Równania z wartością bezwzględną kartkówka

10.6 Równania z wartością bezwzględną

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (9 pkt)

Rozwiąż algebraicznie równanie:

a) $||x| - 3| = 5$

b) $|8 - |3x - 1|| = 4$

c) $|6 - |2x + 3|| - 1 = 0$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i definicja wartości bezwzględnej: Równanie z wartością bezwzględną postaci $|W| = a$ dla $a > 0$ rozbijamy na alternatywę dwóch prostszych równań: $W = a$ lub $W = -a$.
Zdejmowanie zewnętrznej wartości bezwzględnej: W równaniach zagnieżdżonych zaczynamy zawsze od najbardziej zewnętrznych kresek modułu, rozbijając całe wyrażenie na dwa niezależne przypadki.
Izolacja kolejnej wartości bezwzględnej: W każdym z powstałych równań przenosimy wyrazy wolne na prawą stronę, aby po lewej stronie otrzymać pojedynczą wartość bezwzględną $|...| = c$.
Analiza znaku prawej strony i ostateczne rozwiązania: Jeśli po prawej stronie pojawi się liczba ujemna ($c < 0$), to dane równanie jest sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna liczby rzeczywistej nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych ($|...| \ge 0$). Jeśli $c \ge 0$, ponownie stosujemy własność wartości bezwzględnej.
Czego unikać (częsta pułapka): Zwracaj uwagę na znak po prawej stronie przed opuszczeniem wewnętrznych kresek modułu. Zapis typu $|x| = -2 \implies x = 2 \lor x = -2$ jest kardynalnym błędem – w rzeczywistości $|x| = -2$ nie ma żadnych rozwiązań.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $||x| - 3| = 5$:
Zgodnie z własnością wartości bezwzględnej opuszczamy zewnętrzny moduł, zapisując alternatywę dwóch równań: $$|x| - 3 = 5 \quad \lor \quad |x| - 3 = -5$$ W obu przypadkach wyznaczamy wartość wyrażenia $|x|$: $$\begin{aligned} |x| &= 5 + 3 &\quad \lor \quad& |x| = -5 + 3 \\[8pt] |x| &= 8 &\quad \lor \quad& |x| = -2 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy otrzymane równania: - Z pierwszego równania $|x| = 8$ otrzymujemy: $$x = 8 \quad \lor \quad x = -8$$ - Drugie równanie $|x| = -2$ jest sprzeczne ($x \in \emptyset$), ponieważ wartość bezwzględna liczby rzeczywistej nie może być liczbą ujemną.

