5 &= 0 \\[8pt] 11 - k &= 0 \\[8pt] k &= 11 \end{aligned} $$ Ponieważ współczynnik przy $x$ wynosi $3 > 0$, nierówność $3x < 6$ daje $x < 2$, co w pełni zgadza się ze zwrotem przedziału $(-\infty, 2)$.

Szukana wartość parametru wynosi $k = 11$.
Podpunkt b) Wyznaczamy wartość parametru $k$ dla nierówności $4x - 3(k + 1) \ge x + 10$:
Również tutaj możemy zastosować dwa podejścia:

Sposób I – Rozwiązanie nierówności i porównanie krańców przedziału:
Wymnażamy nawias po lewej stronie nierówności: $$ 4x - 3k - 3 \ge x + 10 $$ Grupujemy wyrazy z niewiadomą $x$ po lewej stronie, a pozostałe składniki przenosimy na prawą stronę: $$ 4x - x \ge 3k + 3 + 10 $$ $$ 3x \ge 3k + 13 $$ Dzielimy obie strony nierówności przez $3$ (ze względu na to, że $3 > 0$, zwrot nierówności nie zmienia się): $$ x \ge \dfrac{3k + 13}{3} $$ Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: $$ x \in \left[\dfrac{3k + 13}{3}, +\infty\right) $$ Zgodnie z treścią zadania zbiór ten jest równy $[3, +\infty)$. Przyrównujemy lewe krańce przedziałów: $$ \dfrac{3k + 13}{3} = 3 $$ Mnożymy obie strony równania przez $3$: $$ 3k + 13 = 9 $$ Odejmujemy $13$ od obu stron: $$ 3k = 9 - 13 $$ $$ 3k = -4 $$ Dzielimy obustronnie przez $3$: $$ k = -\dfrac{4}{3} = -1\dfrac{1}{3} $$
Sposób II – Wykorzystanie własności liczby brzegowej:
Punkt graniczny przedziału $x = 3$ musi spełniać równanie brzegowe: $$ 4x - 3(k + 1) = x + 10 $$ Wstawiamy $x = 3$ do równania: $$ \begin{aligned} 4 \cdot 3 - 3(k + 1) &= 3 + 10 \\[8pt] 12 - 3k - 3 &= 13 \\[8pt] 9 - 3k &= 13 \\[8pt] -3k &= 13 - 9 \\[8pt] -3k &= 4 \\[8pt] k &= -\dfrac{4}{3} = -1\dfrac{1}{3} \end{aligned} $$ Przy współczynniku przy $x$ równym $3 > 0$ nierówność ma zwrot $\ge$, co generuje przedział prawostronnie nieograniczony $[3, +\infty)$.

Szukana wartość parametru wynosi $k = -\dfrac{4}{3} = -1\dfrac{1}{3}$.

Odpowiedź:
a) $k = 11$

b) $k = -\dfrac{4}{3}$ (czyli $k = -1\dfrac{1}{3}$)

Zadanie 3 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, $k \in \mathbb{R}$, dla których zbiór rozwiązań nierówności:

