Nierówności z wartością bezwzględną kartkówka

10.7 Nierówności z wartością bezwzględną

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Rozwiąż algebraicznie nierówność:

a) $||x| - 2| \le 3$

b) $||3 - 2x| - 5| \ge 2$

Wskazówki:

Reguły rozbijania nierówności z wartością bezwzględną: Każdą nierówność z modułem postaci $|W| \le a$ (gdzie $a > 0$) rozbijamy od razu na dwie niezależne nierówności połączone spójnikiem koniunkcji: $W \le a \land W \ge -a$. Natomiast nierówność ze zwrotem większości $|W| \ge a$ rozbijamy na dwie nierówności połączone spójnikiem alternatywy: $W \ge a \lor W \le -a$.
Zdejmowanie zewnętrznego modułu: W nierównościach zagnieżdżonych zaczynamy od opuszczenia najbardziej zewnętrznych kresek wartości bezwzględnej, stosując od razu powyższe rozbicie na dwie prostsze nierówności.
Izolacja wewnętrznego modułu i powtórne rozbicie: W każdej z otrzymanych gałęzi przenosimy wyrazy wolne na prawą stronę, izolując wewnętrzną wartość bezwzględną $|...|$. Gdy po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, ponownie rozbijamy wyrażenie na dwie osobne nierówności liniowe.
Analiza warunków tożsamościowych i sprzecznych: Z definicji modułu $|...| \ge 0$. Warunek postaci $|W| \ge c$, gdzie $c < 0$, jest zawsze prawdziwy dla każdej liczby rzeczywistej ($x \in \mathbb{R}$), z kolei warunek $|W| \le c$ dla $c < 0$ nie ma rozwiązań ($x \in \emptyset$).
Czego unikać (częsta pułapka): Przy dzieleniu lub mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną (np. przez $-2$) pamiętaj o bezwzględnej zmianie zwrotu nierówności na przeciwny. Dodatkowo uważaj na właściwe łączenie zbiorów: koniunkcja ($\land$) oznacza wyznaczenie części wspólnej przedziałów, a alternatywa ($\lor$) ich sumę.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $||x| - 2| \le 3$:
Nierówność ze znakiem $\le$ rozbijamy od razu na dwie nierówności połączone spójnikiem koniunkcji ($\land$): $$|x| - 2 \le 3 \quad \land \quad |x| - 2 \ge -3$$ W obu nierównościach przenosimy liczbę $-2$ na prawą stronę, dodając obustronnie $2$: $$\begin{aligned} |x| &\le 3 + 2 &\quad \land \quad& |x| \ge -3 + 2 \\[8pt] |x| &\le 5 &\quad \land \quad& |x| \ge -1 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy każdą z tych nierówności: - Pierwszą nierówność $|x| \le 5$ rozbijamy od razu na dwie nierówności: $$x \le 5 \quad \land \quad x \ge -5$$ Co daje przedział: $$x \in \langle -5, 5 \rangle$$ - Druga nierówność to $|x| \ge -1$. Ponieważ wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemna ($|x| \ge 0$), nierówność ta jest spełniona dla każdego $x \in \mathbb{R}$.

