Równania liniowe z parametrem kartkówka

10.8 Równania liniowe z parametrem

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, dla których równanie z niewiadomą $x$ ma jedno rozwiązanie. Wyznacz to rozwiązanie.

a) $(k - 2)x = 3$

b) $(k^2 - 4)x = k + 2$

c) $kx + 9 = k^2 - 3x$

Wskazówki:

Postać kanoniczna równania liniowego: Każde równanie z niewiadomą $x$ i parametrem $k$ sprowadzamy najpierw do ogólnej postaci $Ax = B$. W tym celu wszystkie składniki zawierające niewiadomą $x$ grupujemy po lewej stronie i wyłączamy $x$ przed nawias, a pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę.
Warunek istnienia dokładnie jednego rozwiązania: Równanie liniowe $Ax = B$ posiada dokładnie jedno rozwiązanie (jest równaniem oznaczonym) wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik stojący przy niewiadomej $x$ jest różny od zera ($A \ne 0$).
Wyznaczanie niewiadomej: Gdy warunek $A \ne 0$ jest spełniony, możemy bezpiecznie podzielić obie strony równania przez $A$, otrzymując rozwiązanie postaci $x = \dfrac{B}{A}$.
Upraszczanie wyrażeń wymiernych: Po wyznaczeniu ułamka $\dfrac{B}{A}$ sprawdzamy, czy można rozłożyć licznik lub mianownik na czynniki (np. za pomocą wzoru na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$) i uprościć ułamek dla dopuszczalnych wartości parametru.
Czego unikać (częsta pułapka): Warunek jednego rozwiązania dotyczy wyłącznie współczynnika przy $x$ ($A \ne 0$). Wyraz wolny $B$ może być zerem – wówczas jedynym rozwiązaniem jest po prostu $x = 0$. Nie wykluczaj więc wartości parametru zerujących prawą stronę równania! Pamiętaj także o zakazie dzielenia przez zero przed formalnym założeniem, że mianownik nie jest zerem.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy wartości parametru $k$ oraz rozwiązanie równania $(k - 2)x = 3$:
Równanie ma postać kanoniczną $Ax = B$, gdzie: $$A = k - 2, \quad B = 3$$ Równanie liniowe ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik przy niewiadomej $x$ jest różny od zera: $$\begin{aligned} A &\ne 0 \\[8pt] k - 2 &\ne 0 \\[8pt] k &\ne 2 \end{aligned}$$ Zatem parametr $k \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Dla $k \ne 2$ dzielimy obie strony równania przez $(k - 2)$: $$x = \dfrac{3}{k - 2}$$
Podpunkt b) Wyznaczamy wartości parametru $k$ oraz rozwiązanie równania $(k^2 - 4)x = k + 2$:
Równanie jest postaci $Ax = B$, gdzie: $$A = k^2 - 4, \quad B = k + 2$$ Warunek istnienia dokładnie jednego rozwiązania to $A \ne 0$: $$\begin{aligned} k^2 - 4 &\ne 0 \\[8pt] (k - 2)(k + 2) &\ne 0 \\[8pt] k \ne 2 \quad &\land \quad k \ne -2 \end{aligned}$$ Zatem parametr $k \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

Dla $k \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$ dzielimy obie strony równania przez $(k^2 - 4)$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{k + 2}{k^2 - 4} \\[8pt] x &= \dfrac{k + 2}{(k - 2)(k + 2)} \end{aligned}$$ Ponieważ $k \ne -2$, to czynnik $k + 2 \ne 0$, więc możemy skrócić ułamek: $$x = \dfrac{1}{k - 2}$$
Podpunkt c) Wyznaczamy wartości parametru $k$ oraz rozwiązanie równania $kx + 9 = k^2 - 3x$:
Przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} kx + 3x &= k^2 - 9 \\[8pt] (k + 3)x &= k^2 - 9 \end{aligned}$$ Współczynnik przy niewiadomej to $A = k + 3$, a wyraz wolny to $B = k^2 - 9$.