a) $2x + k - 5 < 0$ zawiera się w przedziale $(-\infty, 3)$

b) $5(x - k) \ge 6x - k + 10$ zawiera się w przedziale $(-\infty, 1)$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i rozwiązanie nierówności z parametrem: Rozwiąż każdą nierówność liniową ze względu na niewiadomą $x$, traktując parametr $k$ jak stałą liczbę. Przenieś wyrazy z $x$ na jedną stronę, a pozostałe składniki na drugą stronę nierówności.
Zapis zbioru rozwiązań w postaci przedziału: Przedstaw wyznaczony zbiór rozwiązań w postaci przedziału liczbowego, którego prawy kraniec będzie zależał od parametru $k$.
Warunek zawierania się przedziałów (relacja inkluzji $A \subseteq B$): Aby przedział rozwiązań zawierał się w zadanym przedziale docelowym, żaden jego element nie może wykraczać poza przedział docelowy. Oznacza to, że prawy kraniec zbioru rozwiązań musi leżeć na osi liczbowej nie dalej na prawo niż prawy kraniec przedziału zadanego w treści.
Analiza domknięć przedziałów (kółka otwarte vs domknięte): Zwróć szczególną uwagę na punkty brzegowe:
- W podpunkcie a) oba przedziały są otwarte, więc prawy kraniec rozwiązania może być równy $3$ (przedział może pokrywać się z całym zadanym zbiorem).
- W podpunkcie b) zbiór rozwiązań jest domknięty prawostronnie, a przedział docelowy jest otwarty. Oznacza to, że prawy kraniec rozwiązania musi być ściśle mniejszy od $1$ ($< 1$), ponieważ gdyby był równy $1$, liczba $1$ należałaby do rozwiązania, nie należąc do przedziału docelowego.
Czego unikać (częsta pułapka): Pamiętaj o zmianie zwrotu nierówności na przeciwny podczas mnożenia lub dzielenia obu stron przez liczbę ujemną. Unikaj mechanicznego stawiania znaku $\le$ w obu podpunktach – w podpunkcie b) relacja musi być ostra ze względu na różnicę w typach nawiasów!

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $2x + k - 5 < 0$ ze względu na $x$:
Wychodzimy od wyjściowej nierówności: $$2x + k - 5 < 0$$ Przenosimy wyrazy niezawierające niewiadomej $x$ na prawą stronę: $$2x < 5 - k$$ Dzielimy obie strony nierówności przez $2$: $$x < \dfrac{5 - k}{2}$$ Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział: $$x \in \left(-\infty, \dfrac{5 - k}{2}\right)$$
Podpunkt a) Warunek zawierania się przedziału w $(-\infty, 3)$ i wyznaczenie parametru $k$:
Zbiór rozwiązań ma zawierać się w przedziale $(-\infty, 3)$: $$\left(-\infty, \dfrac{5 - k}{2}\right) \subseteq (-\infty, 3)$$ Ponieważ oba przedziały są otwarte i rozciągają się od $-\infty$, inkluzja zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy prawy kraniec pierwszego przedziału jest mniejszy bądź równy prawemu krańcowi drugiego przedziału: $$\dfrac{5 - k}{2} \le 3$$

Rozwiązujemy otrzymaną nierówność liniową: $$\begin{aligned} 5 - k &\le 6 \\[8pt] -k &\le 6 - 5 \\[8pt] -k &\le 1 \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony przez $-1$ i zmieniamy zwrot nierówności: $$k \ge -1$$ Zatem zbiorem wartości parametru $k$ w podpunkcie a) jest: $$k \in \langle -1, \infty)$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $5(x - k) \ge 6x - k + 10$ ze względu na $x$:
Wychodzimy od wyjściowej nierówności: $$5(x - k) \ge 6x - k + 10$$ Wymnażamy nawias po lewej stronie: $$5x - 5k \ge 6x - k + 10$$ Grupujemy wyrazy z niewiadomą $x$ po lewej stronie, a wyrazy z parametrem $k$ i liczby po prawej stronie: $$\begin{aligned} 5x - 6x &\ge -k + 10 + 5k \\[8pt] -x &\ge 4k + 10 \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony nierówności przez $-1$, zmieniając zwrot nierówności na przeciwny: $$x \le -(4k + 10)$$ $$x \le -4k - 10$$ Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział domknięty prawostronnie: $$x \in (-\infty, -4k - 10\rangle$$
Podpunkt b) Warunek zawierania się przedziału w $(-\infty, 1)$ i wyznaczenie parametru $k$:
Zbiór rozwiązań ma zawierać się w przedziale otwartym $(-\infty, 1)$: $$(-\infty, -4k - 10\rangle \subseteq (-\infty, 1)$$ Zauważmy, że punkt $-4k - 10$ należy do zbioru rozwiązań. Aby cały przedział zawierał się w przedziale $(-\infty, 1)$, punkt ten musi należeć do $(-\infty, 1)$, czyli musi być ściśle mniejszy od $1$ (nie może być równy $1$, ponieważ liczba $1$ nie należy do przedziału docelowego): $$-4k - 10 < 1$$