Wyznaczamy część wspólną rozwiązań obu warunków: $$x \in \langle -5, 5 \rangle \cap \mathbb{R} \implies x \in \langle -5, 5 \rangle$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $||3 - 2x| - 5| \ge 2$:
Nierówność ze znakiem $\ge$ rozbijamy od razu na dwie nierówności połączone spójnikiem alternatywy ($\lor$): $$|3 - 2x| - 5 \ge 2 \quad \lor \quad |3 - 2x| - 5 \le -2$$ Izolujemy wartość bezwzględną w każdym z przypadków: - Pierwszy przypadek: $$\begin{aligned} |3 - 2x| - 5 &\ge 2 \\[8pt] |3 - 2x| &\ge 2 + 5 \\[8pt] |3 - 2x| &\ge 7 \end{aligned}$$ Nierówność $|3 - 2x| \ge 7$ rozbijamy od razu na dwie nierówności połączone alternatywą ($\lor$): $$\begin{aligned} 3 - 2x &\ge 7 &\quad \lor \quad& 3 - 2x \le -7 \\[8pt] -2x &\ge 7 - 3 &\quad \lor \quad& -2x \le -7 - 3 \\[8pt] -2x &\ge 4 \quad / :(-2) &\quad \lor \quad& -2x \le -10 \quad / :(-2) \\[8pt] x &\le -2 &\quad \lor \quad& x \ge 5 \end{aligned}$$ Pamiętamy o zmianie zwrotu nierówności na przeciwny podczas dzielenia przez $-2$. Zbiór rozwiązań pierwszego przypadku to: $$x \in (-\infty, -2\rangle \cup \langle 5, +\infty)$$ - Drugi przypadek: $$\begin{aligned} |3 - 2x| - 5 &\le -2 \\[8pt] |3 - 2x| &\le -2 + 5 \\[8pt] |3 - 2x| &\le 3 \end{aligned}$$ Nierówność $|3 - 2x| \le 3$ rozbijamy od razu na dwie nierówności połączone koniunkcją ($\land$): $$\begin{aligned} 3 - 2x &\le 3 &\quad \land \quad& 3 - 2x \ge -3 \\[8pt] -2x &\le 3 - 3 &\quad \land \quad& -2x \ge -3 - 3 \\[8pt] -2x &\le 0 \quad / :(-2) &\quad \land \quad& -2x \ge -6 \quad / :(-2) \\[8pt] x &\ge 0 &\quad \land \quad& x \le 3 \end{aligned}$$ Zbiór rozwiązań drugiego przypadku to część wspólna: $$x \in \langle 0, 3 \rangle$$ Łączymy rozwiązania z obu głównych gałęzi, wyznaczając sumę zbiorów: $$x \in (-\infty, -2\rangle \cup \langle 0, 3 \rangle \cup \langle 5, +\infty)$$

Odpowiedź:
a) $x \in \langle -5, 5 \rangle$

b) $x \in (-\infty, -2\rangle \cup \langle 0, 3\rangle \cup \langle 5, +\infty)$

Zadanie 2 (4 pkt)

Rozwiąż graficznie nierówność:

a) $|3|x| - 6| \le 3$

b) $|2|x + 1| - 2| \ge 4$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i podział na funkcje: Graficzne rozwiązanie nierówności postaci $L(x) \le P(x)$ lub $L(x) \ge P(x)$ polega na naszkicowaniu wykresów dwóch niezależnych funkcji: lewej strony $f(x) = L(x)$ oraz prawej strony $g(x) = P(x)$. Prawa strona to funkcja stała (prosta pozioma równoległa do osi $OX$).
Etapy przekształceń geometrycznych (analiza kolorów na rysunku): Złożony wykres z wartościami bezwzględnymi budujemy z funkcji bazowej za pomocą ścisłej sekwencji kroków:
- Fioletowa linia przerywana: wykres bazowy $y_1 = a|x|$ lub przesunięty w poziomie $y_1 = a|x - p|$.
- Zielona linia przerywana: wykres po przesunięciu w pionie o wektor $[0, q]$, czyli $y_2 = a|x - p| + q$. Uwidacznia ona fragment wykresu schodzący pod oś $OX$ ($y < 0$).
- Ciągła niebieska linia: właściwy wykres funkcji $f(x)$ po nałożeniu zewnętrznego modułu – część leżąca nad osią $OX$ pozostaje bez zmian, a fragment leżący pod osią $OX$ zostaje symetrycznie odbity do góry.
Interpretacja znaku nierówności:
- Dla nierówności $f(x) \le g(x)$ szukamy przedziałów argumentów $x$, dla których niebieski wykres leży poniżej lub na poziomie prostej poziomej.
- Dla nierówności $f(x) \ge g(x)$ szukamy przedziałów argumentów $x$, dla których niebieski wykres leży powyżej lub na poziomie prostej poziomej.
Domknięcia przedziałów: Ponieważ w obu podpunktach mamy nierówności słabe ($\le$, $\ge$), punkty przecięcia wykresów należą do zbioru rozwiązań – przedziały na końcach są obustronnie domknięte (lub nieograniczone z nawiasem okrągłym przy nieskończonościach).
Czego unikać (częsta pułapka): W podpunkcie b) wierzchołek po odbiciu do góry osiąga wysokość zaledwie $y = 2$. Prosta $y = 4$ przebiega powyżej niego, zatem grzbiet środkowy w całości leży poniżej poziomu 4 i nie wnosi dodatkowych rozwiązań. Pamiętaj także, aby odczytywać zbiór rozwiązań z osi $OX$, a nie z osi $OY$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy graficznie nierówność $|3|x| - 6| \le 3$:
Wprowadzamy dwie funkcje opisujące lewą i prawą stronę nierówności: $$ f(x) = |3|x| - 6|, \quad g(x) = 3 $$ Wykres funkcji $f(x)$ konstruujemy etapami:
- Krok 1 (funkcja bazowa): Szkicujemy wykres $y_1 = 3|x|$ o wierzchołku w punkcie $(0, 0)$ i współczynnikach kierunkowych ramion $\pm 3$ – na rysunku oznaczony jako fioletowa linia przerywana.
- Krok 2 (przesunięcie w pionie): Przesuwamy wykres o wektor $\vec{v} = [0, -6]$, czyli o 6 jednostek w dół. Otrzymujemy funkcję $y_2 = 3|x| - 6$ o wierzchołku w punkcie $(0, -6)$ oraz miejscach zerowych: $$ 3|x| - 6 = 0 \iff 3|x| = 6 \iff |x| = 2 \iff x = -2 \quad \text{lub} \quad x = 2 $$ Wykres ten oznaczono jako zielona linia przerywana.
- Krok 3 (nałożenie zewnętrznego modułu): Nakładamy wartość bezwzględną $f(x) = |y_2| = |3|x| - 6|$. Część wykresu znajdującą się pod osią $OX$ (dla $x \in (-2, 2)$) odbijamy symetrycznie względem osi $OX$ do góry. Wierzchołek $(0, -6)$ przechodzi w punkt $(0, 6)$. Powstaje docelowy wykres $f(x)$ – ciągła niebieska linia.
Rysujemy poziomą prostą $g(x) = 3$ (pomarańczowa prosta) i wyznaczamy punkty przecięcia obu wykresów:

Punkty przecięcia prostej z wykresem funkcji to: $$ P_1 = (-3, 3), \quad P_2 = (-1, 3), \quad P_3 = (1, 3), \quad P_4 = (3, 3) $$ Szukamy argumentów $x$, dla których wykres funkcji $f(x)$ leży pod prostą lub na prostej $y = 3$. Wykres znajduje się na tym poziomie lub poniżej niego na dwóch rozłącznych przedziałach: $$ x \in [-3, -1] \cup [1, 3] $$
Podpunkt b) Rozwiązujemy graficznie nierówność $|2|x + 1| - 2| \ge 4$:
Definiujemy funkcje dla obu stron nierówności: $$ f(x) = |2|x + 1| - 2|, \quad g(x) = 4 $$ Wykres funkcji $f(x)$ otrzymujemy w wyniku kolejnych transformacji:
- Krok 1 (przesunięcie w poziomie): Wykres $y = 2|x|$ przesuwamy o 1 jednostkę w lewo o wektor $\vec{v} = [-1, 0]$. Otrzymujemy funkcję $y_1 = 2|x + 1|$ o wierzchołku w punkcie $(-1, 0)$ – fioletowa linia przerywana.
- Krok 2 (przesunięcie w pionie): Przesuwamy wykres o 2 jednostki w dół o wektor $\vec{v} = [0, -2]$. Powstaje funkcja $y_2 = 2|x + 1| - 2$ o wierzchołku w punkcie $(-1, -2)$ oraz miejscach zerowych: $$ 2|x + 1| - 2 = 0 \iff |x + 1| = 1 \iff x = -2 \quad \text{lub} \quad x = 0 $$ Wykres ten oznaczono jako zielona linia przerywana.
- Krok 3 (nałożenie zewnętrznego modułu): Fragment wykresu leżący poniżej osi $OX$ (dla $x \in (-2, 0)$) odbijamy symetrycznie do góry względem osi $OX$. Wierzchołek $(-1, -2)$ przechodzi w punkt $(-1, 2)$. Otrzymujemy wykres funkcji $f(x)$ – ciągła niebieska linia.
Rysujemy poziomą prostą $g(x) = 4$ (pomarańczowa prosta) i analizujemy położenie wykresów:

Odbity wierzchołek osiąga wartość maksymalną równą zaledwie $y = 2$, dlatego prosta $y = 4$ nie przecina wewnętrznego grzbietu. Przecięcie zachodzi jedynie na ramionach zewnętrznych: $$ P_1 = (-4, 4), \quad P_2 = (2, 4) $$ Szukamy argumentów $x$, dla których wykres funkcji $f(x)$ leży nad prostą lub na prostej $y = 4$. Warunek ten jest spełniony na lewo od punktu $x = -4$ oraz na prawo od punktu $x = 2$: $$ x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty) $$

Odpowiedź:
a) $x \in [-3, -1] \cup [1, 3]$

b) $x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$

Zadanie 3 (2 pkt)

Rozwiąż algebraicznie nierówność:

a) $|x| + 3x > 4$

b) $x + 2|x + 2| > 0$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Wyznacz miejsce zerowe wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną. Dzieli ono oś liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których wyrażenie pod modułem ma stały znak.
Definicja wartości bezwzględnej: W każdym z wyznaczonych przedziałów opuść kreski modułu zgodnie z definicją: jeżeli wnętrze modułu jest nieujemne, przepisujesz je bez zmian; jeżeli ujemne – zmieniasz znak na przeciwny.
Kolejność operacji w przedziałach: Rozwiąż powstałą nierówność liniową w każdym przypadku osobno, porządkując wyrazy z niewiadomą po lewej stronie, a liczby po prawej.
Weryfikacja wyniku z przedziałem: Wyznacz część wspólną (przekrój) otrzymanego rozwiązania nierówności z przedziałem, w którym prowadzono badanie. Ostatecznym rozwiązaniem nierówności jest suma zbiorów rozwiązań uzyskanych z obu przypadków.
Czego unikać (częsta pułapka): Pamiętaj o zmianie zwrotu nierówności na przeciwny podczas dzielenia lub mnożenia obu stron przez liczbę ujemną. Zwróć też uwagę na nawiasy przy opuszczaniu modułu pomnożonego przez współczynnik liczbowy (np. $2|x + 2|$), aby prawidłowo wymnożyć każdy wyraz.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $|x| + 3x > 4$:
Wyznaczamy miejsce zerowe wyrażenia pod modułem:
$x = 0$

Dzieli ono oś liczbową na dwa przedziały: $I_1 = (-\infty, 0)$ oraz $I_2 = \langle 0, +\infty)$.

• Dla $x \in (-\infty, 0)$:
Wyrażenie pod modułem jest ujemne, zatem $|x| = -x$: $$\begin{aligned} -x + 3x &> 4 \\[8pt] 2x &> 4 \\[8pt] x &> 2 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną rozwiązania z badanym przedziałem: $$x \in (-\infty, 0) \cap (2, +\infty) = \emptyset$$ W tym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

• Dla $x \in \langle 0, +\infty)$:
Wyrażenie pod modułem jest nieujemne, zatem $|x| = x$: $$\begin{aligned} x + 3x &> 4 \\[8pt] 4x &> 4 \\[8pt] x &> 1 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną rozwiązania z badanym przedziałem: $$x \in \langle 0, +\infty) \cap (1, +\infty) = (1, +\infty)$$
Łącząc rozwiązania z obu przypadków, otrzymujemy: $$x \in \emptyset \cup (1, +\infty) \implies x \in (1, +\infty)$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $x + 2|x + 2| > 0$:
Wyznaczamy miejsce zerowe wyrażenia pod modułem:
$x + 2 = 0 \iff x = -2$

Punkt ten dzieli oś na dwa przedziały: $I_1 = (-\infty, -2)$ oraz $I_2 = \langle -2, +\infty)$.

