Odległość między liczbami na osi liczbowej kartkówka

10.2 Odległość między liczbami na osi liczbowej

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (10 pkt)

Dane są liczby $x$ i $y$. Wyznacz na osi liczbowej liczbę $z$ równo odległą od liczb $x$ i $y$. Jaka jest odległość $d$ liczby $z$ od liczb $x$ i $y$?

a) $x = 1$ i $y = 9$

b) $x = 3 - 2\sqrt{3}$ i $y = -1 + 6\sqrt{3}$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i interpretacja geometryczna: Liczba $z$ leżąca na osi liczbowej w równej odległości od dwóch liczb $x$ i $y$ jest środkiem odcinka łączącego punkty o współrzędnych $x$ oraz $y$.
Wyznaczanie współrzędnej środka odcinka: Liczbę $z$ obliczamy jako średnią arytmetyczną liczb $x$ i $y$, czyli ze wzoru $z = \dfrac{x + y}{2}$.
Obliczanie odległości między liczbami: Odległość $d$ punktu $z$ od każdego z punktów $x$ i $y$ to połowa długości całego odcinka, co algebraicznie wyraża się jako $d = |z - x| = |y - z| = \dfrac{|y - x|}{2}$.
Redukcja wyrazów podobnych z pierwiastkami: W działaniach na liczbach niewymiernych dodajemy lub odejmujemy osobno część wymierną (liczby całkowite) oraz osobno współczynniki stojące przy pierwiastku $\sqrt{3}$.
Czego unikać (częsta pułapka): Przy odejmowaniu wyrażeń dwumianowych w nawiasach (np. podczas obliczania odległości $z - x$) pamiętaj o bezwzględnej zmianie znaków każdego składnika: $-(3 - 2\sqrt{3}) = -3 + 2\sqrt{3}$. Ponadto odległość $d$ jest wielkością geometryczną i musi być zawsze liczbą dodatnią ($4\sqrt{3} - 2 > 0$, gdyż $4\sqrt{3} = \sqrt{48} > \sqrt{4} = 2$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy liczbę $z$ oraz odległość $d$ dla liczb $x = 1$ oraz $y = 9$:
Liczba $z$ jest środkiem odcinka o końcach $x$ i $y$, więc obliczamy jej wartość jako średnią arytmetyczną: $$\begin{aligned} z &= \dfrac{x + y}{2} \\[8pt] z &= \dfrac{1 + 9}{2} \\[8pt] z &= \dfrac{10}{2} = 5 \end{aligned}$$ Następnie obliczamy odległość $d$ liczby $z$ od liczby $x$ (lub liczby $y$): $$\begin{aligned} d &= |z - x| \\[8pt] d &= |5 - 1| = 4 \end{aligned}$$ Dla sprawdzenia liczymy odległość od liczby $y$: $$d = |y - z| = |9 - 5| = 4$$ Liczba równo odległa to $z = 5$, a szukana odległość wynosi $d = 4$.
Podpunkt b) Wyznaczamy liczbę $z$ oraz odległość $d$ dla liczb $x = 3 - 2\sqrt{3}$ oraz $y = -1 + 6\sqrt{3}$:
Współrzędną liczby $z$ wyznaczamy jako średnią arytmetyczną: $$\begin{aligned} z &= \dfrac{x + y}{2} \\[8pt] z &= \dfrac{(3 - 2\sqrt{3}) + (-1 + 6\sqrt{3})}{2} \\[8pt] z &= \dfrac{(3 - 1) + (-2\sqrt{3} + 6\sqrt{3})}{2} \\[8pt] z &= \dfrac{2 + 4\sqrt{3}}{2} \\[8pt] z &= \dfrac{2(1 + 2\sqrt{3})}{2} = 1 + 2\sqrt{3} \end{aligned}$$ Obliczamy odległość $d$ pomiędzy liczbą $z$ a liczbą $x$: $$\begin{aligned} d &= |z - x| \\[8pt] d &= |(1 + 2\sqrt{3}) - (3 - 2\sqrt{3})| \\[8pt] d &= |1 + 2\sqrt{3} - 3 + 2\sqrt{3}| \\[8pt] d &= |-2 + 4\sqrt{3}| = |4\sqrt{3} - 2| \end{aligned}$$ Upewniamy się co do znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną: $$4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} > \sqrt{4} = 2 \implies 4\sqrt{3} - 2 > 0$$ Zatem opuszczamy moduł bez zmiany znaków: $$d = 4\sqrt{3} - 2$$ Dla potwierdzenia sprawdzamy odległość od liczby $y$: $$\begin{aligned} d &= |y - z| = |(-1 + 6\sqrt{3}) - (1 + 2\sqrt{3})| \\[8pt] &= |-1 + 6\sqrt{3} - 1 - 2\sqrt{3}| = |-2 + 4\sqrt{3}| = 4\sqrt{3} - 2 \end{aligned}$$ Liczba równo odległa wynosi $z = 1 + 2\sqrt{3}$, a odległość wynosi $d = 4\sqrt{3} - 2$.