Rozwiązujemy otrzymaną nierówność liniową: $$\begin{aligned} -4k &< 1 + 10 \\[8pt] -4k &< 11 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony nierówności przez $-4$, zmieniając zwrot nierówności na przeciwny: $$\begin{aligned} k &> -\dfrac{11}{4} \\[8pt] k &> -2{,}75 \end{aligned}$$ Zatem zbiorem wartości parametru $k$ w podpunkcie b) jest: $$k \in \left(-\dfrac{11}{4}, \infty\right) \quad \text{czyli} \quad k \in (-2{,}75; \infty)$$

Odpowiedź:
a) $k \in \langle -1, \infty)$

b) $k \in \left(-\dfrac{11}{4}, \infty\right)$

Zadanie 4 (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości $k$, $k \in \mathbb{R}$, dla których zbiorem rozwiązań nierówności:

a) $(k^2 - 4)x + k \ge 0$ jest zbiór $\mathbb{R}$

b) $(4k^2 - 100)x + k^2 - 10k + 25 \le 0$ jest zbiór pusty.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza postaci nierówności: Zauważ, że obie nierówności mają postać liniową względem zmiennej $x$, czyli $A(k) \cdot x + B(k) \ge 0$ lub $A(k) \cdot x + B(k) \le 0$, gdzie współczynniki $A(k)$ oraz $B(k)$ zależą wyłącznie od parametru $k$.
Warunek konieczny na tożsamość lub sprzeczność: Gdy współczynnik kierunkowy przy $x$ jest różny od zera ($A \neq 0$), funkcja liniowa przecina oś $OX$, a zbiorem rozwiązań nierówności jest zawsze pewna półprosta – nigdy cały zbiór $\mathbb{R}$ ani zbiór pusty. Stąd w obu podpunktach pierwszym, bezwzględnym krokiem jest przyrównanie współczynnika przy $x$ do zera ($A = 0$).
Kolejność operacji i badanie wyrazu wolnego: Wyznacz wszystkie wartości $k$ zerujące współczynnik przy zmiennej $x$. Następnie podstaw każdą z wyznaczonych liczb kolejno do wyjściowej nierówności, redukując wyraz z $x$ do postaci $0 \cdot x$, i oceń prawdziwość powstałej nierówności liczbowej.
Interpretacja wyników:
- W podpunkcie a) szukamy nierówności tożsamościowej (prawdziwej dla każdego $x$), co ma miejsce, gdy wyraz wolny spełnia warunek $B \ge 0$.
- W podpunkcie b) szukamy nierówności sprzecznej (zbiór pusty), co przy zwrocie $\le 0$ zachodzi wtedy, gdy wyraz wolny jest ściśle dodatni ($B > 0$), dając fałszywe zdanie typu $100 \le 0$.
Czego unikać (częsta pułapka): Nie dziel nierówności stronami przez wyrażenie z parametrem (np. przez $k^2 - 4$), ponieważ nie znasz jego znaku, a dla poszukiwanych wartości parametru wyrażenie to wynosi dokładnie zero, co prowadziłoby do niedozwolonego dzielenia przez zero. Zawsze badaj przypadek $A = 0$ poprzez podstawienie wyliczonych wartości $k$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Ogólne warunki tożsamościowości i sprzeczności nierówności liniowej:
Rozważmy ogólną nierówność liniową postaci $A \cdot x + B \ge 0$ (lub odpowiednio ze znakiem $\le$):
- Jeśli $A \neq 0$, to wykresem lewej strony jest linia prosta niebędąca prostą poziomą. Przecina ona oś $OX$ w punkcie $x_0 = -\dfrac{B}{A}$, zatem zbiorem rozwiązań jest zawsze przedział jednostronnie nieskończony (półprosta).
- Jeśli $A = 0$, nierówność redukuje się do postaci bez zmiennej $x$: $0 \cdot x + B \ge 0$, czyli $B \ge 0$. Taka nierówność:
  - jest tożsamościowa (spełniona dla każdego $x \in \mathbb{R}$), gdy zdanie liczbowe jest prawdziwe,
  - jest sprzeczna (jej zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty $\emptyset$), gdy zdanie liczbowe jest fałszywe.
Podpunkt a) Rozwiązanie nierówności $(k^2 - 4)x + k \ge 0$:
Aby zbiorem rozwiązań nierówności $(k^2 - 4)x + k \ge 0$ był cały zbiór $\mathbb{R}$, współczynnik przy zmiennej $x$ musi być równy $0$: $$\begin{aligned} k^2 - 4 &= 0 \\[8pt] (k - 2)(k + 2) &= 0 \iff k = 2 \quad \lor \quad k = -2 \end{aligned}$$ Sprawdzamy obie wyznaczone wartości parametru $k$:

• Dla $k = 2$: $$\begin{aligned} (2^2 - 4)x + 2 &\ge 0 \\[8pt] 0 \cdot x + 2 &\ge 0 \\[8pt] 2 &\ge 0 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy zdanie prawdziwe dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$. Zatem dla $k = 2$ zbiorem rozwiązań jest $x \in \mathbb{R}$.

• Dla $k = -2$: $$\begin{aligned} ((-2)^2 - 4)x + (-2) &\ge 0 \\[8pt] 0 \cdot x - 2 &\ge 0 \\[8pt] -2 &\ge 0 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy zdanie fałszywe (sprzeczność). Zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty $\emptyset$.

Jedyną wartością parametru spełniającą warunek podpunktu a) jest $k = 2$.
Podpunkt b) Rozwiązanie nierówności $(4k^2 - 100)x + k^2 - 10k + 25 \le 0$:
Zbiorem rozwiązań ma być zbiór pusty $\emptyset$. Nierówność musi być zatem sprzeczna dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
W pierwszym kroku przyrównujemy współczynnik przy zmiennej $x$ do zera: $$\begin{aligned} 4k^2 - 100 &= 0 \\[8pt] 4(k^2 - 25) &= 0 \\[8pt] 4(k - 5)(k + 5) &= 0 \iff k = 5 \quad \lor \quad k = -5 \end{aligned}$$ Zauważmy, że wyraz wolny możemy zwijając wzorem skróconego mnożenia zapisać w postaci kwadratu: $$k^2 - 10k + 25 = (k - 5)^2$$ Badamy obie wyznaczone wartości parametru $k$:

• Dla $k = 5$: $$\begin{aligned} (4 \cdot 5^2 - 100)x + (5 - 5)^2 &\le 0 \\[8pt] 0 \cdot x + 0 &\le 0 \\[8pt] 0 &\le 0 \end{aligned}$$ Nierówność $0 \le 0$ jest tożsamościowa (prawdziwa dla każdego $x \in \mathbb{R}$), co oznacza, że zbiorem rozwiązań byłby zbiór $\mathbb{R}$, a nie zbiór pusty. Zatem $k = 5$ nie spełnia warunków zadania.

• Dla $k = -5$: $$\begin{aligned} (4 \cdot (-5)^2 - 100)x + (-5 - 5)^2 &\le 0 \\[8pt] 0 \cdot x + (-10)^2 &\le 0 \\[8pt] 100 &\le 0 \end{aligned}$$ Nierówność $100 \le 0$ jest fałszywa dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Równanie nie ma rozwiązań, czyli zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty $\emptyset$.

Jedyną wartością parametru spełniającą warunek podpunktu b) jest $k = -5$.

Odpowiedź:
a) $k = 2$

b) $k = -5$

Zadanie 5 (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, $k \in \mathbb{R}$, dla których dziedziną funkcji:

a) $f(x) = \sqrt{-x + k}$ jest przedział $(-\infty, 5]$

b) $f(x) = \sqrt{8 - 3k + (|4 - k| + 2)x}$ jest przedział $\langle -2, +\infty)$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i warunek dziedziny: Pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego w zbiorze liczb rzeczywistych istnieje wyłącznie wtedy, gdy wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne. W obu podpunktach punktem wyjścia jest zapisanie warunku istnienia pierwiastka: $W(x) \ge 0$.
Kluczowa metoda i analiza współczynnika przy $x$: Nierówność podpierwiastkową doprowadzamy do postaci liniowej z niewiadomą $x$. W podpunkcie b) otrzymujemy nierówność postaci $A \cdot x \ge B$, gdzie $A = |4 - k| + 2$. Zauważ kluczową własność: wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna ($|4 - k| \ge 0$), co oznacza, że współczynnik $A \ge 2 > 0$ jest ściśle dodatni dla każdego $k \in \mathbb{R}$. Możemy zatem podzielić nierówność przez $A$ bez zmiany zwrotu znaku nierówności.
Kolejność operacji i ułożenie równania z parametrem: Po wyznaczeniu dziedziny w zależności od parametru $k$ porównaj otrzymany przedział z przedziałem podanym w treści zadania, przyrównując kraniec przedziału do zadanej liczby ($5$ w podpunkcie a oraz $-2$ w podpunkcie b). W podpunkcie b) pomnóż obie strony przez mianownik i wyizoluj wartość bezwzględną.
Weryfikacja wyniku: Pamiętaj, że wartość bezwzględna nie może być równa liczbie ujemnej. Sprawdź warunek nieujemności prawej strony równania, aby wykluczyć ewentualne pierwiastki obce. Podstaw wyliczone wartości $k$ do funkcji wyjściowych, aby upewnić się, że otrzymujesz dokładnie podane przedziały.
Czego unikać (częsta pułapka): Kategorycznie unikaj dzielenia nierówności przez współczynnik z parametrem bez uprzedniego uzasadnienia jego znaku. Gdyby współczynnik mógł być ujemny, znak nierówności uległby odwróceniu, co zmieniłoby zwrot przedziału z $\langle a, +\infty)$ na $(-\infty, a\rangle$. Zwróć też uwagę na domknięcie przedziałów przy zapisie nierówności nieostrych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie dziedziny funkcji $f(x) = \sqrt{-x + k}$ i wartości parametru $k$:
Wychodzimy od warunku istnienia pierwiastka kwadratowego – wyrażenie podpierwiastkowe musi być większe bądź równe zero: $$ -x + k \ge 0 $$ Przenosimy parametr $k$ na prawą stronę nierówności: $$ -x \ge -k $$ Mnożymy obie strony nierówności przez $-1$, pamiętając o zmianie zwrotu nierówności na przeciwny: $$ x \le k $$ Zatem dziedziną funkcji w zależności od parametru $k$ jest zbiór: $$ D_f = (-\infty, \, k] $$ Z treści zadania dziedziną tej funkcji ma być przedział $(-\infty, 5]$: $$ (-\infty, \, k] = (-\infty, \, 5] \iff k = 5 $$
Podpunkt b) Wyznaczenie dziedziny funkcji $f(x) = \sqrt{8 - 3k + (|4 - k| + 2)x}$ w zależności od parametru $k$:
Zapisujemy warunek nieujemności wyrażenia podpierwiastkowego: $$ 8 - 3k + (|4 - k| + 2)x \ge 0 $$ Przenosimy wyrazy niezawierające zmiennej $x$ na prawą stronę: $$ (|4 - k| + 2)x \ge 3k - 8 $$ Równanie ma postać $A \cdot x \ge B$, gdzie współczynnik przy niewiadomej wynosi $A = |4 - k| + 2$.
