Maj 2025 – matematyka – poziom podstawowy
Matura
Grupa A
Zadanie 1 (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $ (\sqrt{32} - \sqrt{2})^2 $ jest równa
A. 16
B. 18
C. 30
D. 34
Zadanie 2 (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}}\) jest równa
A. 30
B. 31
C. $5^{12}$
D. $5^{27}$
Zadanie 3 (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\log_3 108 - 2\log_3 2$ jest równa
A. 3
B. 9
C. $\log_3 104$
D. $2\log_3 54$
Zadanie 4 (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2$ jest równa wartości wyrażenia
A. $5x^2 - 5$
B. $5x^2 + 13$
C. $5x^2 + 24x - 5$
D. $5x^2 + 24x - 13$
Zadanie 5 (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez 4.
Zadanie 6 (1 pkt)
Dana jest nierówność
$3 - 2(1 - 2x) \ge 2x - 17$
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zadanie 7 (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie $2x(x + 3)(x^2 + 25) = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A. dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $0$.
B. dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $2$.
C. trzy rozwiązania: $(-5)$, $(-3)$ oraz $0$.
D. cztery rozwiązania: $(-5)$, $(-3)$, $0$ oraz $5$.
Zadanie 8 (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-2)$ oraz różnej od $0$ wartość wyrażenia $\frac{x^2 + x}{x^2 + 4x + 4} \cdot \frac{x+2}{x}$ jest równa wartości wyrażenia
A. $\frac{x+2}{4x+4}$
B. $\frac{x+1}{4x+5}$
C. $\frac{x+1}{x+2}$
D. $\frac{2x}{x+2}$
Zadanie 9 (2 pkt)
Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych – zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.
Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
$3(2x^2 + 1) < 11x$
Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 (4 pkt)
Funkcja $f$ jest określona następująco:
$f(x) = \begin{cases} x+5 & \text{dla } x \in [-4, -2] \\ 3 & \text{dla } x \in (-2, 2) \\ -3x+9 & \text{dla } x \in (2, 4) \end{cases}$
Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\dots$
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\dots$
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $\dots$
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $\dots$
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\dots$
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\dots$
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $\dots$
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $\dots$
Zadanie 12
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3, 6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0, 3)$.
Zadanie 12.1 (2 pkt)
Wyznacz wzór funkcji 𝒇 w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12.2 (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu
A. $x = 3$
B. $x = -3$
C. $y = 6$
D. $y = -6$
Zadanie 12.3 (1 pkt)
Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x) = f(x) - 3$.
Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g$.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Suma $x_1 + x_2$ jest równa .......... .
Zadanie 13 (1 pkt)
Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = (3 - m)x - 4$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m$ równego
A. $(-3)$
B. $0$
C. $3$
D. $4$
Zadanie 14
Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:
$\begin{cases}
a_1 = 2 \\
a_{n+1} = 2a_n + 1
\end{cases} \text{ dla każdej liczby naturalnej } n \ge 1$
Zadanie 14.1 (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzeci wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy
A. 4
B. 5
C. 7
D. 11
Zadanie 14.2 (1 pkt)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
\text{Ciąg } (a_n) \text{ jest arytmetyczny.} & P & F \\
\hline
\text{Ciąg } (a_n) \text{ jest geometryczny.} & P & F \\
\hline
\end{array}
Zadanie 15 (3 pkt)
Wyznacz wartość $m$, dla której trzywyrazowy ciąg
$ (2m + 11, m^2 + 3, 5 - m) $
jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.
Zadanie 16 (1 pkt)
Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, w którym
$a_1 = 27$ oraz $a_2 = 9$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy
A. $\frac{1}{3}$
B. 1
C. 3
D. 729
Zadanie 17 (1 pkt)
Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\sqrt{3} \tan \alpha = 2 \sin \alpha$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta $\alpha$ jest równy
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Zadanie 18
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną,
przyprostokątna $AB$ ma długość 6, a środkowa $CD$ ma długość 5.
Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$, natomiast kąt $ABC$ – przez $\beta$ (zobacz rysunek).
Zadanie 18.1 (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta $\alpha$ jest równy
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{4}{3}$
Zadanie 18.2 (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Sinus kąta $\beta$ jest równy
A. $\frac{2}{\sqrt{13}}$
B. $\frac{3}{\sqrt{13}}$
C. $\frac{5}{2\sqrt{13}}$
D. $\frac{4}{5}$
Zadanie 19 (1 pkt)
Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$.
Miara kąta $BCA$ jest równa $50^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego $ABO$ jest równa
A. $20^\circ$
B. $35^\circ$
C. $40^\circ$
D. $50^\circ$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego $ABO$ jest równa
A. $20^\circ$
B. $35^\circ$
C. $40^\circ$
D. $50^\circ$
Zadanie 20 (1 pkt)
W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC| = |BC| = 4$ i $|AB| = 3$. Na boku $BC$, między punktami $B$ i $C$, wybrano taki punkt $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odcinek $BD$ ma długość
A. 2
B. 2,25
C. 2,5
D. 3
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odcinek $BD$ ma długość
A. 2
B. 2,25
C. 2,5
D. 3
Zadanie 21 (1 pkt)
Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 11$, $|BC| = 12$ oraz $|\sphericalangle ABC| = 60^\circ$ (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
\text{Trójkąt } ABC \text{ jest równoramienny.} & P & F \\
\hline
\text{Pole trójkąta } ABC \text{ jest równe } 33\sqrt{3}. & P & F \\
\hline
\end{array}
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
\text{Trójkąt } ABC \text{ jest równoramienny.} & P & F \\
\hline
\text{Pole trójkąta } ABC \text{ jest równe } 33\sqrt{3}. & P & F \\
\hline
\end{array}
Zadanie 22 (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest kwadrat $ABCD$, w którym $A = (4,-1)$. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie $S = (1,3)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość
A. 5
B. 7
C. 10
D. 14
Zadanie 23 (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami
$k: y = (m-2)x+5$
$l: y = -4x + (m+3)$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa
A. $(-4)$
B. $(-2)$
C. $2$
D. $5$
Zadanie 24 (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P = (0,0)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S = (2,4)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem
A. $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 2\sqrt{5}$
B. $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$
C. $(x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 2\sqrt{5}$
D. $(x + 2)^2 + (y + 4)^2$ = 20
Zadanie 25 (3 pkt)
Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $120^\circ$.
Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
Zadanie 26 (1 pkt)
Objętość sześcianu jest równa 729.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
A. $9\sqrt{3}$
B. $9\sqrt{2}$
C. $3\sqrt{3}$
D. $3\sqrt{2}$
Zadanie 27 (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest
A. 45
B. 50
C. 54
D. 81
Zadanie 28 (1 pkt)
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie $A$ polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa $11$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe
A. $\frac{1}{36}$
B. $\frac{6}{36}$
C. $\frac{11}{36}$
D. $\frac{2}{36}$
Zadanie 29 (1 pkt)
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: $1, 2, 3, 4, 5, x, y$, jest równa $3$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma $x + y$ jest równa
A. $4$
B. $5$
C. $6$
D. $7$
Zadanie 30 (2 pkt)
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ............
2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ............
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ............
2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ............
Zadanie 31 (4 pkt)
Rozważamy wszystkie prostopadłościanu $ABCDEFGH$, w których krawędź $BC$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa $15$ (zobacz rysunek).
Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.