Proste nierówności z wartością bezwzględną kartkówka

10.4 Proste nierówności z wartością bezwzględną

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (12 pkt)

Rozwiąż nierówność, korzystając z odległości między liczbami na osi liczbowej.

a) $6 - |3 - x| > 0$

b) $|-3 + x| - 5 \ge 0$

c) $|x - 2| \le 5$

Wskazówki:

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej: Wyrażenie $|x - a|$ określa odległość między liczbą $x$ a punktem $a$ na osi liczbowej. Warunek $|x - a| < d$ oznacza zbiór liczb oddalonych od $a$ o mniej niż $d$, a warunek $|x - a| \ge d$ – zbiór liczb oddalonych od $a$ o co najmniej $d$.
Izolacja modułu i własności symetrii: Doprowadzamy nierówność do postaci z wyodrębnioną wartością bezwzględną po jednej stronie. Korzystamy z tożsamości $|a - b| = |b - a|$, dzięki czemu wyrażenia typu $|3 - x|$ lub $|-3 + x|$ przekształcamy bezpośrednio do wygodnej postaci $|x - 3|$.
Wyznaczanie punktów granicznych na osi: Mając punkt środkowy $a$ oraz odległość graniczną $d$, wyznaczamy krańce przedziałów, odliczając $d$ jednostek w lewo ($a - d$) oraz $d$ jednostek w prawo ($a + d$).
Zapis rozwiązań w postaci przedziałów: Dla zwrotu mniejszości ($<$ lub $\le$) rozwiązaniem jest wnętrze ograniczone punktami granicznymi (koniunkcja dwóch nierówności). Dla zwrotu większości ($>$ lub $\ge$) bierzemy sumę dwóch nieskończonych półprostych na zewnątrz tych punktów (alternatywa dwóch nierówności).
Czego unikać (częsta pułapka): Zwracaj szczególną uwagę na rodzaj kółek na osi liczbowej – dla nierówności ostrej ($>$, $<$) punkty brzegowe nie należą do rozwiązania (kółka otwarte, nawiasy okrągłe), natomiast dla nierówności nieostrej ($\ge$, $\le$) punkty brzegowe wchodzą do rozwiązania (kółka zamalowane, nawiasy ostre).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $6 - |3 - x| > 0$:
Przenosimy wartość bezwzględną na prawą stronę: $$6 > |3 - x| \iff |3 - x| < 6$$ Korzystamy z własności $|a - b| = |b - a|$, zapisując wyrażenie w postaci: $$|x - 3| < 6$$ Geometrycznie nierówność oznacza poszukiwanie wszystkich liczb $x$, których odległość od liczby $3$ na osi liczbowej jest mniejsza niż $6$.

Wyznaczamy liczby odległe od punktu $3$ dokładnie o $6$ jednostek: $$\begin{aligned} x_1 &= 3 - 6 = -3 \\[8pt] x_2 &= 3 + 6 = 9 \end{aligned}$$ Ponieważ odległość ma być ściśle mniejsza niż $6$, szukane liczby leżą ściśle pomiędzy wyznaczonymi punktami (bez punktów brzegowych): $$x > -3 \quad \land \quad x < 9$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział otwarty: $$x \in (-3, 9)$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $|-3 + x| - 5 \ge 0$:
Przenosimy liczbę $-5$ na prawą stronę: $$|-3 + x| \ge 5$$ Przestawiamy kolejność składników wewnątrz modułu: $$|x - 3| \ge 5$$ Geometrycznie nierówność oznacza poszukiwanie wszystkich liczb $x$, których odległość od liczby $3$ na osi liczbowej jest większa lub równa $5$.