Ostatecznymi rozwiązaniami równania są: $$x = -8 \quad \lor \quad x = 8$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $|8 - |3x - 1|| = 4$:
Opuszczamy zewnętrzną wartość bezwzględną: $$8 - |3x - 1| = 4 \quad \lor \quad 8 - |3x - 1| = -4$$ W każdym równaniu izolujemy wyrażenie $|3x - 1|$ po lewej stronie: - Pierwszy przypadek: $$\begin{aligned} 8 - |3x - 1| &= 4 \\[8pt] -|3x - 1| &= 4 - 8 \\[8pt] -|3x - 1| &= -4 \\[8pt] |3x - 1| &= 4 \end{aligned}$$ Rozbijamy na dwa równania liniowe: $$\begin{aligned} 3x - 1 &= 4 &\quad \lor \quad& 3x - 1 = -4 \\[8pt] 3x &= 5 &\quad \lor \quad& 3x = -3 \\[8pt] x &= \dfrac{5}{3} &\quad \lor \quad& x = -1 \end{aligned}$$ - Drugi przypadek: $$\begin{aligned} 8 - |3x - 1| &= -4 \\[8pt] -|3x - 1| &= -4 - 8 \\[8pt] -|3x - 1| &= -12 \\[8pt] |3x - 1| &= 12 \end{aligned}$$ Rozbijamy na dwa równania liniowe: $$\begin{aligned} 3x - 1 &= 12 &\quad \lor \quad& 3x - 1 = -12 \\[8pt] 3x &= 13 &\quad \lor \quad& 3x = -11 \\[8pt] x &= \dfrac{13}{3} &\quad \lor \quad& x = -\dfrac{11}{3} \end{aligned}$$ Zbierając wszystkie wyznaczone wartości, otrzymujemy cztery rozwiązania: $$x \in \left\{ -\dfrac{11}{3}, -1, \dfrac{5}{3}, \dfrac{13}{3} \right\}$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $|6 - |2x + 3|| - 1 = 0$:
W pierwszym kroku przenosimy liczbę $-1$ na prawą stronę, aby po lewej stronie pozostała sama zewnętrzna wartość bezwzględna: $$|6 - |2x + 3|| = 1$$ Opuszczamy zewnętrzny moduł: $$6 - |2x + 3| = 1 \quad \lor \quad 6 - |2x + 3| = -1$$ Izolujemy wyrażenie $|2x + 3|$ w obu przypadkach: - Pierwszy przypadek: $$\begin{aligned} 6 - |2x + 3| &= 1 \\[8pt] -|2x + 3| &= 1 - 6 \\[8pt] -|2x + 3| &= -5 \\[8pt] |2x + 3| &= 5 \end{aligned}$$ Rozbijamy na dwa równania liniowe: $$\begin{aligned} 2x + 3 &= 5 &\quad \lor \quad& 2x + 3 = -5 \\[8pt] 2x &= 2 &\quad \lor \quad& 2x = -8 \\[8pt] x &= 1 &\quad \lor \quad& x = -4 \end{aligned}$$ - Drugi przypadek: $$\begin{aligned} 6 - |2x + 3| &= -1 \\[8pt] -|2x + 3| &= -1 - 6 \\[8pt] -|2x + 3| &= -7 \\[8pt] |2x + 3| &= 7 \end{aligned}$$ Rozbijamy na dwa równania liniowe: $$\begin{aligned} 2x + 3 &= 7 &\quad \lor \quad& 2x + 3 = -7 \\[8pt] 2x &= 4 &\quad \lor \quad& 2x = -10 \\[8pt] x &= 2 &\quad \lor \quad& x = -5 \end{aligned}$$ Zbierając wszystkie wyznaczone wartości, otrzymujemy cztery rozwiązania: $$x \in \{-5, -4, 1, 2\}$$

Odpowiedź:
a) $x \in \{-8, 8\}$

b) $x \in \left\{ -\dfrac{11}{3}, -1, \dfrac{5}{3}, \dfrac{13}{3} \right\}$

c) $x \in \{-5, -4, 1, 2\}$

Zadanie 2 (6 pkt)

Rozwiąż graficznie równanie:

a) $||x| - 5| = 3$

b) $||x - 3| - 1| = 3$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i podział na funkcje: Graficzne rozwiązanie równania typu $L(x) = P(x)$ polega na naszkicowaniu w jednym układzie współrzędnych wykresów dwóch funkcji: lewej strony $f(x) = L(x)$ oraz prawej strony $g(x) = P(x)$. Prawa strona to w obu przypadkach funkcja stała $g(x) = 3$, której wykresem jest pozioma prosta równoległa do osi $OX$.
Etapy przekształceń geometrycznych (analiza kolorów na rysunku): Złożony wykres wartości bezwzględnej wyprowadzamy z funkcji bazowej $y = |x|$ według ściśle określonej kolejności:
- Fioletowa linia przerywana: wykres bazowy $y = |x|$ lub przesunięty poziomo $y = |x - p|$.
- Zielona linia przerywana: wykres po przesunięciu w pionie o wektor $[0, q]$. Uwidacznia ona fragment leżący poniżej osi $OX$ ($y < 0$), który w kolejnym kroku zostanie przekształcony.
- Ciągła niebieska linia: wykres ostateczny funkcji $f(x)$ po nałożeniu zewnętrznego modułu – część leżąca nad osią $OX$ pozostaje nienaruszona, a część ujemna zostaje symetrycznie odbita do góry względem osi $OX$.
Kolejność operacji: Zawsze stosuj naturalną hierarchię działań – najpierw dokonaj przesunięcia o wektor wewnątrz modułu, a dopiero na końcu odbij ujemną część wykresu do góry. Nigdy nie odwracaj tej kolejności.
Odczytanie i weryfikacja rozwiązań: Szukanymi rozwiązaniami równania są wyłącznie odcięte (współrzędne $x$) czerwonych punktów przecięcia niebieskiego wykresu z pomarańczową prostą $y = 3$.
Czego unikać (częsta pułapka): W podpunkcie b) wierzchołek po odbiciu symetrycznym osiąga wysokość $y = 1$. Zwróć uwagę, że prosta $y = 3$ przebiega powyżej tego wierzchołka, dlatego nie przecina środkowej części wykresu – równanie posiada w tym przypadku tylko 2 rozwiązania, a nie 4.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy graficznie równanie $||x| - 5| = 3$:
Wprowadzamy dwie funkcje opisujące obie strony równania: $$ f(x) = ||x| - 5|, \quad g(x) = 3 $$ Wykres lewej strony tworzymy za pomocą kolejnych przekształceń geometrycznych:
- Krok 1 (funkcja bazowa): Szkicujemy wykres $y_1 = |x|$ z wierzchołkiem w punkcie $(0, 0)$ – na rysunku oznaczony jako fioletowa linia przerywana.
- Krok 2 (przesunięcie w pionie): Przesuwamy wykres o wektor $\vec{v} = [0, -5]$, czyli o 5 jednostek w dół. Powstaje funkcja $y_2 = |x| - 5$ o wierzchołku $(0, -5)$ i miejscach zerowych $x = -5$ oraz $x = 5$ – na rysunku oznaczona jako zielona linia przerywana.
- Krok 3 (nałożenie zewnętrznego modułu): Aby otrzymać $f(x) = |y_2| = ||x| - 5|$, część wykresu znajdującą się pod osią $OX$ (dla $x \in (-5, 5)$) odbijamy symetrycznie względem osi $OX$ do góry. Wierzchołek $(0, -5)$ przechodzi w punkt $(0, 5)$. Otrzymujemy właściwy wykres funkcji $f(x)$ – ciągła niebieska linia.
Rysujemy poziomą prostą $g(x) = 3$ (pomarańczowa prosta) i odczytujemy punkty przecięcia:

Wykresy przecinają się dokładnie w 4 punktach: $$ P_1 = (-8, 3), \quad P_2 = (-2, 3), \quad P_3 = (2, 3), \quad P_4 = (8, 3) $$ Rozwiązaniem równania są współrzędne $x$ tych punktów: $$ x \in \{-8, -2, 2, 8\} $$
Podpunkt b) Rozwiązujemy graficznie równanie $||x - 3| - 1| = 3$:
Wprowadzamy funkcje opisujące obie strony równania: $$ f(x) = ||x - 3| - 1|, \quad g(x) = 3 $$ Wykres lewej strony tworzymy etapami:
- Krok 1 (przesunięcie w poziomie): Wykres $y = |x|$ przesuwamy o 3 jednostki w prawo do postaci $y_1 = |x - 3|$ o wierzchołku w punkcie $(3, 0)$ – na rysunku oznaczony jako fioletowa linia przerywana.
- Krok 2 (przesunięcie w pionie): Przesuwamy otrzymany wykres o 1 jednostkę w dół do postaci $y_2 = |x - 3| - 1$ o wierzchołku $(3, -1)$ i miejscach zerowych $x = 2$ oraz $x = 4$ – oznaczony jako zielona linia przerywana.
- Krok 3 (nałożenie zewnętrznego modułu): Część wykresu leżącą poniżej osi $OX$ (dla $x \in (2, 4)$) odbijamy symetrycznie do góry względem osi $OX$. Wierzchołek $(3, -1)$ przechodzi w punkt $(3, 1)$. Otrzymujemy wykres funkcji $f(x)$ – ciągła niebieska linia.
Rysujemy prostą poziomą $g(x) = 3$ (pomarańczowa prosta) i badamy punkty wspólne:

Ponieważ odbity wierzchołek osiąga wartość maksymalną $y = 1$, prosta $y = 3$ nie przecina środkowej części wykresu. Przecięcie zachodzi jedynie na ramionach zewnętrznych w 2 punktach: $$ P_1 = (-1, 3), \quad P_2 = (7, 3) $$ Rozwiązaniem równania są liczby: $$ x \in \{-1, 7\} $$

Odpowiedź:
a) $x \in \{-8, -2, 2, 8\}$

b) $x \in \{-1, 7\}$

Zadanie 3 (9 pkt)