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $A \ne 0$: $$\begin{aligned} k + 3 &\ne 0 \\[8pt] k &\ne -3 \end{aligned}$$ Zatem parametr $k \in \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

Dla $k \ne -3$ dzielimy obie strony równania przez $(k + 3)$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{k^2 - 9}{k + 3} \\[8pt] x &= \dfrac{(k - 3)(k + 3)}{k + 3} \end{aligned}$$ Ponieważ $k \ne -3$, to $k + 3 \ne 0$, zatem skracamy ułamek przez $(k + 3)$: $$x = k - 3$$

Odpowiedź:
a) $k \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$, rozwiązanie: $x = \dfrac{3}{k - 2}$

b) $k \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$, rozwiązanie: $x = \dfrac{1}{k - 2}$

c) $k \in \mathbb{R} \setminus \{-3\}$, rozwiązanie: $x = k - 3$

Zadanie 2 (2 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $b$, dla których dane równanie z niewiadomą $x$ jest tożsamościowe.

a) $bx - b = 3 - 3x$

b) $b^2x - 5bx - 3b^2 + 15b = 0$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i sprowadzenie do postaci $Ax = B$: Niewiadomą w równaniu jest litera $x$, natomiast litera $b$ jest parametrem. Rozwiązanie rozpoczynamy od przeniesienia wszystkich składników z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a wyrazów wolnych (niezawierających $x$) na prawą stronę, doprowadzając równanie do postaci: $$ Ax = B $$ gdzie współczynniki $A$ oraz $B$ zależą od parametru $b$.
Warunki tożsamościowości równania liniowego: Równanie liniowe postaci $Ax = B$ jest tożsamościowe (posiada nieskończenie wiele rozwiązań, $x \in \mathbb{R}$) wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik przy niewiadomej oraz wyraz wolny są jednocześnie równe zero: $$ \begin{cases} A = 0 \\ B = 0 \end{cases} $$ Prowadzi to do tożsamości $0 \cdot x = 0$, która jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Kolejność operacji: Wyznacz wyrażenia opisujące współczynniki $A$ oraz $B$, przyrównaj każde z nich do zera i wyznacz wartości parametru $b$ spełniające oba równania jednocześnie (część wspólna zbiorów rozwiązań).
Rozwiązywanie równań kwadratowych dla parametru: W podpunkcie b) współczynniki $A$ oraz $B$ są wyrażeniami drugiego stopnia względem parametru $b$. Pierwiastki takich równań wyznaczamy za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego $\Delta$.
Czego unikać (częsta pułapka): Nie poprzestawaj na samym warunku $A = 0$. Gdyby $A = 0$, ale $B \neq 0$, otrzymalibyśmy równanie sprzeczne $0 \cdot x = B$, które nie ma żadnego rozwiązania. Równanie jest tożsamościowe wyłącznie wtedy, gdy ZARÓWNO $A = 0$, JAK I $B = 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy wartości parametru $b$ dla równania $bx - b = 3 - 3x$:
Doprowadzamy równanie do postaci $Ax = B$, przenosząc wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a wyrazy wolne na prawą stronę: $$ bx + 3x = b + 3 $$ Wyłączamy niewiadomą $x$ przed nawias: $$ (b + 3)x = b + 3 $$ Odczytujemy współczynniki równania $Ax = B$: $$ A = b + 3, \quad B = b + 3 $$ Równanie liniowe $Ax = B$ jest tożsamościowe wtedy i tylko wtedy, gdy: $$ \begin{cases} A = 0 \\ B = 0 \end{cases} $$ Podstawiamy wyznaczone współczynniki: $$ \begin{cases} b + 3 = 0 \\ b + 3 = 0 \end{cases} \iff b = -3 $$ Dla $b = -3$ równanie przyjmuje postać: $$ 0 \cdot x = 0 $$ co jest prawdą dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
Zatem szukaną wartością parametru jest: $$ b = -3 $$
Podpunkt b) Wyznaczamy wartości parametru $b$ dla równania $b^2x - 5bx - 3b^2 + 15b = 0$:
Porządkujemy równanie do postaci $Ax = B$: $$ (b^2 - 5b)x = 3b^2 - 15b $$ Współczynniki równania wynoszą: $$ A = b^2 - 5b, \quad B = 3b^2 - 15b $$ Układamy układ warunków na tożsamościowość równania: $$ \begin{cases} A = 0 \\ B = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} b^2 - 5b = 0 \\ 3b^2 - 15b = 0 \end{cases} $$ Rozwiązujemy pierwsze równanie kwadratowe $b^2 - 5b = 0$ przy użyciu wyróżnika $\Delta$, gdzie współczynniki to $a_1 = 1$, $b_1 = -5$, $c_1 = 0$: $$ \Delta_1 = b_1^2 - 4a_1c_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 25 - 0 = 25 $$ $$ \sqrt{\Delta_1} = \sqrt{25} = 5 $$ Wyznaczamy pierwiastki: $$ b = \dfrac{-(-5) - 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{0}{2} = 0 \quad \text{lub} \quad b = \dfrac{-(-5) + 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{10}{2} = 5 $$ Warunek $A = 0$ spełniają liczby $b \in \{0, 5\}$.