Odpowiedź:
a) $z = 5$, $d = 4$

b) $z = 1 + 2\sqrt{3}$, $d = 4\sqrt{3} - 2$

Zadanie 2 (10 pkt)

Wyznacz liczby, które znajdują się na osi liczbowej w odległości $d$ od liczby $a$, jeśli:

a) $a = -4, \; d = 5$

b) $a = 3 - \sqrt{7}, \; d = 2 + 2\sqrt{7}$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i interpretacja geometryczna: Odległość między dwiema liczbami $x$ oraz $a$ na osi liczbowej definiujemy jako wartość bezwzględną ich różnicy: $|x - a|$. Warunek, że liczba $x$ leży w odległości $d$ od liczby $a$, prowadzi do równania $|x - a| = d$.
Dwa kierunki na osi liczbowej (Sposób I): Na osi liczbowej istnieją dokładnie dwa punkty oddalone o odległość $d$ od punktu $a$:
- punkt położony w lewo (odejmujemy odległość): $x_1 = a - d$,
- punkt położony w prawo (dodajemy odległość): $x_2 = a + d$.
Równanie z wartością bezwzględną (Sposób II): Z własności modułu, dla $d > 0$, równanie $|x - a| = d$ jest równoważne alternatywie dwóch prostych równań liniowych: $x - a = -d$ lub $x - a = d$.
Uważne odejmowanie wyrażeń z pierwiastkiem: W podpunkcie b) odległość $d$ jest sumą algebraiczną $2 + 2\sqrt{7}$. Przy wyznaczaniu punktu lewego $a - d$ bezwzględnie zapisz wyrażenie $d$ w nawiasie: $(3 - \sqrt{7}) - (2 + 2\sqrt{7})$, aby poprawnie zmienić znaki obu wyrazów.
Czego unikać (częsta pułapka): Nie pomijaj nawiasu przy odejmowaniu odległości w podpunkcie b). Zapis $3 - \sqrt{7} - 2 + 2\sqrt{7}$ jest błędny, ponieważ minus przed nawiasem musi zmienić znak także przy drugim składniku sumy: $-(2 + 2\sqrt{7}) = -2 - 2\sqrt{7}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy liczby w odległości $d = 5$ od liczby $a = -4$:
Zadanie można rozwiązać dwoma równoważnymi sposobami:

Sposób I – Interpretacja geometryczna na osi liczbowej:
Szukane liczby otrzymujemy przesuwając się od punktu $a = -4$ o 5 jednostek w lewo oraz o 5 jednostek w prawo: $$ x_1 = a - d = -4 - 5 = -9 $$ $$ x_2 = a + d = -4 + 5 = 1 $$ Sposób II – Równanie z wartością bezwzględną:
Zapisujemy warunek odległości w postaci równania z modułem: $$ |x - a| = d \iff |x - (-4)| = 5 \iff |x + 4| = 5 $$ Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, rozbijamy równanie na dwa przypadki: $$ \begin{aligned} x + 4 = -5 \quad &\text{lub} \quad x + 4 = 5 \\[8pt] x = -5 - 4 \quad &\text{lub} \quad x = 5 - 4 \\[8pt] x = -9 \quad &\text{lub} \quad x = 1 \end{aligned} $$