Rozwiąż algebraicznie równanie:

a) $|x - 2| + |x + 4| = 6$

b) $|3 - x| + |3 + x| + 2x = 0$

c) $|x + 1| - |3x - 9| = 2 - x$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Jeśli wewnątrz wartości bezwzględnej niewiadoma $x$ występuje ze znakiem ujemnym (jak w $|3 - x|$), skorzystaj z własności $|a| = |-a|$ i zapisz wyrażenie w kanonicznej postaci $|x - 3|$. Ułatwia to intuicyjne wyznaczanie znaków.
Wyznaczenie miejsc zerowych i siatka znaków: Oblicz miejsca zerowe wszystkich wyrażeń pod modułami. Dzielą one oś liczbową na przedziały. Narysuj oś liczbową i zaznacz znaki poszczególnych dwumianów w każdym przedziale.
Opuszczanie modułów w przedziałach: Rozpatruj równanie osobno w każdym przedziale. Zgodnie z definicją: jeśli wyrażenie pod modułem jest nieujemne, opuszczasz kreski bez zmian; jeśli ujemne – zmieniasz znak każdego wyrazu na przeciwny.
Weryfikacja wyniku z przedziałem: Każde wyliczone $x$ bezwzględnie porównaj z dziedziną badanego przedziału. Wynik odrzucasz, jeśli do niego nie należy. Jeśli otrzymasz tożsamość typu $0 = 0$, rozwiązaniem jest cały rozpatrywany przedział. Ostateczny zbiór rozwiązań to suma wyników z poszczególnych przedziałów.
Czego unikać (częsta pułapka): Pamiętaj o nawiasach przy opuszczaniu modułu poprzedzonego minusem (np. $-|3x - 9|$), aby prawidłowo zmienić znaki wszystkich wyrazów. Zwróć też uwagę na domykanie przedziałów w punktach granicznych, aby nie pominąć żadnej liczby rzeczywistej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $|x - 2| + |x + 4| = 6$:
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi:
$x - 2 = 0 \iff x = 2$
$x + 4 = 0 \iff x = -4$

Punkty te dzielą oś liczbową na trzy przedziały. Ustalamy znaki wyrażeń w poszczególnych przedziałach:

Rozpatrujemy równanie w trzech przedziałach:

• Dla $x \in (-\infty, -4)$:
Oba wyrażenia pod modułami są ujemne: $$\begin{aligned} -(x - 2) - (x + 4) &= 6 \\[8pt] -x + 2 - x - 4 &= 6 \\[8pt] -2x - 2 &= 6 \\[8pt] -2x &= 8 \\[8pt] x &= -4 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek: $-4 \notin (-\infty, -4)$, brak rozwiązań w tym przedziale.

• Dla $x \in \langle -4, 2)$:
Wyrażenie $x - 2$ jest ujemne, a $x + 4$ nieujemne: $$\begin{aligned} -(x - 2) + (x + 4) &= 6 \\[8pt] -x + 2 + x + 4 &= 6 \\[8pt] 6 &= 6 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy tożsamość. Rozwiązaniem jest cały przedział $\langle -4, 2)$.

• Dla $x \in \langle 2, +\infty)$:
Oba wyrażenia są nieujemne: $$\begin{aligned} (x - 2) + (x + 4) &= 6 \\[8pt] 2x + 2 &= 6 \\[8pt] 2x &= 4 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}$$ Warunek jest spełniony: $2 \in \langle 2, +\infty)$.

Łącząc wyniki ze wszystkich przedziałów:
$$x \in \langle -4, 2) \cup \{2\} \implies x \in \langle -4, 2\rangle$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $|3 - x| + |3 + x| + 2x = 0$:
W pierwszym module zamieniamy kolejność składników, korzystając z własności $|a| = |-a|$: $$|3 - x| = |-(x - 3)| = |x - 3|$$ W drugim module korzystamy z przemienności dodawania: $|3 + x| = |x + 3|$.
Równanie przyjmuje równoważną postać: $$|x - 3| + |x + 3| + 2x = 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod modułami:
$x - 3 = 0 \iff x = 3$
$x + 3 = 0 \iff x = -3$

Punkty graniczne $-3$ oraz $3$ dzielą oś liczbową na przedziały. Ustalamy znaki dwumianów:

Rozpatrujemy równanie w trzech kolejnych przedziałach:

• Dla $x \in (-\infty, -3)$:
Oba wyrażenia pod modułami są ujemne: $$\begin{aligned} -(x - 3) - (x + 3) + 2x &= 0 \\[8pt] -x + 3 - x - 3 + 2x &= 0 \\[8pt] 0 &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy tożsamość. Wszystkie liczby z przedziału $x \in (-\infty, -3)$ spełniają równanie.