Rozwiązujemy drugie równanie kwadratowe $3b^2 - 15b = 0$, gdzie współczynniki to $a_2 = 3$, $b_2 = -15$, $c_2 = 0$: $$ \Delta_2 = b_2^2 - 4a_2c_2 = (-15)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 225 - 0 = 225 $$ $$ \sqrt{\Delta_2} = \sqrt{225} = 15 $$ Wyznaczamy pierwiastki: $$ b = \dfrac{-(-15) - 15}{2 \cdot 3} = \dfrac{0}{6} = 0 \quad \text{lub} \quad b = \dfrac{-(-15) + 15}{2 \cdot 3} = \dfrac{30}{6} = 5 $$ Warunek $B = 0$ spełniają liczby $b \in \{0, 5\}$.

Wyznaczamy część wspólną rozwiązań obu równań: $$ b \in \{0, 5\} \cap \{0, 5\} \iff b \in \{0, 5\} $$ Dla $b = 0$ oraz $b = 5$ równanie przyjmuje postać tożsamościowa $0 \cdot x = 0$.

Odpowiedź:
a) $b = -3$

b) $b \in \{0, 5\}$

Zadanie 3 (4 pkt)

Dane jest równanie z niewiadomą $y$. Przeprowadź dyskusję liczby rozwiązań tego równania ze względu na wartość parametru $k$. Gdy istnieje jedno rozwiązanie – wyznacz je.