Szukane liczby to $-9$ oraz $1$.
Podpunkt b) Wyznaczamy liczby w odległości $d = 2 + 2\sqrt{7}$ od liczby $a = 3 - \sqrt{7}$:
Stosujemy oba podejścia dydaktyczne:

Sposób I – Wyznaczenie punktu na lewo i na prawo od $a$:
Wyznaczamy liczbę położoną po lewej stronie (odejmujemy odległość $d$): $$ \begin{aligned} x_1 &= a - d \\[8pt] &= (3 - \sqrt{7}) - (2 + 2\sqrt{7}) \\[8pt] &= 3 - \sqrt{7} - 2 - 2\sqrt{7} \\[8pt] &= (3 - 2) + (-\sqrt{7} - 2\sqrt{7}) \\[8pt] &= 1 - 3\sqrt{7} \end{aligned} $$ Wyznaczamy liczbę położoną po prawej stronie (dodajemy odległość $d$): $$ \begin{aligned} x_2 &= a + d \\[8pt] &= (3 - \sqrt{7}) + (2 + 2\sqrt{7}) \\[8pt] &= 3 - \sqrt{7} + 2 + 2\sqrt{7} \\[8pt] &= (3 + 2) + (-\sqrt{7} + 2\sqrt{7}) \\[8pt] &= 5 + \sqrt{7} \end{aligned} $$ Sposób II – Rozwiązanie równania z wartością bezwzględną:
Zapisujemy równanie odległości: $$ |x - (3 - \sqrt{7})| = 2 + 2\sqrt{7} $$ Równanie rozbija się na dwa przypadki: $$ x - (3 - \sqrt{7}) = -(2 + 2\sqrt{7}) \quad \text{lub} \quad x - (3 - \sqrt{7}) = 2 + 2\sqrt{7} $$ Dla pierwszego przypadku: $$ x = 3 - \sqrt{7} - 2 - 2\sqrt{7} = 1 - 3\sqrt{7} $$ Dla drugiego przypadku: $$ x = 3 - \sqrt{7} + 2 + 2\sqrt{7} = 5 + \sqrt{7} $$

Szukane liczby to $1 - 3\sqrt{7}$ oraz $5 + \sqrt{7}$.

Odpowiedź:
a) $-9$ oraz $1$

b) $1 - 3\sqrt{7}$ oraz $5 + \sqrt{7}$

Zadanie 3 (10 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej i zapisz za pomocą przedziału zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, których:

a) odległość na osi liczbowej od liczby $-2$ jest mniejsza od $3$,

b) odległość na osi liczbowej od liczby $-5$ jest mniejsza od $2$ lub równa $2$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i interpretacja geometryczna: Odległość między dwoma punktami $x$ oraz $a$ na osi liczbowej opisuje wyrażenie z wartością bezwzględną $|x - a|$. Punkt $a$ pełni rolę środka przedziału.
Główna metoda wyznaczania przedziału: Zlokalizuj punkt środkowy na osi liczbowej, a następnie odmierz podaną odległość w lewo (odejmując ją) oraz w prawo (dodając ją), wyznaczając w ten sposób oba krańce szukanego zbioru.
Kolejność operacji i rodzaj punktów brzegowych: Ustal, czy nierówność jest ostra ($<$), czy nieostra ($\le$). W przypadku relacji ostrej końce przedziału oznaczamy kółkami otwartymi (nie należą do rozwiązania), a w relacji nieostrej – kółkami zamalowanymi.
Zapis przedziału liczbowego: Odczytaj zbiór liczb od lewego do prawego krańca. Dla kółek otwartych stosujemy nawiasy okrągłe $(\dots)$, a dla zamalowanych nawiasy domknięte $\langle \dots \rangle$.
Czego unikać (częsta pułapka): Pamiętaj, że odejmowanie liczby ujemnej daje dodawanie: odległość od liczby $-2$ to $|x - (-2)| = |x + 2|$. Uważaj, aby nie pomylić typu nawiasu – zwrot „mniejsza od” daje przedział otwarty, a „mniejsza lub równa” domknięty.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Odległość na osi liczbowej od liczby $-2$ jest mniejsza od $3$:
Odległość liczby $x$ od punktu $-2$ zapisujemy za pomocą wartości bezwzględnej: $$|x - (-2)| = |x + 2|$$ Warunek, że odległość ta jest mniejsza od $3$, prowadzi do nierówności: $$|x + 2| < 3$$ Rozwiązujemy tę nierówność geometrycznie – punktem centralnym jest $-2$. Odmierzamy od niego odległość równą $3$ jednostki w obu kierunkach: $$\begin{aligned} x_{\text{lewy}} &= -2 - 3 = -5 \\[8pt] x_{\text{prawy}} &= -2 + 3 = 1 \end{aligned}$$ Nierówność jest ostra ($<$), dlatego liczby $-5$ oraz $1$ nie należą do zbioru rozwiązań. Na osi liczbowej oznaczamy je kółkami otwartymi i łączymy odcinkiem:

Zapis zbioru za pomocą przedziału: $$x \in (-5, 1)$$
Podpunkt b) Odległość na osi liczbowej od liczby $-5$ jest mniejsza od $2$ lub równa $2$:
Odległość liczby $x$ od punktu $-5$ wyraża się wzorem: $$|x - (-5)| = |x + 5|$$ Zgodnie z poleceniem odległość ma być mniejsza lub równa $2$, co zapisujemy jako: $$|x + 5| \le 2$$ Punktem centralnym jest $-5$. Odmierzamy od niego w lewo i w prawo odległość równą $2$ jednostki: $$\begin{aligned} x_{\text{lewy}} &= -5 - 2 = -7 \\[8pt] x_{\text{prawy}} &= -5 + 2 = -3 \end{aligned}$$ Znak nierówności $\le$ wskazuje, że punkty krańcowe $-7$ oraz $-3$ należą do zbioru rozwiązań, więc oznaczamy je kółkami zamalowanymi:

Zapis zbioru za pomocą przedziału: $$x \in \langle -7, -3 \rangle$$

Odpowiedź:
a) $x \in (-5, 1)$

b) $x \in \langle -7, -3 \rangle$

Zadanie 4 (6 pkt)

Zapisz poniższe zdanie, używając symbolu wartości bezwzględnej.

a) Odległość liczby $y$ od liczby $5$ jest równa $3$.