• Dla $x \in \langle -3, 3)$:
Mamy $x - 3 < 0$ oraz $x + 3 \ge 0$: $$\begin{aligned} -(x - 3) + (x + 3) + 2x &= 0 \\[8pt] -x + 3 + x + 3 + 2x &= 0 \\[8pt] 6 + 2x &= 0 \\[8pt] 2x &= -6 \\[8pt] x &= -3 \end{aligned}$$ Liczba $-3 \in \langle -3, 3)$, zatem spełnia warunek przedziału.

• Dla $x \in \langle 3, +\infty)$:
Oba wyrażenia są nieujemne: $$\begin{aligned} (x - 3) + (x + 3) + 2x &= 0 \\[8pt] 2x + 2x &= 0 \\[8pt] 4x &= 0 \\[8pt] x &= 0 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek: $0 \notin \langle 3, +\infty)$, brak rozwiązań w tym przedziale.

Łącząc rozwiązania z poszczególnych przedziałów:
$$x \in (-\infty, -3) \cup \{-3\} \implies x \in (-\infty, -3\rangle$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $|x + 1| - |3x - 9| = 2 - x$:
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod modułami:
$x + 1 = 0 \iff x = -1$
$3x - 9 = 0 \iff 3x = 9 \iff x = 3$

Punkty graniczne to $-1$ oraz $3$. Określamy znaki wyrażeń na osi liczbowej:

Rozpatrujemy równanie w trzech kolejnych przedziałach:

• Dla $x \in (-\infty, -1)$:
Oba wyrażenia są ujemne, zatem $|x + 1| = -(x + 1)$ oraz $|3x - 9| = -(3x - 9)$: $$\begin{aligned} -(x + 1) - [-(3x - 9)] &= 2 - x \\[8pt] -x - 1 + 3x - 9 &= 2 - x \\[8pt] 2x - 10 &= 2 - x \\[8pt] 3x &= 12 \\[8pt] x &= 4 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek: $4 \notin (-\infty, -1)$, brak rozwiązań w tym przedziale.

• Dla $x \in \langle -1, 3)$:
Mamy $x + 1 \ge 0$ oraz $3x - 9 < 0$: $$\begin{aligned} (x + 1) - [-(3x - 9)] &= 2 - x \\[8pt] x + 1 + 3x - 9 &= 2 - x \\[8pt] 4x - 8 &= 2 - x \\[8pt] 5x &= 10 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}$$ Warunek jest spełniony: $2 \in \langle -1, 3)$, więc $x = 2$ jest rozwiązaniem.

• Dla $x \in \langle 3, +\infty)$:
Oba wyrażenia są nieujemne: $$\begin{aligned} (x + 1) - (3x - 9) &= 2 - x \\[8pt] x + 1 - 3x + 9 &= 2 - x \\[8pt] -2x + 10 &= 2 - x \\[8pt] -x &= -8 \\[8pt] x &= 8 \end{aligned}$$ Warunek jest spełniony: $8 \in \langle 3, +\infty)$, więc $x = 8$ jest rozwiązaniem.

Łącząc wyniki ze wszystkich przedziałów, otrzymujemy zbiór rozwiązań:
$$x = 2 \quad \text{lub} \quad x = 8 \implies x \in \{2, 8\}$$

Odpowiedź:
a) $x \in \langle -4, 2\rangle$

b) $x \in (-\infty, -3\rangle$

c) $x \in \{2, 8\}$

Zadanie 4 (6 pkt)

Rozwiąż równanie:

a) $|3x - 1| = |5 - x|$

b) $x + 2 - |x - 2| = |4 - x|$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Określ strukturę obu równań. Równanie w podpunkcie a) ma postać równości dwóch pojedynczych wartości bezwzględnych $|A| = |B|$, co pozwala na natychmiastowe zastosowanie własności modułu. W podpunkcie b) wartości bezwzględne występują w połączeniu z innymi wyrazami, dlatego punktem wyjścia jest wyznaczenie miejsc zerowych wyrażeń podmodułowych.
Kluczowa metoda i powiązanie pojęciowe: Dla równania typu $|A| = |B|$ wykorzystaj fakt, że wyrażenia te muszą być sobie równe lub przeciwne: $A = B \lor A = -B$ (alternatywnie można podnieść obie strony do kwadratu). Dla równania z podpunktu b) zastosuj metodę przedziałów – wyznaczone punkty zerowe dzielą oś liczb rzeczywistych na przedziały, w których znak każdego wyrażenia pod wartością bezwzględną jest stały.
Kolejność operacji: W metodzie przedziałów opuść wartości bezwzględne w każdym z przedziałów zgodnie z ich definicją, rozwiąż powstałe równania liniowe, a następnie sprawdź, czy otrzymane liczby należą do rozpatrywanego przedziału.
Weryfikacja wyniku: Każdy wyznaczony pierwiastek w metodzie przedziałów musi zostać skonfrontowany z założeniem danego przedziału. Rozwiązanie odrzucamy, jeśli znajduje się poza badanym zbiorem.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na minus stojący bezpośrednio przed wartością bezwzględną, np. $-|x - 2|$. Przy opuszczaniu modułu zawsze ujmuj wyrażenie w nawias, aby uniknąć błędu w znakach kolejnych wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $|3x - 1| = |5 - x|$ – Sposób I (z własności wartości bezwzględnej):
Dla dowolnych wyrażeń rzeczywistych zachodzi równoważność: $$|A| = |B| \iff A = B \lor A = -B$$ Przyjmując $A = 3x - 1$ oraz $B = 5 - x$, otrzymujemy alternatywę dwóch prostych równań liniowych: $$\begin{aligned} 3x - 1 &= 5 - x &\lor& 3x - 1 = -(5 - x) \\[8pt] 3x + x &= 5 + 1 &\lor& 3x - 1 = -5 + x \\[8pt] 4x &= 6 &\lor& 3x - x = -5 + 1 \\[8pt] x &= \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} &\lor& 2x = -4 \implies x = -2 \end{aligned}$$ Równanie ma dwa rozwiązania: $x = -2$ oraz $x = \dfrac{3}{2}$.
Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $|3x - 1| = |5 - x|$ – Sposób II (podniesienie obu stron do kwadratu):
Ponieważ obie strony równania są nieujemne dla każdego $x \in \mathbb{R}$, możemy podnieść je obustronnie do kwadratu, korzystając z tożsamości $|a|^2 = a^2$: $$\begin{aligned} |3x - 1|^2 &= |5 - x|^2 \\[8pt] (3x - 1)^2 &= (5 - x)^2 \\[8pt] (3x - 1)^2 - (5 - x)^2 &= 0 \end{aligned}$$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$\begin{aligned} \left[(3x - 1) - (5 - x)\right] \cdot \left[(3x - 1) + (5 - x)\right] &= 0 \\[8pt] (3x - 1 - 5 + x)(3x - 1 + 5 - x) &= 0 \\[8pt] (4x - 6)(2x + 4) &= 0 \end{aligned}$$ Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem: $$\begin{aligned} 4x - 6 = 0 &\implies 4x = 6 \implies x = \dfrac{3}{2} \\[8pt] 2x + 4 = 0 &\implies 2x = -4 \implies x = -2 \end{aligned}$$ Otrzymujemy identyczne wyniki jak w Sposobie I.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $x + 2 - |x - 2| = |4 - x|$ – wyznaczenie miejsc zerowych i podział osi liczbowej:
Wyznaczamy wartości argumentu $x$, dla których wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi zmieniają znak (miejsca zerowe): $$\begin{aligned} x - 2 = 0 &\implies x = 2 \\[8pt] 4 - x = 0 &\implies x = 4 \end{aligned}$$ Liczby te dzielą oś liczbową na trzy rozłączne przedziały: $$\text{I: } x \in (-\infty, 2), \qquad \text{II: } x \in \langle 2, 4), \qquad \text{III: } x \in \langle 4, +\infty)$$
Podpunkt b) Rozpatrzenie poszczególnych przedziałów i rozwiązanie równań:
Badamy równanie w każdym z trzech wyznaczonych przedziałów:

Przedział I: $x \in (-\infty, 2)$
Dla $x < 2$ mamy $x - 2 < 0$, więc $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$. Ponadto $4 - x > 0$, więc $|4 - x| = 4 - x$. Równanie przyjmuje postać: $$\begin{aligned} x + 2 - [-(x - 2)] &= 4 - x \\[8pt] x + 2 + (x - 2) &= 4 - x \\[8pt] 2x &= 4 - x \\[8pt] 3x &= 4 \implies x = \dfrac{4}{3} \end{aligned}$$ Sprawdzamy przynależność do przedziału: $\dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3} < 2$, zatem $\dfrac{4}{3} \in (-\infty, 2)$. Liczba $x = \dfrac{4}{3}$ jest rozwiązaniem.