a) $k^2y = 25y + k^2$

b) $k^2(y + 1) = y + k + 2$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i postać kanoniczna równania liniowego: Przenieś wszystkie wyrażenia zawierające niewiadomą $y$ na lewą stronę równania, a wszystkie pozostałe wyrazy na prawą stronę. Po wyłączeniu niewiadomej $y$ przed nawias doprowadź równanie do ogólnej postaci liniowej $Ay = B$.
Warunki liczby rozwiązań dla równania postaci $Ay = B$: Liczba rozwiązań zależy wyłącznie od wartości współczynników $A$ oraz $B$:
- Gdy $A \neq 0$: równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci $y = \dfrac{B}{A}$.
- Gdy $A = 0$ oraz $B = 0$: równanie przyjmuje postać tożsamościową $0 \cdot y = 0$ i ma nieskończenie wiele rozwiązań ($y \in \mathbb{R}$).
- Gdy $A = 0$ oraz $B \neq 0$: równanie przyjmuje postać sprzeczną $0 \cdot y = B$ i nie ma żadnych rozwiązań.
Kolejność operacji i wyznaczanie wartości krytycznych: Rozpocznij dyskusję od przyrównania współczynnika $A$ do zera ($A = 0$), aby wyznaczyć wartości krytyczne parametru $k$. Następnie dla każdej z tych wartości zbadaj wartość współczynnika $B$.
Upraszczanie rozwiązania jednoznacznego: Dla przypadku $A \neq 0$ wyznacz iloraz $\dfrac{B}{A}$. Rozłóż licznik i mianownik na czynniki (np. za pomocą wzorów skróconego mnożenia lub wyróżnika $\Delta$), aby sprawdzić, czy ułamek daje się skrócić.
Czego unikać (częsta pułapka): Kategorycznie nie wolno dzielić obu stron równania przez współczynnik $A$ bez wcześniejszego zastrzeżenia, że $A \neq 0$. Dzielenie przez wyrażenie, które może przyjąć wartość zero, prowadzi do utraty przypadków równań sprzecznych lub tożsamościowych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Przekształcenie równania $k^2y = 25y + k^2$ do postaci $Ay = B$:
Wychodzimy od wyjściowego równania: $$k^2y = 25y + k^2$$ Przenosimy wyraz z niewiadomą $y$ na lewą stronę równania: $$k^2y - 25y = k^2$$ Wyłączamy niewiadomą $y$ przed nawias: $$(k^2 - 25)y = k^2$$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$(k - 5)(k + 5)y = k^2$$ Otrzymaliśmy równanie w postaci $Ay = B$, gdzie: $$\begin{aligned} A &= k^2 - 25 = (k - 5)(k + 5) \\[8pt] B &= k^2 \end{aligned}$$
Podpunkt a) Dyskusja liczby rozwiązań na podstawie warunków $Ay = B$:
Wyznaczamy wartości parametru $k$, dla których współczynnik $A$ jest równy zero: $$A = 0 \iff k^2 - 25 = 0 \iff k = 5 \quad \text{lub} \quad k = -5$$ Rozpatrujemy kolejno poszczególne przypadki:
- Przypadek 1: $A \neq 0$, czyli $k \in \mathbb{R} \setminus \{-5, 5\}$
  Współczynnik przy niewiadomej jest różny od zera, więc równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $$y = \dfrac{B}{A} = \dfrac{k^2}{k^2 - 25}$$
- Przypadek 2: $k = 5$
  Podstawiamy $k = 5$ i sprawdzamy wartości współczynników: $$\begin{aligned} A &= 5^2 - 25 = 0 \\[8pt] B &= 5^2 = 25 \neq 0 \end{aligned}$$ Równanie przyjmuje postać $0 \cdot y = 25$ ($0 = 25$), co jest sprzecznością. Równanie nie ma rozwiązań.
- Przypadek 3: $k = -5$
  Podstawiamy $k = -5$ i sprawdzamy wartości współczynników: $$\begin{aligned} A &= (-5)^2 - 25 = 0 \\[8pt] B &= (-5)^2 = 25 \neq 0 \end{aligned}$$ Równanie przyjmuje postać $0 \cdot y = 25$ ($0 = 25$), co jest sprzecznością. Równanie nie ma rozwiązań.
Podpunkt b) Przekształcenie równania $k^2(y + 1) = y + k + 2$ do postaci $Ay = B$:
Wychodzimy od wyjściowego równania: $$k^2(y + 1) = y + k + 2$$ Wymnażamy nawias po lewej stronie równania: $$k^2y + k^2 = y + k + 2$$ Grupujemy wyrazy zawierające niewiadomą $y$ po lewej stronie, a pozostałe wyrazy po prawej stronie: $$\begin{aligned} k^2y - y &= -k^2 + k + 2 \\[8pt] (k^2 - 1)y &= -k^2 + k + 2 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy równanie w postaci $Ay = B$, gdzie: $$\begin{aligned} A &= k^2 - 1 = (k - 1)(k + 1) \\[8pt] B &= -k^2 + k + 2 \end{aligned}$$ Rozkładamy współczynnik $B$ na czynniki, wyznaczając pierwiastki trójmianu kwadratowego: $$\Delta = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad \sqrt{\Delta} = 3$$ $$\begin{aligned} k_1 &= \dfrac{-1 - 3}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{-4}{-2} = 2 \\[8pt] k_2 &= \dfrac{-1 + 3}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{2}{-2} = -1 \end{aligned}$$ Zapisujemy współczynnik $B$ w postaci iloczynowej $a(k - k_1)(k - k_2)$: $$B = -(k - 2)(k + 1) = (2 - k)(k + 1)$$ Nasze równanie przyjmuje postać: $$(k - 1)(k + 1)y = -(k - 2)(k + 1)$$
Podpunkt b) Dyskusja liczby rozwiązań na podstawie warunków $Ay = B$:
Wyznaczamy wartości parametru $k$, dla których współczynnik $A$ jest równy zero: $$A = 0 \iff (k - 1)(k + 1) = 0 \iff k = 1 \quad \text{lub} \quad k = -1$$ Rozpatrujemy kolejno poszczególne przypadki:
- Przypadek 1: $A \neq 0$, czyli $k \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$
  Współczynnik przy niewiadomej jest różny od zera, więc równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $$y = \dfrac{B}{A} = \dfrac{-(k - 2)(k + 1)}{(k - 1)(k + 1)}$$ Ponieważ $k \neq -1$, możemy skrócić wspólny czynnik $(k + 1)$: $$y = \dfrac{-(k - 2)}{k - 1} = \dfrac{2 - k}{k - 1}$$
- Przypadek 2: $k = 1$
  Podstawiamy $k = 1$ i obliczamy wartości współczynników: $$\begin{aligned} A &= 1^2 - 1 = 0 \\[8pt] B &= -(1 - 2)(1 + 1) = -(-1)(2) = 2 \neq 0 \end{aligned}$$ Równanie przyjmuje postać $0 \cdot y = 2$ ($0 = 2$), co jest sprzecznością. Równanie nie ma rozwiązań.
- Przypadek 3: $k = -1$
  Podstawiamy $k = -1$ i obliczamy wartości współczynników: $$\begin{aligned} A &= (-1)^2 - 1 = 0 \\[8pt] B &= -(-1 - 2)(-1 + 1) = -(-3)(0) = 0 \end{aligned}$$ Mamy jednocześnie $A = 0$ oraz $B = 0$. Równanie przyjmuje postać $0 \cdot y = 0$ ($0 = 0$), co oznacza tożsamość. Równanie spełnia każda liczba rzeczywista, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań ($y \in \mathbb{R}$).