Wyznaczamy liczby odległe od punktu $3$ o $5$ jednostek: $$\begin{aligned} x_1 &= 3 - 5 = -2 \\[8pt] x_2 &= 3 + 5 = 8 \end{aligned}$$ Ponieważ odległość ma wynosić co najmniej $5$, rozwiązaniem są liczby leżące w lewo od $-2$ lub w prawo od $8$ wraz z punktami brzegowymi: $$x \le -2 \quad \lor \quad x \ge 8$$ Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów domkniętych z odpowiednich stron: $$x \in (-\infty, -2\rangle \cup \langle 8, +\infty)$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $|x - 2| \le 5$:
Nierówność jest bezpośrednio w postaci odległościowej: $$|x - 2| \le 5$$ Geometrycznie oznacza poszukiwanie wszystkich liczb $x$, których odległość od liczby $2$ na osi liczbowej jest mniejsza bądź równa $5$.

Wyznaczamy liczby odległe od punktu $2$ o $5$ jednostek: $$\begin{aligned} x_1 &= 2 - 5 = -3 \\[8pt] x_2 &= 2 + 5 = 7 \end{aligned}$$ Odległość ma być mniejsza lub równa $5$, co odpowiada punktom leżącym pomiędzy $-3$ a $7$ wraz z końcami przedziału: $$x \ge -3 \quad \land \quad x \le 7$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział obustronnie domknięty: $$x \in \langle -3, 7\rangle$$

Odpowiedź:
a) $x \in (-3, 9)$

b) $x \in (-\infty, -2\rangle \cup \langle 8, +\infty)$

c) $x \in \langle -3, 7\rangle$

Zadanie 2 (8 pkt)

Rozwiąż algebraicznie nierówność:

a) $|x + 3| \le 5$

b) $3|x - 2| \ge 9$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i doprowadzenie do postaci bazowej: Przed opuszczeniem modułu upewnij się, że wartość bezwzględna jest odosobniona po lewej stronie. W podpunkcie b) najpierw podziel obie strony nierówności przez współczynnik liczbowy stojący przed modułem (czyli przez 3).
Zależność spójnika od zwrotu nierówności:
- Dla nierówności typu $|W(x)| \le c$ (gdzie $c > 0$) szukamy liczb leżących blisko środka – stosujemy nierówność podwójną $-c \le W(x) \le c$, co odpowiada koniunkcji (części wspólnej, spójnik „i”). Rozwiązaniem jest pojedynczy przedział domknięty.
- Dla nierówności typu $|W(x)| \ge c$ (gdzie $c > 0$) szukamy liczb leżących daleko od środka – rozbijamy wyrażenie na alternatywę (spójnik „lub”): $W(x) \le -c$ lub $W(x) \ge c$. Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów.
Interpretacja geometryczna (odległość na osi): Wyrażenie $|x - a|$ interpretujemy jako odległość liczby $x$ od punktu $a$ na osi liczbowej. W podpunkcie a) $|x + 3| = |x - (-3)|$ oznacza punkty oddalone od liczby $-3$ o co najwyżej 5. W podpunkcie b) $|x - 2|$ oznacza punkty oddalone od liczby $2$ o co najmniej 3.
Zapis przedziałów i domknięcia: Ponieważ w obu podpunktach występują nierówności słabe ($\le$, $\ge$), punkty brzegowe należą do zbioru rozwiązań, co zapisujemy za pomocą nawiasów ostrokątnych (domkniętych) przy liczbach: $[\dots]$.
Czego unikać (częsta pułapka): Nie myl spójników logicznych! Zapisanie nierówności $|x - 2| \ge 3$ w postaci koniunkcji ($x - 2 \le -3$ i $x - 2 \ge 3$) prowadzi do sprzeczności, ponieważ żaden punkt nie może leżeć jednocześnie na lewo od $-1$ i na prawo od $5$. Pamiętaj: przy znaku $\ge$ zawsze stosujemy sumę przedziałów (alternatywę).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy algebraicznie nierówność $|x + 3| \le 5$:
Zadanie można rozwiązać dwoma równoważnymi sposobami:

Sposób I – Własność wartości bezwzględnej (nierówność podwójna):
Dla dowolnej liczby $c > 0$ nierówność $|W| \le c$ jest równoważna podwójnej nierówności $-c \le W \le c$. W naszym przypadku: $$ -5 \le x + 3 \le 5 $$ Odejmujemy liczbę 3 od wszystkich trzech stron nierówności: $$ -5 - 3 \le x \le 5 - 3 $$ $$ -8 \le x \le 2 $$ Zbiorem rozwiązań jest przedział obustronnie domknięty: $$ x \in [-8, 2] $$ Sposób II – Interpretacja geometryczna na osi liczbowej:
Zapisujemy lewą stronę w postaci odległości: $|x - (-3)| \le 5$. Oznacza to, że odległość punktu $x$ od punktu $-3$ na osi liczbowej jest mniejsza bądź równa 5. Wychodząc od liczby $-3$, odmierzamy 5 jednostek w obu kierunkach:
- w lewo: $-3 - 5 = -8$,
- w prawo: $-3 + 5 = 2$.
Warunek spełniają wszystkie liczby leżące pomiędzy wyznaczonymi punktami włącznie:

Otrzymujemy zbiór: $$ x \in [-8, 2] $$
Podpunkt b) Rozwiązujemy algebraicznie nierówność $3|x - 2| \ge 9$:
W pierwszym kroku izolujemy wartość bezwzględną, dzieląc obie strony nierówności przez dodatnią liczbę 3: $$ |x - 2| \ge \dfrac{9}{3} $$ $$ |x - 2| \ge 3 $$ Sposób I – Własność wartości bezwzględnej (alternatywa nierówności):
Dla dowolnej liczby $c > 0$ nierówność $|W| \ge c$ jest równoważna alternatywie dwóch nierówności połączonych spójnikiem „lub”: $$ x - 2 \le -3 \quad \text{lub} \quad x - 2 \ge 3 $$ Dodajemy liczbę 2 do obu stron każdej z nierówności: $$ \begin{aligned} x &\le -3 + 2 \quad &\text{lub} \quad &x \ge 3 + 2 \\[8pt] x &\le -1 \quad &\text{lub} \quad &x \ge 5 \end{aligned} $$ Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów nieskończonych: $$ x \in (-\infty, -1] \cup [5, \infty) $$ Sposób II – Interpretacja geometryczna na osi liczbowej:
Nierówność $|x - 2| \ge 3$ oznacza, że odległość punktu $x$ od punktu $2$ na osi liczbowej jest większa bądź równa 3. Odliczając 3 jednostki od liczby $2$:
- w lewo: $2 - 3 = -1$,
- w prawo: $2 + 3 = 5$.
Szukamy punktów oddalonych o co najmniej 3 jednostki, czyli leżących na lewo od $-1$ lub na prawo od $5$ (wraz z punktami brzegowymi):

Ostatecznym zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów: $$ x \in (-\infty, -1] \cup [5, \infty) $$

Odpowiedź:
a) $x \in [-8, 2]$

b) $x \in (-\infty, -1] \cup [5, \infty)$

Zadanie 3 (8 pkt)

Rozwiąż algebraicznie nierówność:

a) $|x - 2{,}5| + 1{,}5 \ge 0$

b) $5|x + 0{,}1| - 1 > 0$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i izolacja modułu: W obu podpunktach rozpocznij od uporządkowania nierówności tak, aby po lewej stronie znajdowała się wyłącznie wartość bezwzględna, a po prawej stronie liczba (przenieś wyraz wolny i wykonaj ewentualne dzielenie przez współczynnik liczbowy).
Własność nieujemności wartości bezwzględnej (podpunkt a): Z definicji wartość bezwzględna dowolnego wyrażenia rzeczywistego jest zawsze liczbą większą bądź równą zero ($|w| \ge 0$). Jeżeli po przekształceniu moduł ma być większy lub równy od liczby ujemnej, nierówność jest tożsamościowa i spełnia ją każda liczba rzeczywista.
Rozbicie nierówności typu $|w| > c$ dla $c > 0$ (podpunkt b): Nierówność, w której wartość bezwzględna jest większa od liczby dodatniej, oznacza odległość większą niż $c$. Prowadzi to do alternatywy dwóch warunków połączonych spójnikiem „lub”: $w > c$ lub $w < -c$.
Wyznaczenie sumy przedziałów i zapis wyniku: Rozwiąż obie powstałe proste nierówności liniowe, a następnie wyznacz sumę uzyskanych zbiorów rozwiązań. Relacja ostra ($>$) oznacza, że punkty brzegowe nie należą do rozwiązania (otwarte kółka na osi liczbowej i okrągłe nawiasy w przedziale).
Czego unikać (częsta pułapka): W podpunkcie b) nie stosuj spójnika „i” (koniunkcji) – znak $>$ zawsze wymaga sumy przedziałów (alternatywy „lub”). Zwróć także uwagę, aby w drugim przypadku zmienić zarówno znak liczby na przeciwny, jak i zwrot nierówności ($x + 0{,}1 < -0{,}2$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $|x - 2{,}5| + 1{,}5 \ge 0$:
Wychodzimy od podanej nierówności: $$|x - 2{,}5| + 1{,}5 \ge 0$$ Przenosimy wyraz wolny $1{,}5$ na prawą stronę, pamiętając o zmianie znaku: $$|x - 2{,}5| \ge -1{,}5$$ Z definicji wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi: $$|x - 2{,}5| \ge 0$$ Każda liczba większa lub równa zero jest jednocześnie większa od dowolnej liczby ujemnej (w szczególności od $-1{,}5$). Oznacza to, że nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej: $$x \in \mathbb{R} \quad \text{czyli} \quad x \in (-\infty, \infty)$$
Podpunkt b) Przekształcenie nierówności $5|x + 0{,}1| - 1 > 0$ i rozbicie na przypadki:
Wychodzimy od wyjściowej nierówności: $$5|x + 0{,}1| - 1 > 0$$ Przenosimy liczbę $-1$ na prawą stronę: $$5|x + 0{,}1| > 1$$ Dzielimy obie strony nierówności przez $5$: $$|x + 0{,}1| > \dfrac{1}{5}$$ Ponieważ $\dfrac{1}{5} = 0{,}2$, otrzymujemy: $$|x + 0{,}1| > 0{,}2$$ Nierówność postaci $|w| > c$ (dla $c > 0$) rozpisujemy jako alternatywę dwóch nierówności: $$x + 0{,}1 > 0{,}2 \quad \text{lub} \quad x + 0{,}1 < -0{,}2$$
Podpunkt b) Wyznaczenie przedziałów i zilustrowanie rozwiązania na osi liczbowej:
Rozwiązujemy obie nierówności liniowe: $$\begin{aligned} x + 0{,}1 &> 0{,}2 &\text{lub}& &x + 0{,}1 &< -0{,}2 \\[8pt] x &> 0{,}2 - 0{,}1 &\text{lub}& &x &< -0{,}2 - 0{,}1 \\[8pt] x &> 0{,}1 &\text{lub}& &x &< -0{,}3 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest suma zbiorów odpowiadających obu warunkom: $$x \in (-\infty; -0{,}3) \cup (0{,}1; \infty)$$ Na osi liczbowej zaznaczamy punkty $-0{,}3$ oraz $0{,}1$ kółkami otwartymi (ze względu na ostrą nierówność) wraz z odpowiednimi półprostymi:

Odpowiedź:
a) $x \in \mathbb{R}$

b) $x \in (-\infty; -0{,}3) \cup (0{,}1; \infty)$

Zadanie 4 (10 pkt)