Przedział II: $x \in \langle 2, 4)$
Dla $x \ge 2$ mamy $x - 2 \ge 0$, więc $|x - 2| = x - 2$. Dla $x < 4$ mamy $4 - x > 0$, więc $|4 - x| = 4 - x$. Równanie przyjmuje postać: $$\begin{aligned} x + 2 - (x - 2) &= 4 - x \\[8pt] x + 2 - x + 2 &= 4 - x \\[8pt] 4 &= 4 - x \implies x = 0 \end{aligned}$$ Sprawdzamy przynależność do przedziału: $0 \notin \langle 2, 4)$. Otrzymana wartość nie spełnia założeń tego przedziału, zatem w tym przedziale brak rozwiązań ($x \in \emptyset$).

Przedział III: $x \in \langle 4, +\infty)$
Dla $x \ge 4$ mamy $x - 2 > 0$, więc $|x - 2| = x - 2$. Ponadto $4 - x \le 0$, więc $|4 - x| = -(4 - x) = x - 4$. Równanie przyjmuje postać: $$\begin{aligned} x + 2 - (x - 2) &= x - 4 \\[8pt] x + 2 - x + 2 &= x - 4 \\[8pt] 4 &= x - 4 \implies x = 8 \end{aligned}$$ Sprawdzamy przynależność do przedziału: $8 \ge 4$, zatem $8 \in \langle 4, +\infty)$. Liczba $x = 8$ jest rozwiązaniem.
Podpunkt b) Podsumowanie rozwiązań i interpretacja na osi liczbowej:
Sumując zbiory rozwiązań uzyskane w poszczególnych przedziałach, otrzymujemy ostateczne pierwiastki równania: $$x = \dfrac{4}{3} \lor x = 8$$

Odpowiedź:
a) $x = -2$ lub $x = \dfrac{3}{2}$

b) $x = \dfrac{4}{3}$ lub $x = 8$

Zadanie 5 (6 pkt)

Rozwiąż równanie:

a) $||x| + 2| = |x + 2|$

b) $|2 - x| - |x + 4| = -x - 3$

Wskazówki:

Badanie znaku wnętrza modułu: Zauważ, że z definicji wartości bezwzględnej wyrażenie $|x|$ jest zawsze nieujemne ($|x| \ge 0$). Zatem $|x| + 2 \ge 2 > 0$, co pozwala na natychmiastowe opuszczenie zewnętrznych kresek modułu po lewej stronie bez rozbijania na przypadki.
Wyznaczanie punktów podziału osi: W równaniach z modułami zależnymi od niewiadomej w różny sposób znajdź miejsca zerowe wyrażeń podmodułowych. Punkty te dzielą oś liczbową na przedziały o stałym znaku każdego z wyrażeń.
Opuszczanie wartości bezwzględnych w przedziałach: W każdym przedziale zastąp moduły odpowiednimi wyrażeniami liniowymi (zostawiając znak bez zmian, gdy wnętrze jest nieujemne, lub zmieniając znaki na przeciwne, gdy wnętrze jest ujemne) i rozwiąż otrzymane równanie liniowe.
Weryfikacja przynależności do przedziału: Każde otrzymane rozwiązanie liczbowe należy bezwzględnie porównać z założeniem danego przedziału – odrzucamy liczby, które nie leżą w badanym przedziale.
Czego unikać (częsta pułapka): Przy opuszczaniu modułu ze znakiem minus, np. $-|x + 4|$, pamiętaj o ujęciu wyrażenia w nawias $-(x + 4) = -x - 4$, aby nie popełnić błędu znaku przy wyrazie wolnym.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $||x| + 2| = |x + 2|$:
Zauważmy najpierw własność lewej strony równania. Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ zachodzi nierówność $|x| \ge 0$, zatem: $$|x| + 2 \ge 2 > 0$$ Ponieważ wnętrze zewnętrznej wartości bezwzględnej jest ściśle dodatnie, możemy ją bezpośrednio opuścić: $$||x| + 2| = |x| + 2$$ Równanie przyjmuje więc postać: $$|x| + 2 = |x + 2|$$ Miejscami zerowymi wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi są $x = 0$ oraz $x = -2$. Dzielą one zbiór liczb rzeczywistych na trzy przedziały:

• Dla $x \in (-\infty, -2)$:
W tym przedziale $x < 0$ oraz $x + 2 < 0$, zatem $|x| = -x$ oraz $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$: $$\begin{aligned} -x + 2 &= -x - 2 \\[8pt] 2 &= -2 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy sprzeczność, co oznacza brak rozwiązań w tym przedziale.