Odpowiedź:
a)
• Dla $k \in \mathbb{R} \setminus \{-5, 5\}$ równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $y = \dfrac{k^2}{k^2 - 25}$
• Dla $k \in \{-5, 5\}$ równanie nie ma rozwiązań (jest sprzeczne)

b)
• Dla $k \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $y = \dfrac{2 - k}{k - 1}$
• Dla $k = 1$ równanie nie ma rozwiązań (jest sprzeczne)
• Dla $k = -1$ równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań ($y \in \mathbb{R}$, jest tożsamościowe)

Zadanie 4 (6 pkt)

Dane jest równanie z niewiadomą $x$. Przeprowadź dyskusję liczby rozwiązań tego równania ze względu na wartość parametru $p$. Gdy istnieje jedno rozwiązanie – wyznacz je.

a) $x + 5 - p = |p - 3| \cdot x$

b) $\big||p - 1| - 4\big| \cdot x + 9 = p(p - 5) + x$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i postać równania: Każde z równań sprowadzamy do postaci równania liniowego $Ax = B$, gdzie współczynniki $A$ i $B$ zależą od parametru $p$.
Warunki dyskusji dla równania $Ax = B$:
1. Jeżeli $A \ne 0$, równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem $x = \dfrac{B}{A}$.
2. Jeżeli $A = 0$ oraz $B = 0$, otrzymujemy tożsamość $0 \cdot x = 0$, co oznacza nieskończenie wiele rozwiązań ($x \in \mathbb{R}$).
3. Jeżeli $A = 0$ oraz $B \ne 0$, otrzymujemy sprzeczność $0 \cdot x = B \ne 0$, co oznacza brak rozwiązań ($x \in \emptyset$).
Kolejność operacji: Wyznaczamy wartości parametru $p$, dla których $A = 0$, a następnie dla tych konkretnych wartości sprawdzamy wartość współczynnika $B$.
Czego unikać: Nigdy nie dzielimy przez $A$ bez założenia $A \ne 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Doprowadzenie do postaci $Ax = B$:
Równanie wyjściowe: $$ x + 5 - p = |p - 3| \cdot x $$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a pozostałe na prawą stronę: $$ x - |p - 3| \cdot x = p - 5 $$ Wyłączamy $x$ przed nawias: $$ (1 - |p - 3|)x = p - 5 $$ Równanie ma postać $Ax = B$, gdzie: $$ A = 1 - |p - 3|, \quad B = p - 5 $$
Podpunkt a) Dyskusja liczby rozwiązań:
Sprawdzamy, kiedy współczynnik $A$ jest równy zero: $$ A = 0 \iff 1 - |p - 3| = 0 \iff |p - 3| = 1 $$ Stąd: $$ p - 3 = 1 \quad \lor \quad p - 3 = -1 $$ $$ p = 4 \quad \lor \quad p = 2 $$ Rozpatrujemy przypadki:

1. Gdy $A \ne 0$, czyli $p \in \mathbb{R} \setminus \{2, 4\}$:
Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $$ x = \dfrac{B}{A} = \dfrac{p - 5}{1 - |p - 3|} $$
2. Gdy $p = 2$:
Mamy $A = 0$ oraz: $$ B = 2 - 5 = -3 \ne 0 $$ Równanie przyjmuje postać $0 \cdot x = -3$, co stanowi sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązań ($x \in \emptyset$).

3. Gdy $p = 4$:
Mamy $A = 0$ oraz: $$ B = 4 - 5 = -1 \ne 0 $$ Równanie przyjmuje postać $0 \cdot x = -1$, co stanowi sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązań ($x \in \emptyset$).
Podpunkt b) Doprowadzenie do postaci $Ax = B$:
Równanie wyjściowe: $$ \big||p - 1| - 4\big| \cdot x + 9 = p(p - 5) + x $$ Wymnażamy prawą stronę: $$ \big||p - 1| - 4\big| \cdot x + 9 = p^2 - 5p + x $$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$ \big||p - 1| - 4\big| \cdot x - x = p^2 - 5p - 9 $$ Wyłączamy $x$ przed nawias: $$ \Big( \big||p - 1| - 4\big| - 1 \Big) x = p^2 - 5p - 9 $$ Równanie ma postać $Ax = B$, gdzie: $$ A = \big||p - 1| - 4\big| - 1, \quad B = p^2 - 5p - 9 $$
Podpunkt b) Wyznaczenie wartości parametru, dla których $A = 0$:
$$ A = 0 \iff \big||p - 1| - 4\big| - 1 = 0 \iff \big||p - 1| - 4\big| = 1 $$ Rozbijamy moduł zewnętrzny: $$ |p - 1| - 4 = 1 \quad \lor \quad |p - 1| - 4 = -1 $$ $$ |p - 1| = 5 \quad \lor \quad |p - 1| = 3 $$ Rozwiązujemy poszczególne równania:
• dla $|p - 1| = 5$: $$ p - 1 = 5 \implies p = 6 \quad \lor \quad p - 1 = -5 \implies p = -4 $$ • dla $|p - 1| = 3$: $$ p - 1 = 3 \implies p = 4 \quad \lor \quad p - 1 = -3 \implies p = -2 $$ Współczynnik $A$ zeruje się dla $p \in \{-4, -2, 4, 6\}$.
Podpunkt b) Badanie współczynnika $B$ i dyskusja rozwiązań:
Sprawdzamy wartość $B = p^2 - 5p - 9$ dla wyznaczonych wartości parametru:
• Dla $p = -4$: $$ B = (-4)^2 - 5(-4) - 9 = 16 + 20 - 9 = 27 \ne 0 \implies 0 \cdot x = 27 \quad (\text{brak rozwiązań}) $$ • Dla $p = -2$: $$ B = (-2)^2 - 5(-2) - 9 = 4 + 10 - 9 = 5 \ne 0 \implies 0 \cdot x = 5 \quad (\text{brak rozwiązań}) $$ • Dla $p = 4$: $$ B = 4^2 - 5(4) - 9 = 16 - 20 - 9 = -13 \ne 0 \implies 0 \cdot x = -13 \quad (\text{brak rozwiązań}) $$ • Dla $p = 6$: $$ B = 6^2 - 5(6) - 9 = 36 - 30 - 9 = -3 \ne 0 \implies 0 \cdot x = -3 \quad (\text{brak rozwiązań}) $$
Współczynnik $B$ dla żadnej z tych wartości nie jest równy zero, więc równanie nigdy nie ma nieskończenie wielu rozwiązań.