• Dla $x \in (-\infty, -2)$:
Mamy $x + 2 < 0$, zatem $|x + 2| = -(x + 2)$: $$\begin{aligned} x + 2[-(x + 2)] &> 0 \\[8pt] x - 2(x + 2) &> 0 \\[8pt] x - 2x - 4 &> 0 \\[8pt] -x - 4 &> 0 \\[8pt] -x &> 4 \\[8pt] x &< -4 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną z badanym przedziałem: $$x \in (-\infty, -2) \cap (-\infty, -4) = (-\infty, -4)$$
• Dla $x \in \langle -2, +\infty)$:
Mamy $x + 2 \ge 0$, zatem $|x + 2| = x + 2$: $$\begin{aligned} x + 2(x + 2) &> 0 \\[8pt] x + 2x + 4 &> 0 \\[8pt] 3x + 4 &> 0 \\[8pt] 3x &> -4 \\[8pt] x &> -\dfrac{4}{3} \end{aligned}$$ Zauważmy, że $-\dfrac{4}{3} = -1\dfrac{1}{3} > -2$. Wyznaczamy część wspólną z badanym przedziałem: $$x \in \langle -2, +\infty) \cap \left(-\dfrac{4}{3}, +\infty\right) = \left(-\dfrac{4}{3}, +\infty\right)$$
Łącząc rozwiązania z obu przypadków, otrzymujemy: $$x \in (-\infty, -4) \cup \left(-\dfrac{4}{3}, +\infty\right)$$

Odpowiedź:
a) $x \in (1, +\infty)$

b) $x \in (-\infty, -4) \cup \left(-\dfrac{4}{3}, +\infty\right)$

Zadanie 4 (5 pkt)

Rozwiąż nierówność:

a) $|7 - |3x + 1|| > 8$

b) $5 - 2x < \sqrt{9x^2 + 12x + 4}$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: W podpunkcie a) całe wyrażenie wewnętrzne $7 - |3x + 1|$ potraktuj jako pojedynczy argument zewnętrznego modułu. W podpunkcie b) zacznij od analizy trójmianu podpierwiastkowego – wyznacz jego wyróżnik $\Delta$, aby przekształcić go do postaci kwadratu sumy.
Kluczowa metoda i powiązanie pojęciowe: Zastosuj tożsamość arytmetyczną $\sqrt{A^2} = |A|$. Dla nierówności typu $|W| > c$ (gdzie $c > 0$) rozbij zapis na alternatywę dwóch warunków: $W > c \lor W < -c$. Pamiętaj, że moduł nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych, co natychmiast rozstrzyga przypadek typu $|W| < -1$.
Kolejność operacji: Rozwiązuj powstałe nierówności liniowe krok po kroku, przenosząc wyrazy wolne na prawą stronę. Jeśli mnożysz lub dzielisz obie strony przez liczbę ujemną, zawsze zmień zwrot znaku nierówności na przeciwny.
Weryfikacja wyniku i prezentacja graficzna: Końcowy zbiór rozwiązań stanowi sumę logiczną uzyskanych przedziałów. Przedstaw zbiory na osi liczbowej, dbając o niezamalowane kółka przy nierównościach ostrych.
Czego unikać (częsta pułapka): Kategorycznie unikaj błędnego uproszczenia $\sqrt{(3x + 2)^2} = 3x + 2$ bez użycia modułu. Pamiętaj również, że nierówność $|W| < -1$ jest tożsamościowo sprzeczna, a nie prawdziwa dla wszystkich liczb.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wstępne przekształcenie nierówności $|7 - |3x + 1|| > 8$:
Korzystamy z podstawowej własności wartości bezwzględnej: $$|W| > c \iff W > c \quad \lor \quad W < -c \quad (\text{dla } c > 0)$$ Przyjmując $W = 7 - |3x + 1|$ oraz $c = 8$, rozbijamy nierówność na alternatywę: $$\begin{aligned} 7 - |3x + 1| &> 8 \quad &\lor& \quad 7 - |3x + 1| < -8 \\[8pt] -|3x + 1| &> 8 - 7 \quad &\lor& \quad -|3x + 1| < -8 - 7 \\[8pt] -|3x + 1| &> 1 \quad &\lor& \quad -|3x + 1| < -15 \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony obu nierówności przez $-1$, zmieniając zwrot znaków nierówności: $$|3x + 1| < -1 \quad \lor \quad |3x + 1| > 15$$
Podpunkt a) Wyznaczenie zbioru rozwiązań i ilustracja na osi liczbowej:
Badamy oba uzyskane warunki:

Warunek 1: $|3x + 1| < -1$
Wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna ($|3x + 1| \ge 0$), zatem nie może być mniejsza od $-1$: $$x \in \emptyset$$ Warunek 2: $|3x + 1| > 15$
Stosujemy ponownie definicję dla znaku większości: $$\begin{aligned} 3x + 1 &> 15 \quad &\lor& \quad 3x + 1 < -15 \\[8pt] 3x &> 14 \quad &\lor& \quad 3x < -16 \\[8pt] x &> \dfrac{14}{3} \quad &\lor& \quad x < -\dfrac{16}{3} \end{aligned}$$ Sumując zbiory rozwiązań, otrzymujemy: $$x \in \left(-\infty, -\dfrac{16}{3}\right) \cup \left(\dfrac{14}{3}, +\infty\right)$$
Podpunkt b) Przekształcenie pierwiastka w nierówności $5 - 2x < \sqrt{9x^2 + 12x + 4}$:
Rozpatrujemy trójmian podpierwiastkowy $f(x) = 9x^2 + 12x + 4$. Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} a &= 9, \quad b = 12, \quad c = 4 \\[8pt] \Delta &= b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0 \\[8pt] x_0 &= -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{2 \cdot 9} = -\dfrac{12}{18} = -\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$ Trójmian zwija się do pełnego kwadratu: $$9x^2 + 12x + 4 = 9\left(x + \dfrac{2}{3}\right)^2 = (3x + 2)^2$$ Stosujemy tożsamość $\sqrt{A^2} = |A|$: $$\sqrt{9x^2 + 12x + 4} = \sqrt{(3x + 2)^2} = |3x + 2|$$ Równoważna postać nierówności to: $$5 - 2x < |3x + 2| \iff |3x + 2| > 5 - 2x$$
Podpunkt b) Rozwiązanie nierówności modułowej – Sposób I (z własności wartości bezwzględnej):
Dla dowolnego wyrażenia rzeczywistego $B$ nierówność $|W| > B$ jest równoważna alternatywie $W > B \lor W < -B$: $$\begin{aligned} 3x + 2 &> 5 - 2x \quad &\lor& \quad 3x + 2 < -(5 - 2x) \\[8pt] 3x + 2x &> 5 - 2 \quad &\lor& \quad 3x + 2 < -5 + 2x \\[8pt] 5x &> 3 \quad &\lor& \quad 3x - 2x < -5 - 2 \\[8pt] x &> \dfrac{3}{5} \quad &\lor& \quad x < -7 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań jest suma obu przedziałów: $$x \in (-\infty, -7) \cup \left(\dfrac{3}{5}, +\infty\right)$$
Podpunkt b) Rozwiązanie nierówności – Sposób II (metoda przedziałów) i ilustracja na osi liczbowej:
Wyznaczamy punkt zerowy wyrażenia w module: $3x + 2 = 0 \implies x = -\dfrac{2}{3}$.

Przedział I: $x \in \left(-\infty, -\dfrac{2}{3}\right)$
W tym przedziale $3x + 2 < 0$, więc $|3x + 2| = -3x - 2$: $$\begin{aligned} 5 - 2x &< -3x - 2 \\[8pt] x &< -7 \end{aligned}$$ Część wspólna z przedziałem: $x \in (-\infty, -7) \cap \left(-\infty, -\dfrac{2}{3}\right) = (-\infty, -7)$.