Rozwiąż nierówność podwójną: $|x + 3| \le 4 < |x - 2| + 2$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i rozbicie nierówności podwójnej: Każda nierówność podwójna typu $A \le B < C$ oznacza, że oba warunki muszą być spełnione jednocześnie. Zastąp ją układem dwóch niezależnych nierówności połączonych spójnikiem koniunkcji („i”): $|x + 3| \le 4$ oraz $4 < |x - 2| + 2$.
Kluczowa metoda i własności wartości bezwzględnej: Przypomnij sobie fundamentalne reguły rozwiązywania elementarnych nierówności z wartością bezwzględną dla liczby dodatniej $c > 0$:
- Nierówność $|w| \le c$ jest równoważna podwójnej nierówności $-c \le w \le c$ (rozwiązaniem jest przedział domknięty).
- Nierówność $|w| > c$ rozbija się na alternatywę dwóch nierówności ze spójnikiem „lub”: $w > c \lor w < -c$ (rozwiązaniem jest suma dwóch rozłącznych przedziałów otwartych).
Kolejność operacji algebraicznych: W pierwszej nierówności odejmij liczbę $3$ od wszystkich stron. W drugiej nierówności przenieś najpierw liczbę $2$ na stronę stałej, aby wyizolować sam moduł $|x - 2| > 2$, a następnie rozwiąż dwa powstałe przypadki liniowe.
Interpretacja geometryczna i część wspólna: Zaznacz zbiory rozwiązań obu nierówności na wspólnej osi liczbowej. Ponieważ wyjściowe warunki łączy koniunkcja, ostatecznym wynikiem jest część wspólna (iloczyn) obu otrzymanych zbiorów.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na zwroty nierówności oraz ostrość przedziałów – przy wartości $-7$ występuje nierówność słaba ($\le$), co daje brzeg domknięty ($\langle -7$), natomiast przy wartości $0$ nierówność jest ostra ($<$), co wymaga brzegu otwartego ($0)$). Nie myl również spójnika „i” (część wspólna) ze spójnikiem „lub” (suma).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozbicie nierówności podwójnej na układ dwóch nierówności:
Zapisujemy wyjściową nierówność podwójną: $$|x + 3| \le 4 < |x - 2| + 2$$ Nierówność ta jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są jednocześnie oba warunki, co zapisujemy za pomocą układu nierówności: $$\begin{cases} |x + 3| \le 4 \\[6pt] 4 < |x - 2| + 2 \end{cases}$$ Rozwiążemy każdą nierówność osobno, a następnie wyznaczymy ich część wspólną.
Rozwiązanie pierwszej nierówności $|x + 3| \le 4$:
Zgodnie z własnością wartości bezwzględnej dla $c > 0$ nierówność $|w| \le c$ jest równoważna podwójnej nierówności $-c \le w \le c$: $$-4 \le x + 3 \le 4$$ Odejmujemy obustronnie liczbę $3$ od wszystkich trzech stron nierówności: $$\begin{aligned} -4 - 3 &\le x \le 4 - 3 \\[8pt] -7 &\le x \le 1 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań pierwszej nierówności jest przedział domknięty: $$x \in \langle -7, 1 \rangle$$
Rozwiązanie drugiej nierówności $4 < |x - 2| + 2$:
Odejmujemy obustronnie liczbę $2$, aby odosobnić wyrażenie z wartością bezwzględną: $$\begin{aligned} 4 - 2 &< |x - 2| \\[8pt] 2 &< |x - 2| \end{aligned}$$ Zapisując nierówność w standardowej postaci (od lewej do prawej), mamy: $$|x - 2| > 2$$ Z definicji i własności wartości bezwzględnej nierówność typu $|w| > c$ rozpisujemy jako alternatywę dwóch nierówności: $$\begin{aligned} x - 2 > 2 \quad &\lor \quad x - 2 < -2 \\[8pt] x > 2 + 2 \quad &\lor \quad x < -2 + 2 \\[8pt] x > 4 \quad &\lor \quad x < 0 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań drugiej nierówności jest suma dwóch przedziałów otwartych: $$x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$$
Wyznaczenie części wspólnej (iloczynu) obu zbiorów i interpretacja graficzna:
Szukamy liczb rzeczywistych należących jednocześnie do obu zbiorów: $$x \in \langle -7, 1 \rangle \cap \big((-\infty, 0) \cup (4, +\infty)\big)$$ Wyznaczamy iloczyn przedziału $\langle -7, 1 \rangle$ z poszczególnymi częściami sumy: $$\begin{aligned} \langle -7, 1 \rangle \cap (-\infty, 0) &= \langle -7, 0) \\[8pt] \langle -7, 1 \rangle \cap (4, +\infty) &= \emptyset \end{aligned}$$ Część wspólna jest równa przedziałowi $\langle -7, 0)$.