Badamy znak współczynnika $A$: z definicji wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby $k \in \mathbb{R}$ zachodzi nierówność $|4 - k| \ge 0$. Dodając $2$ do obu stron, otrzymujemy: $$ |4 - k| + 2 \ge 0 + 2 = 2 > 0 $$ Ponieważ współczynnik $A$ jest zawsze ściśle dodatni, możemy podzielić obie strony nierówności przez $(|4 - k| + 2)$ bez zmiany zwrotu nierówności: $$ x \ge \dfrac{3k - 8}{|4 - k| + 2} $$ Wyznaczona dziedzina funkcji w zależności od parametru $k$ ma postać: $$ D_f = \left[ \dfrac{3k - 8}{|4 - k| + 2}, \, +\infty \right) $$
Podpunkt b) Sposób I – Ułożenie równania i rozwiązanie metodą przedziałową:
Zgodnie z poleceniem dziedziną funkcji ma być przedział $\langle -2, +\infty)$. Przyrównujemy lewy kraniec wyznaczonego przedziału do liczby $-2$: $$ \dfrac{3k - 8}{|4 - k| + 2} = -2 $$ Mnożymy obie strony równania przez mianownik $(|4 - k| + 2) > 0$: $$ \begin{aligned} 3k - 8 &= -2(|4 - k| + 2) \\[8pt] 3k - 8 &= -2|4 - k| - 4 \end{aligned} $$ Przenosimy wyrażenie z wartością bezwzględną na lewą stronę, a pozostałe wyrazy na prawą: $$ \begin{aligned} 2|4 - k| &= 8 - 4 - 3k \\[8pt] 2|4 - k| &= 4 - 3k \end{aligned} $$ Dzielimy obustronnie przez $2$: $$ |4 - k| = \dfrac{4 - 3k}{2} $$ Ponieważ lewa strona równania jest nieujemna, prawa strona również musi spełniać warunek nieujemności: $$ \dfrac{4 - 3k}{2} \ge 0 \iff 4 - 3k \ge 0 \iff 3k \le 4 \iff k \le \dfrac{4}{3} $$ Dla $k \le \dfrac{4}{3}$ wyrażenie pod modułem jest dodatnie: $4 - k \ge 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3} > 0$, zatem opuszczamy moduł bez zmiany znaków: $|4 - k| = 4 - k$. Wstawiamy to do równania: $$ \begin{aligned} 2(4 - k) &= 4 - 3k \\[8pt] 8 - 2k &= 4 - 3k \\[8pt] -2k + 3k &= 4 - 8 \\[8pt] k &= -4 \end{aligned} $$ Sprawdzamy warunek istnienia: liczba $k = -4$ spełnia warunek $k \le \dfrac{4}{3}$ ($-4 \le 1{,}33$).
Podpunkt b) Sposób II – Równoważnościowe rozwiązanie równania z wartością bezwzględną:
Wychodzimy z wyznaczonej postaci: $$ 2|4 - k| = 4 - 3k $$ Równanie postaci $|W| = M$ jest równoważne koniunkcji warunku $M \ge 0$ oraz alternatywy $W = M \lor W = -M$: $$ \begin{cases} 4 - 3k \ge 0 \\ 2(4 - k) = 4 - 3k \quad \lor \quad 2(4 - k) = -(4 - 3k) \end{cases} $$ Warunek istnienia rozwiązań: $$ 4 - 3k \ge 0 \iff k \le \dfrac{4}{3} $$ Rozwiązujemy pierwsze równanie alternatywy: $$ 8 - 2k = 4 - 3k \iff k = -4 $$ Liczba $k = -4$ spełnia warunek $k \le \dfrac{4}{3}$, więc jest poprawnym rozwiązaniem.

Rozwiązujemy drugie równanie alternatywy: $$ \begin{aligned} 8 - 2k &= -4 + 3k \\[8pt] -5k &= -12 \\[8pt] k &= \dfrac{12}{5} = 2{,}4 \end{aligned} $$ Sprawdzamy warunek istnienia dla $k = 2{,}4$: $2{,}4 \le \dfrac{4}{3}$ jest sprzecznością ($2{,}4 > 1{,}33$). Dla tej wartości prawa strona wynosiłaby $4 - 3 \cdot 2{,}4 = -3{,}2 < 0$, co jest sprzeczne z nieujemnością wartości bezwzględnej (jest to tzw. pierwiastek obcy).

Jedyną poprawną wartością parametru jest zatem $k = -4$.

Odpowiedź:
a) $k = 5$

b) $k = -4$

Grupa B

Zadanie 1 (1 pkt)

Dana jest nierówność $10+p^2x > 12x-p$, gdzie $x$ jest niewiadomą, $p$ – parametrem. Wyznacz zbiór rozwiązań tej nierówności, jeśli $p=-1$.