Podsumowując podpunkt b):
1. Gdy $A \ne 0$, czyli $p \in \mathbb{R} \setminus \{-4, -2, 4, 6\}$, równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $$ x = \dfrac{B}{A} = \dfrac{p^2 - 5p - 9}{\big||p - 1| - 4\big| - 1} $$ 2. Gdy $A = 0$, czyli $p \in \{-4, -2, 4, 6\}$, współczynnik $B \ne 0$, więc równanie nie ma rozwiązań ($x \in \emptyset$).

Odpowiedź:
a)
• dla $p \in \mathbb{R} \setminus \{2, 4\}$: jedno rozwiązanie $x = \dfrac{p - 5}{1 - |p - 3|}$
• dla $p \in \{2, 4\}$: brak rozwiązań ($x \in \emptyset$)

b)
• dla $p \in \mathbb{R} \setminus \{-4, -2, 4, 6\}$: jedno rozwiązanie $x = \dfrac{p^2 - 5p - 9}{\big||p - 1| - 4\big| - 1}$
• dla $p \in \{-4, -2, 4, 6\}$: brak rozwiązań ($x \in \emptyset$)

Zadanie 5 (4 pkt)

Dane jest równanie z niewiadomą $x$. Przeprowadź dyskusję liczby rozwiązań tego równania ze względu na wartość parametrów.

a) $cx = 3d$

b) $dx = c(d - x)$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Zidentyfikuj, co w równaniu jest niewiadomą ($x$), a co parametrami ($c$ oraz $d$). Każde równanie liniowe należy doprowadzić do postaci ogólnej $A \cdot x = B$, gdzie $A$ i $B$ są wyrażeniami zależnymi wyłącznie od parametrów.
Kluczowa metoda i warunki dyskusji: Liczba rozwiązań równania liniowego $A \cdot x = B$ zależy od wartości współczynników:
1. Jeżeli $A \ne 0$, to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = \dfrac{B}{A}$ (równanie oznaczone).
2. Jeżeli $A = 0$ oraz $B = 0$, otrzymujemy tożsamość $0 \cdot x = 0$, co oznacza nieskończenie wiele rozwiązań ($x \in \mathbb{R}$).
3. Jeżeli $A = 0$ oraz $B \ne 0$, otrzymujemy sprzeczność $0 \cdot x = B \ne 0$, co oznacza brak rozwiązań ($x \in \emptyset$).
Kolejność operacji i przekształceń: W podpunkcie b) rozpocznij od wymnożenia nawiasu po prawej stronie, przenieś wszystkie wyrażenia zawierające niewiadomą $x$ na lewą stronę równania, a wyrazy wolne na prawą stronę. Następnie wyłącz $x$ przed nawias, aby precyzyjnie wyznaczyć współczynnik $A$.
Weryfikacja wyniku i spójność przypadków: Upewnij się, że rozpatrzone przypadki wyczerpują wszystkie możliwe kombinacje parametrów $c, d \in \mathbb{R}$. W podpunkcie b) zwróć uwagę na sytuację, gdy $c + d = 0$, czyli $c = -d$ – wyznacz wtedy wartość iloczynu $cd = -d^2$, co bezpośrednio decyduje o tożsamości (gdy $d = 0$) lub sprzeczności (gdy $d \ne 0$).
Czego unikać (częsta pułapka): Kategorycznie zabrania się dzielenia obu stron równania przez współczynnik przy $x$ (np. przez $c$ lub $c + d$) bez uprzedniego założenia, że jest on różny od zera. Bezpośrednie dzielenie prowadzi do utraty przypadków równania tożsamościowego oraz sprzecznego.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Dyskusja liczby rozwiązań równania $cx = 3d$:
Równanie ma już postać uporządkowaną $A \cdot x = B$, gdzie: $$ A = c, \quad B = 3d $$ Rozpatrujemy przypadki w zależności od wartości współczynnika $A$:

1. Przypadek $A \ne 0$, czyli $c \ne 0$:
Możemy podzielić obie strony równania przez $c$. Równanie ma wówczas dokładnie jedno rozwiązanie dla dowolnej liczby $d \in \mathbb{R}$: $$ x = \dfrac{3d}{c} $$
2. Przypadek $A = 0$, czyli $c = 0$:
Podstawiamy $c = 0$ do wyjściowego równania: $$ 0 \cdot x = 3d $$ Rozpatrujemy wartość prawej strony:
• Gdy $3d = 0 \iff d = 0$: otrzymujemy równanie $0 \cdot x = 0$, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą. Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań ($x \in \mathbb{R}$).
• Gdy $3d \ne 0 \iff d \ne 0$: otrzymujemy równanie $0 \cdot x = 3d \ne 0$, które nie ma rozwiązań (równanie sprzeczne, $x \in \emptyset$).
Podpunkt b) Dyskusja liczby rozwiązań równania $dx = c(d - x)$:
Wychodzimy od wyjściowego równania: $$ dx = c(d - x) $$ Wymnażamy nawias po prawej stronie: $$ dx = cd - cx $$ Przenosimy wyrażenie $-cx$ na lewą stronę równania ze zmienionym znakiem: $$ dx + cx = cd $$ Wyłączamy niewiadomą $x$ przed nawias: $$ (c + d)x = cd $$ Równanie ma postać $A \cdot x = B$, gdzie współczynniki wynoszą: $$ A = c + d, \quad B = cd $$ Przeprowadzamy dyskusję ze względu na wartość współczynnika $A$:

1. Przypadek $A \ne 0$, czyli $c + d \ne 0 \iff c \ne -d$:
Dzielimy obie strony równania przez sumę $c + d \ne 0$. Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $$ x = \dfrac{cd}{c + d} $$
2. Przypadek $A = 0$, czyli $c + d = 0 \iff c = -d$:
Podstawiamy zależność $c = -d$ do prawej strony równania: $$ B = cd = (-d) \cdot d = -d^2 $$ Równanie przyjmuje postać: $$ 0 \cdot x = -d^2 $$ Badamy wartość wyrażenia $-d^2$:
• Gdy $-d^2 = 0 \iff d = 0$: wtedy również $c = -0 = 0$. Otrzymujemy równanie tożsamościowe $0 \cdot x = 0$, które ma nieskończenie wiele rozwiązań ($x \in \mathbb{R}$).
• Gdy $-d^2 \ne 0 \iff d \ne 0$: wtedy $c = -d \ne 0$, a prawa strona jest ściśle ujemna ($-d^2 < 0$). Otrzymujemy równanie sprzeczne $0 \cdot x = -d^2 \ne 0$, które nie posiada żadnych rozwiązań ($x \in \emptyset$).

Odpowiedź:
a)
• dla $c \ne 0$ i $d \in \mathbb{R}$: jedno rozwiązanie $x = \dfrac{3d}{c}$
• dla $c = 0$ i $d = 0$: nieskończenie wiele rozwiązań ($x \in \mathbb{R}$)
• dla $c = 0$ i $d \ne 0$: brak rozwiązań ($x \in \emptyset$)

b)
• dla $c \ne -d$: jedno rozwiązanie $x = \dfrac{cd}{c + d}$
• dla $c = 0$ i $d = 0$: nieskończenie wiele rozwiązań ($x \in \mathbb{R}$)
• dla $c = -d$ i $d \ne 0$: brak rozwiązań ($x \in \emptyset$)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których równanie z niewiadomą $x$ ma jedno rozwiązanie. Wyznacz to rozwiązanie. a) $(p+5)x=-2$ b) $(p^2-1)x=p+1$ c) $px+1=p^2-x$