b) Odległość liczby $-4$ od liczby $p$ jest nie większa od $6$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i interpretacja pojęciowa: Przypomnij sobie geometryczną interpretację wartości bezwzględnej. Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb $|a - b|$ oznacza odległość między liczbą $a$ a liczbą $b$ na osi liczbowej. Ze względu na własność $|a - b| = |b - a|$ kolejność odejmowania liczb wewnątrz wartości bezwzględnej nie ma znaczenia.
Zapis relacji równości: W podpunkcie a) występuje sformułowanie „jest równa”, co oznacza, że wartość bezwzględną różnicy przyrównujesz do podanej wartości za pomocą znaku równości ($=$).
Zapis relacji nierówności: W podpunkcie b) występuje zwrot „jest nie większa od”. Oznacza to, że odległość ta może być mniejsza lub równa danej liczbie, co zapisujemy symbolem $\le$.
Redukcja podwójnego znaku minus: Przy zapisywaniu odległości od liczby ujemnej powstaje wyrażenie z odejmowaniem wartości ujemnej, np. $p - (-4)$, co po redukcji znaków daje postać sumy $p + 4$.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na zamianę zwrotów nierówności – zwrot „nie większa niż” to nierówność słaba ($\le$), a nie ostra ($<$). Pamiętaj również, że odległość to zawsze różnica, a znak plus wewnątrz modułu $|p + 4|$ wynika bezpośrednio z odejmowania liczby ujemnej: $|p - (-4)|$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Geometryczna definicja odległości na osi liczbowej:
Dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych $a$ oraz $b$ odległość między nimi na osi liczbowej wyraża się wzorem: $$d(a, b) = |a - b|$$ Ponieważ odległość punktu $a$ od punktu $b$ jest taka sama jak odległość punktu $b$ od punktu $a$, zachodzi własność symetrii: $$|a - b| = |b - a|$$
Podpunkt a) Zapisujemy zdanie: „Odległość liczby $y$ od liczby $5$ jest równa $3$”:
Odległość liczby $y$ od liczby $5$ to wartość bezwzględna ich różnicy: $$|y - 5| \quad \text{lub} \quad |5 - y|$$ Zgodnie z treścią zadania odległość ta wynosi $3$, co zapisujemy równaniem: $$|y - 5| = 3$$ Równoważnym, w pełni poprawnym zapisem jest również $|5 - y| = 3$.
Podpunkt b) Zapisujemy zdanie: „Odległość liczby $-4$ od liczby $p$ jest nie większa od $6$”:
Odległość między liczbą $-4$ a zmienną $p$ wyrażamy jako wartość bezwzględną różnicy: $$|-4 - p| \quad \text{lub} \quad |p - (-4)|$$ Upraszczamy wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej: $$|p - (-4)| = |p + 4|$$ Określenie „nie większa od $6$” oznacza, że odległość jest mniejsza bądź równa $6$ ($\le 6$). Układamy nierówność: $$|p + 4| \le 6$$ Równoważną poprawną formą jest również $|-4 - p| \le 6$.

Odpowiedź:
a) $|y - 5| = 3$ (lub $|5 - y| = 3$)

b) $|p + 4| \le 6$ (lub $|-4 - p| \le 6$)

Zadanie 5 (14 pkt)

Wyznacz odległość między danymi liczbami $a$ i $b$ w zależności od $x$, jeśli:[cite: 2]

a) $a = 7 - 2x$, $b = 3x - 8$, i $x \in (3, +\infty)$[cite: 2]

b) $a = (x + 2)^2$, $b = 4x - 5$, i $x \in \mathbb{R}$.[cite: 2]