Przedział II: $x \in \left\langle -\dfrac{2}{3}, +\infty\right)$
W tym przedziale $3x + 2 \ge 0$, więc $|3x + 2| = 3x + 2$: $$\begin{aligned} 5 - 2x &< 3x + 2 \\[8pt] -5x &< -3 \implies x > \dfrac{3}{5} \end{aligned}$$ Część wspólna z przedziałem: $x \in \left(\dfrac{3}{5}, +\infty\right) \cap \left\langle -\dfrac{2}{3}, +\infty\right) = \left(\dfrac{3}{5}, +\infty\right)$.

Ostatecznym zbiorem rozwiązań jest suma: $$x \in (-\infty, -7) \cup \left(\dfrac{3}{5}, +\infty\right)$$

Odpowiedź:
a) $x \in \left(-\infty, -\dfrac{16}{3}\right) \cup \left(\dfrac{14}{3}, +\infty\right)$

b) $x \in (-\infty, -7) \cup \left(\dfrac{3}{5}, +\infty\right)$

Zadanie 5 (4 pkt)

Rozwiąż nierówność:

a) $|x + 4| > 6 - |x|$

b) $2|x - 2| - 3 \le x - |4 + x|$

Wskazówki:

Wyznaczanie punktów podziału osi: Przy rozwiązywaniu nierówności z kilkoma wartościami bezwzględnymi zacznij od wyznaczenia miejsc zerowych wyrażeń znajdujących się pod modułami. Punkty te wyznaczają granice przedziałów, w których wyrażenia mają stały znak.
Podział osi na przedziały: Uporządkuj wyznaczone liczby rosnąco i podziel zbiór liczb rzeczywistych na przedziały (pamiętając, aby każdy punkt graniczny został domknięty w dokładnie jednym z sąsiadujących przedziałów).
Opuszczanie modułów z definicji: W każdym przedziale zastąp wartości bezwzględne odpowiednimi wyrażeniami liniowymi – bez zmiany znaków, gdy wnętrze jest nieujemne, lub zmieniając znaki na przeciwne, gdy wnętrze jest ujemne.
Wyznaczanie części wspólnej i sumowanie rozwiązań: Wewnątrz każdego przedziału wyznacz część wspólną otrzymanego warunku z założeniem badanego przedziału. Ostatecznym rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań ze wszystkich rozpatrywanych przedziałów.
Czego unikać (częsta pułapka): Pamiętaj o odwróceniu zwrotu nierówności podczas dzielenia lub mnożenia obu stron przez liczbę ujemną (np. przy dzieleniu przez $-2$ lub $-4$). Zwróć też szczególną uwagę na nawiasy przy opuszczaniu modułu poprzedzonego minusem, np. $-|4 + x|$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie przedziałów i rozwiązanie nierówności $|x + 4| > 6 - |x|$:
Miejscami zerowymi wyrażeń podmodułowych są: $$\begin{aligned} x + 4 = 0 &\iff x = -4 \\[8pt] x &= 0 \end{aligned}$$ Dzielą one oś liczbową na trzy przedziały: $$\text{I: } (-\infty, -4), \quad \text{II: } \langle -4, 0), \quad \text{III: } \langle 0, +\infty)$$ Rozpatrujemy nierówność w każdym z nich:

• Przedział I: $x \in (-\infty, -4)$
W tym przedziale $x + 4 < 0$ oraz $x < 0$, więc $|x + 4| = -x - 4$ oraz $|x| = -x$: $$\begin{aligned} -x - 4 &> 6 - (-x) \\[8pt] -x - 4 &> 6 + x \\[8pt] -2x &> 10 \quad \Big/ :(-2) \\[8pt] x &< -5 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną z założeniem tego przedziału: $$(-\infty, -4) \cap (-\infty, -5) = (-\infty, -5)$$ • Przedział II: $x \in \langle -4, 0)$
W tym przedziale $x + 4 \ge 0$ oraz $x < 0$, więc $|x + 4| = x + 4$ oraz $|x| = -x$: $$\begin{aligned} x + 4 &> 6 - (-x) \\[8pt] x + 4 &> 6 + x \\[8pt] 4 &> 6 \end{aligned}$$ Nierówność $4 > 6$ jest sprzeczna, co oznacza brak rozwiązań w tym przedziale: $$x \in \emptyset$$ • Przedział III: $x \in \langle 0, +\infty)$
W tym przedziale $x + 4 > 0$ oraz $x \ge 0$, więc $|x + 4| = x + 4$ oraz $|x| = x$: $$\begin{aligned} x + 4 &> 6 - x \\[8pt] 2x &> 2 \quad \Big/ :2 \\[8pt] x &> 1 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną z założeniem tego przedziału: $$\langle 0, +\infty) \cap (1, +\infty) = (1, +\infty)$$
Podpunkt a) Zestawienie i interpretacja graficzna rozwiązania na osi liczbowej:
Sumując rozwiązania z poszczególnych przedziałów, otrzymujemy: $$x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$$
Podpunkt b) Wyznaczenie przedziałów dla nierówności $2|x - 2| - 3 \le x - |4 + x|$:
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi: $$\begin{aligned} x - 2 = 0 &\iff x = 2 \\[8pt] 4 + x = 0 &\iff x = -4 \end{aligned}$$ Punkty te dzielą oś liczbową na trzy przedziały: $$\text{I: } (-\infty, -4), \quad \text{II: } \langle -4, 2), \quad \text{III: } \langle 2, +\infty)$$
Podpunkt b) Rozwiązanie nierówności w wyznaczonych przedziałach:
• Przedział I: $x \in (-\infty, -4)$
W tym przedziale $x - 2 < 0$ oraz $4 + x < 0$, zatem $|x - 2| = -x + 2$ oraz $|4 + x| = -x - 4$: $$\begin{aligned} 2(-x + 2) - 3 &\le x - [-(4 + x)] \\[8pt] -2x + 4 - 3 &\le x + 4 + x \\[8pt] -2x + 1 &\le 2x + 4 \\[8pt] -4x &\le 3 \quad \Big/ :(-4) \\[8pt] x &\ge -\dfrac{3}{4} \end{aligned}$$ Sprawdzamy część wspólną z założeniem przedziału: $$(-\infty, -4) \cap \left\langle -\dfrac{3}{4}, +\infty\right) = \emptyset$$ W tym przedziale brak rozwiązań.

• Przedział II: $x \in \langle -4, 2)$
W tym przedziale $x - 2 < 0$ oraz $4 + x \ge 0$, zatem $|x - 2| = -x + 2$ oraz $|4 + x| = 4 + x$: $$\begin{aligned} 2(-x + 2) - 3 &\le x - (4 + x) \\[8pt] -2x + 4 - 3 &\le x - 4 - x \\[8pt] -2x + 1 &\le -4 \\[8pt] -2x &\le -5 \quad \Big/ :(-2) \\[8pt] x &\ge \dfrac{5}{2} \quad (x \ge 2{,}5) \end{aligned}$$ Sprawdzamy część wspólną z założeniem przedziału: $$\langle -4, 2) \cap \left\langle \dfrac{5}{2}, +\infty\right) = \emptyset$$ W tym przedziale również brak rozwiązań.

• Przedział III: $x \in \langle 2, +\infty)$
W tym przedziale $x - 2 \ge 0$ oraz $4 + x > 0$, zatem $|x - 2| = x - 2$ oraz $|4 + x| = 4 + x$: $$\begin{aligned} 2(x - 2) - 3 &\le x - (4 + x) \\[8pt] 2x - 4 - 3 &\le x - 4 - x \\[8pt] 2x - 7 &\le -4 \\[8pt] 2x &\le 3 \quad \Big/ :2 \\[8pt] x &\le \dfrac{3}{2} \quad (x \le 1{,}5) \end{aligned}$$ Sprawdzamy część wspólną z założeniem przedziału: $$\langle 2, +\infty) \cap \left(-\infty, \dfrac{3}{2}\right\rangle = \emptyset$$ W tym przedziale również nie ma żadnych rozwiązań.
Podpunkt b) Wnioski i podsumowanie rozwiązań:
W żadnym z trzech rozważanych przedziałów nierówność nie ma rozwiązań. Oznacza to, że nierówność jest sprzeczna dla każdej liczby rzeczywistej: $$x \in \emptyset$$

Odpowiedź:
a) $x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$

b) $x \in \emptyset$ (brak rozwiązań)