• Dla $x \in \langle -2, 0)$:
W tym przedziale $x < 0$ oraz $x + 2 \ge 0$, zatem $|x| = -x$ oraz $|x + 2| = x + 2$: $$\begin{aligned} -x + 2 &= x + 2 \\[8pt] -2x &= 0 \\[8pt] x &= 0 \end{aligned}$$ Liczba $0$ nie należy do przedziału $\langle -2, 0)$, więc wewnątrz tego przedziału nie ma rozwiązań.

• Dla $x \in \langle 0, +\infty)$:
W tym przedziale $x \ge 0$ oraz $x + 2 > 0$, zatem $|x| = x$ oraz $|x + 2| = x + 2$: $$\begin{aligned} x + 2 &= x + 2 \\[8pt] 0 &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymana tożsamość oznacza, że każda liczba z przedziału $\langle 0, +\infty)$ spełnia to równanie.

Ostatecznie rozwiązaniem podpunktu a jest przedział: $$x \in \langle 0, +\infty)$$
Podpunkt b) Wyznaczenie punktów podziału dla równania $|2 - x| - |x + 4| = -x - 3$:
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń znajdujących się pod wartościami bezwzględnymi: $$\begin{aligned} 2 - x = 0 &\iff x = 2 \\[8pt] x + 4 = 0 &\iff x = -4 \end{aligned}$$ Punkty te dzielą oś liczbową na trzy przedziały: $$\text{I: } (-\infty, -4), \quad \text{II: } \langle -4, 2), \quad \text{III: } \langle 2, +\infty)$$
Podpunkt b) Rozwiązanie równania w poszczególnych przedziałach:
Rozpatrujemy równanie kolejno w każdym z trzech przedziałów:

• Przedział I: $x \in (-\infty, -4)$
W tym przedziale $2 - x > 0$, więc $|2 - x| = 2 - x$.
Natomiast $x + 4 < 0$, więc $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$.
Równanie przyjmuje postać: $$\begin{aligned} (2 - x) - [-(x + 4)] &= -x - 3 \\[8pt] 2 - x + x + 4 &= -x - 3 \\[8pt] 6 &= -x - 3 \\[8pt] -x &= 9 \\[8pt] x &= -9 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek przedziału: $-9 \in (-\infty, -4)$, zatem liczba $-9$ jest rozwiązaniem.

• Przedział II: $x \in \langle -4, 2)$
W tym przedziale $2 - x > 0$, więc $|2 - x| = 2 - x$.
Natomiast $x + 4 \ge 0$, więc $|x + 4| = x + 4$.
Równanie przyjmuje postać: $$\begin{aligned} (2 - x) - (x + 4) &= -x - 3 \\[8pt] 2 - x - x - 4 &= -x - 3 \\[8pt] -2x - 2 &= -x - 3 \\[8pt] -x &= -1 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek przedziału: $1 \in \langle -4, 2)$, zatem liczba $1$ jest rozwiązaniem.

• Przedział III: $x \in \langle 2, +\infty)$
W tym przedziale $2 - x \le 0$, więc $|2 - x| = -(2 - x) = x - 2$.
Natomiast $x + 4 > 0$, więc $|x + 4| = x + 4$.
Równanie przyjmuje postać: $$\begin{aligned} (x - 2) - (x + 4) &= -x - 3 \\[8pt] x - 2 - x - 4 &= -x - 3 \\[8pt] -6 &= -x - 3 \\[8pt] -x &= -3 \\[8pt] x &= 3 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek przedziału: $3 \in \langle 2, +\infty)$, zatem liczba $3$ jest rozwiązaniem.
Zestawienie i interpretacja graficzna rozwiązań podpunktu b:
Łącząc rozwiązania wyznaczone we wszystkich trzech przypadkach, otrzymujemy zbiór trzech liczb: $$x \in \{-9, 1, 3\}$$

Odpowiedź:
a) $x \in \langle 0, +\infty)$

b) $x \in \{-9, 1, 3\}$

Grupa B

Zadanie 1 (9 pkt)

Rozwiąż algebraicznie równanie: a) $||x| - 5| = 7$ b) $|9 - |4x + 2|| = 3$ c) $|4 - |5x - 1|| - 3 = 0$