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza: Odległość między dwoma punktami (liczbami) $a$ oraz $b$ na osi liczbowej definiujemy jako wartość bezwzględną ich różnicy: $d = |a - b|$ (lub tożsamo $d = |b - a|$). Rozpocznij od ułożenia wyrażenia z wartością bezwzględną dla każdego z podpunktów.
Kluczowa metoda i wzór: Aby opuścić symbol modułu, zastosuj definicję wartości bezwzględnej: $|w| = w$, gdy wyrażenie jest nieujemne ($w \ge 0$), oraz $|w| = -w$, gdy wyrażenie jest ujemne ($w < 0$). Kluczem jest określenie znaku wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną w zadanym przedziale.
Kolejność operacji: Zredukuj wyrazy podobne wewnątrz modułu, pamiętając o nawiasie przy odejmowaniu oraz o poprawnym zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. W podpunkcie a) skorzystaj z nierówności $x > 3$ do zbadania znaku dwumianu liniowego. W podpunkcie b) oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego $\Delta$, aby wykazać, że trójmian nie ma pierwiastków i zachowuje stały, dodatni znak.
Weryfikacja wyniku: Poprawność wzoru możesz łatwo sprawdzić, wybierając konkretną liczbę z dziedziny (np. $x = 4$ w podpunkcie a oraz $x = 0$ w podpunkcie b). Oblicz konkretne wartości liczb $a$ i $b$, wyznacz odległość bezpośrednio na liczbach i porównaj ją z wartością uzyskaną z wyprowadzonego wzoru.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na gubienie nawiasu przy odejmowaniu wyrażenia wielomianowego. Pamiętaj, że znak minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów wewnątrz: $-(3x - 8) = -3x + 8$ oraz $-(4x - 5) = -4x + 5$. Nie opuszczaj również kresek wartości bezwzględnej bez uprzedniego formalnego uzasadnienia znaku wyrażenia.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie odległości dla liczb $a = 7 - 2x$ oraz $b = 3x - 8$ przy $x \in (3, +\infty)$:
Zgodnie z definicją geometryczną, odległość $d$ między liczbami $a$ i $b$ na osi liczbowej to wartość bezwzględna ich różnicy: $$ d = |a - b| $$ Wstawiamy wyrażenia $a = 7 - 2x$ oraz $b = 3x - 8$, pamiętając o ujęciu odjemnika w nawias: $$ \begin{aligned} d &= |(7 - 2x) - (3x - 8)| \\[8pt] &= |7 - 2x - 3x + 8| \\[8pt] &= |15 - 5x| \end{aligned} $$ Badamy znak wyrażenia pod modułem dla argumentów $x \in (3, +\infty)$, czyli dla $x > 3$: $$ x > 3 \implies -5x < -15 \implies 15 - 5x < 0 $$ Ponieważ dla każdego $x > 3$ wyrażenie $15 - 5x$ przyjmuje wartości ujemne, opuszczamy wartość bezwzględną, zmieniając znaki na przeciwne ($|w| = -w$ dla $w < 0$): $$ \begin{aligned} d &= -(15 - 5x) \\[8pt] &= -15 + 5x \\[8pt] &= 5x - 15 \end{aligned} $$ (Uwaga: licząc odległość jako $d = |b - a| = |(3x - 8) - (7 - 2x)| = |5x - 15|$, dla $x > 3$ mamy $5x - 15 > 0$, skąd bezpośrednio otrzymujemy $d = 5x - 15$).
Podpunkt b) Wyznaczenie odległości dla liczb $a = (x + 2)^2$ oraz $b = 4x - 5$ przy $x \in \mathbb{R}$:
Zapisujemy wzór na odległość między liczbami $a$ i $b$: $$ d = |a - b| $$ Podstawiamy dane z treści zadania: $$ d = |(x + 2)^2 - (4x - 5)| $$ Rozwijamy kwadrat sumy za pomocą wzoru skróconego mnożenia $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ i redukujemy wyrazy podobne: $$ \begin{aligned} d &= |x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 4x + 5| \\[8pt] &= |x^2 + 4x + 4 - 4x + 5| \\[8pt] &= |x^2 + 9| \end{aligned} $$ Aby opuścić wartość bezwzględną, badamy znak trójmianu kwadratowego $x^2 + 9$ dla $x \in \mathbb{R}$. Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$ dla współczynników $A = 1$, $B = 0$, $C = 9$: $$ \Delta = B^2 - 4AC = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0 - 36 = -36 $$ Wyróżnik $\Delta < 0$, co oznacza, że trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych. Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni ($A = 1 > 0$), ramiona paraboli są skierowane w górę, a cały wykres leży całkowicie nad osią $OX$. Zatem dla każdej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ zachodzi: $$ x^2 + 9 > 0 $$ Skoro wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest zawsze ściśle dodatnie, opuszczamy moduł bez zmiany znaków: $$ d = x^2 + 9 $$

Odpowiedź:
a) $5x - 15$

b) $x^2 + 9$

Grupa B

Zadanie 1 (10 pkt)

Dane są liczby $p$ i $q$. Wyznacz na osi liczbowej liczbę $r$ równo odległą od liczb $p$ i $q$. Jaka jest odległość $d$ liczby $r$ od liczb $p$ i $q$? a) $p=-7$ i $q=-1$ b) $p=-1-2\sqrt{7}$ i $q=5+8\sqrt{7}$