Odpowiedź:
$x \in \langle -7, 0)$ (czyli $-7 \le x < 0$)

Zadanie 5 (12 pkt)

Rozwiąż nierówność: $$ \dfrac{5 - \dfrac{3|x - 4| - 1}{2}}{3} \le \dfrac{\dfrac{2|x - 4| + 5}{3} - 1}{4} $$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Zauważ, że we wszystkich częściach nierówności występuje to samo wyrażenie z wartością bezwzględną: $|x - 4|$. Zwróć uwagę na ułamki piętrowe w licznikach po obu stronach nierówności.
Kluczowa metoda i powiązanie pojęciowe: Wprowadź pomocniczą zmienną $t = |x - 4|$ (z koniecznym założeniem $t \ge 0$), co sprowadza problem do prostej nierówności liniowej. Po wyznaczeniu warunku na $t$ skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej: dla $c > 0$ nierówność typu $|w| \ge c$ jest równoważna alternatywie dwóch warunków: $w \ge c \lor w \le -c$.
Kolejność operacji i przekształceń: Aby zlikwidować ułamki, pomnóż obie strony nierówności przez najmniejszy wspólny mianownik głównych ułamków, czyli przez $12$. Następnie rozwiń nawiasy i wymnóż ułamki wewnętrzne, zredukuj wyrazy podobne, przenieś niewiadome na jedną stronę i wyznacz wartość graniczną dla $t$.
Interpretacja i weryfikacja końcowa: Rozbij uzyskaną nierówność modułową na dwie elementarne nierówności liniowe, wyznacz ich zbiory rozwiązań, a wynik przedstaw w postaci sumy przedziałów oraz zilustruj na osi liczbowej. Poprawność możesz skontrolować, podstawiając punkt próbny ze środka (np. $x = 4$), który nie powinien spełniać nierówności.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na znaki minus przed ułamkami – odejmując $\dfrac{3t - 1}{2}$, znak minus dotyczy całego licznika: $-(3t - 1) = -3t + 1$. Pamiętaj również, że nierówność ze znakiem $\ge$ rozbija się na alternatywę (spójnik „lub”, czyli sumę przedziałów $\cup$), a nie na część wspólną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wprowadzenie zmiennej pomocniczej i likwidacja głównych mianowników:
Wychodzimy od wyjściowej nierówności: $$ \dfrac{5 - \dfrac{3|x - 4| - 1}{2}}{3} \le \dfrac{\dfrac{2|x - 4| + 5}{3} - 1}{4} $$ Wprowadzamy zmienną pomocniczą $t = |x - 4|$. Z definicji wartości bezwzględnej wynika warunek: $$ t \ge 0 $$ Zapisujemy nierówność ze zmienną $t$: $$ \dfrac{5 - \dfrac{3t - 1}{2}}{3} \le \dfrac{\dfrac{2t + 5}{3} - 1}{4} $$ Mnożymy obie strony nierówności przez najmniejszy wspólny mianownik liczb $3$ i $4$, czyli przez liczbę $12 > 0$ (znak nierówności pozostaje bez zmian): $$ 12 \cdot \dfrac{5 - \dfrac{3t - 1}{2}}{3} \le 12 \cdot \dfrac{\dfrac{2t + 5}{3} - 1}{4} $$ Po skróceniu mianowników otrzymujemy: $$ 4 \cdot \left( 5 - \dfrac{3t - 1}{2} \right) \le 3 \cdot \left( \dfrac{2t + 5}{3} - 1 \right) $$
Wymnożenie nawiasów i wyznaczenie warunku na zmienną $t$:
Wymnażamy współczynniki stojące przed nawiasami: $$ 4 \cdot 5 - 4 \cdot \dfrac{3t - 1}{2} \le 3 \cdot \dfrac{2t + 5}{3} - 3 \cdot 1 $$ Skracamy mnożniki z mianownikami ułamków wewnętrznych: $$ 20 - 2(3t - 1) \le (2t + 5) - 3 $$ Opuszczamy nawiasy, pamiętając o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną: $$ \begin{aligned} 20 - 6t + 2 &\le 2t + 2 \\[8pt] 22 - 6t &\le 2t + 2 \end{aligned} $$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $t$ na prawą stronę, a liczby na lewą stronę nierówności: $$ \begin{aligned} 22 - 2 &\le 2t + 6t \\[8pt] 20 &\le 8t \\[8pt] 8t &\ge 20 \end{aligned} $$ Dzielimy obie strony nierówności przez $8$: $$ t \ge \dfrac{20}{8} \iff t \ge \dfrac{5}{2} $$ Ponieważ $\dfrac{5}{2} > 0$, warunek początkowy $t \ge 0$ jest w pełni spełniony.
Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną i interpretacja na osi liczbowej:
Wracamy do podstawienia $t = |x - 4|$: $$ |x - 4| \ge \dfrac{5}{2} $$ Zgodnie z własnością nierówności z wartością bezwzględną otrzymujemy alternatywę dwóch nierówności: $$ x - 4 \ge \dfrac{5}{2} \quad \lor \quad x - 4 \le -\dfrac{5}{2} $$ Dodajemy liczbę $4$ do obu stron każdej z nierówności: $$ \begin{aligned} x &\ge 4 + \dfrac{5}{2} &\quad \lor \quad& &x &\le 4 - \dfrac{5}{2} \\[8pt] x &\ge \dfrac{8}{2} + \dfrac{5}{2} &\quad \lor \quad& &x &\le \dfrac{8}{2} - \dfrac{5}{2} \\[8pt] x &\ge \dfrac{13}{2} &\quad \lor \quad& &x &\le \dfrac{3}{2} \end{aligned} $$ W postaci ułamków dziesiętnych otrzymujemy $x \ge 6{,}5 \lor x \le 1{,}5$. Zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów: $$ x \in \left(-\infty, \, \dfrac{3}{2}\right] \cup \left[\dfrac{13}{2}, \, +\infty\right) $$
Sposób II – Bezpośrednie przekształcenia algebraiczne bez zmiennej pomocniczej:
Nierówność możemy rozwiązać bezpośrednio, traktując całe wyrażenie $|x - 4|$ jako pojedynczy blok algebraiczny: $$ \dfrac{5 - \dfrac{3|x - 4| - 1}{2}}{3} \le \dfrac{\dfrac{2|x - 4| + 5}{3} - 1}{4} $$ Mnożymy obustronnie przez $12$: $$ 4 \cdot \left( 5 - \dfrac{3|x - 4| - 1}{2} \right) \le 3 \cdot \left( \dfrac{2|x - 4| + 5}{3} - 1 \right) $$ $$ 20 - 2(3|x - 4| - 1) \le (2|x - 4| + 5) - 3 $$ $$ 20 - 6|x - 4| + 2 \le 2|x - 4| + 2 $$ $$ 22 - 6|x - 4| \le 2|x - 4| + 2 $$ Grupujemy wyrażenia z wartością bezwzględną po prawej stronie, a liczby po lewej: $$ \begin{aligned} 22 - 2 &\le 2|x - 4| + 6|x - 4| \\[8pt] 20 &\le 8|x - 4| \\[8pt] |x - 4| &\ge \dfrac{20}{8} \\[8pt] |x - 4| &\ge \dfrac{5}{2} \end{aligned} $$ Z definicji odległości na osi liczbowej nierówność $|x - 4| \ge 2{,}5$ oznacza zbiór wszystkich punktów $x$, których odległość od liczby $4$ jest większa bądź równa $2{,}5$: $$ x \le 4 - 2{,}5 = 1{,}5 \quad \lor \quad x \ge 4 + 2{,}5 = 6{,}5 $$ Co daje identyczny zbiór rozwiązań: $$ x \in \left(-\infty, \, \dfrac{3}{2}\right] \cup \left[\dfrac{13}{2}, \, +\infty\right) $$

Odpowiedź:
$x \in \left(-\infty, \, \dfrac{3}{2}\right] \cup \left[\dfrac{13}{2}, \, +\infty\right)$
(równoważnie: $x \in (-\infty; \, 1{,}5] \cup [6{,}5; \, +\infty)$)