Funkcja liniowa sprawdzian

5 Funkcja liniowa

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (1 pkt)

Punkt $P(3, -1)$ należy do wykresu funkcji:

A. $f(x) = 4x - 1$

B. $f(x) = -x + 2$

C. $f(x) = 2x + 3$

D. $f(x) = -2x - 5$

Wskazówki:

Punkt o współrzędnych $P(x_0, y_0)$ należy do wykresu funkcji $y = f(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wartość funkcji obliczona dla argumentu $x = x_0$ jest równa drugiej współrzędnej punktu, czyli $f(x_0) = y_0$.
Uwaga na typowy błąd (zamiana kolejności współrzędnych): Pierwsza współrzędna punktu to zawsze argument $x$, a druga to wartość $y$. Błędem jest podstawianie $x = -1$ i sprawdzanie, czy wynik to $3$. Dodatkowo w opcji B należy uważać na znak minusa przed zmienną: dla $x = 3$ wyrażenie $-x + 2$ daje $-3 + 2 = -1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie warunku przynależności punktu do wykresu:
Dany jest punkt $P(x, y) = P(3, -1)$. Oznacza to, że pierwsza współrzędna wynosi $x = 3$, a druga współrzędna wynosi $y = -1$. Aby punkt należał do wykresu funkcji, po podstawieniu argumentu $x = 3$ do wzoru funkcji musimy otrzymać wartość równą $-1$, czyli sprawdzamy równość: $$ f(3) = -1 $$
Weryfikacja wartości funkcji dla każdego z podanych wariantów:
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $x = 3$ w kolejnych odpowiedziach:

Wariant A: $f(x) = 4x - 1$ $$ f(3) = 4 \cdot 3 - 1 = 12 - 1 = 11 \neq -1 $$ Równość nie jest spełniona – punkt $P$ nie leży na prostej z wariantu A.

Wariant B: $f(x) = -x + 2$ $$ f(3) = -3 + 2 = -1 $$ Otrzymana wartość jest dokładnie równa drugiej współrzędnej punktu ($y = -1$). Równość jest spełniona, więc punkt $P(3, -1)$ należy do wykresu tej funkcji.

Wariant C: $f(x) = 2x + 3$ $$ f(3) = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9 \neq -1 $$ Punkt $P$ nie leży na wykresie funkcji z wariantu C.

Wariant D: $f(x) = -2x - 5$ $$ f(3) = -2 \cdot 3 - 5 = -6 - 5 = -11 \neq -1 $$ Punkt $P$ nie leży na wykresie funkcji z wariantu D.
Interpretacja graficzna rozwiązania:
Wykres funkcji $f(x) = -x + 2$ jest linią prostą przecinającą oś $OY$ w punkcie $(0, 2)$ oraz oś $OX$ w punkcie $(2, 0)$. Punkt $P(3, -1)$ leży dokładnie na tej prostej:

Odpowiedź:
Poprawną odpowiedzią jest B, ponieważ $f(3) = -(3) + 2 = -1$.

Zadanie 2 (2 pkt)

Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcje $f(x) = 3x - 9$ i $g(x) = -0,25x + 2$ przyjmują jednocześnie wartości dodatnie.

Wskazówki:

Sformułowanie „wartości dodatnie” oznacza liczby ściśle większe od zera ($y > 0$). Warunek „jednocześnie” oznacza, że szukamy części wspólnej (przekroju) zbiorów argumentów spełniających obie nierówności: $f(x) > 0$ oraz $g(x) > 0$.
Uwaga na typowe błędy:
1. Błąd ostrej nierówności: Nie myl pojęcia „wartości dodatnie” ($y > 0$) z „wartościami nieujemnymi” ($y \ge 0$). Liczba $0$ nie jest liczbą dodatnią, dlatego nierówności muszą być ostre, a końce przedziału otwarte: $(3, 8)$, a nie $\langle 3, 8 \rangle$.
2. Brak zmiany zwrotu nierówności: Przy rozwiązywaniu nierówności $-0,25x > -2$ dzielimy obie strony przez liczbę ujemną $-0,25$. Pamiętaj, że mnożenie lub dzielenie nierówności przez liczbę ujemną bezwzględnie wymaga zmiany zwrotu nierówności na przeciwny (z $>$ na $<$). Niezmienienie zwrotu dałoby błędny wynik $x > 8$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Algebraiczny (układ nierówności liniowych):
Zapisujemy warunek jednoczesnego przyjmowania wartości dodatnich w postaci układu dwóch nierówności ostrych: $$\begin{cases} f(x) > 0 \\[6pt] g(x) > 0 \end{cases}$$ Podstawiamy wzory danych funkcji: $$\begin{cases} 3x - 9 > 0 \\[6pt] -0,25x + 2 > 0 \end{cases}$$ Rozwiązujemy pierwszą nierówność, przenosząc wyraz wolny na prawą stronę i dzieląc przez współczynnik przy $x$: $$\begin{aligned} 3x - 9 &> 0 \\[8pt] 3x &> 9 \quad \Big/ : 3 \\[8pt] x &> 3 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy drugą nierówność, pamiętając o zamianie zwrotu nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną: $$\begin{aligned} -0,25x + 2 &> 0 \\[8pt] -0,25x &> -2 \quad \Big/ : (-0,25) \\[8pt] x &< \dfrac{-2}{-0,25} \\[8pt] x &< 8 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną (koniunkcję) obu uzyskanych warunków: $$\begin{cases} x > 3 \\[6pt] x < 8 \end{cases} \iff 3 < x < 8 \iff x \in (3, 8)$$
Sposób II – Analiza monotoniczności i miejsc zerowych funkcji:
Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f(x) = 3x - 9$: $$\begin{aligned} 3x - 9 &= 0 \\[8pt] 3x &= 9 \\[8pt] x &= 3 \end{aligned}$$ Ponieważ współczynnik kierunkowy $a = 3 > 0$, funkcja $f$ jest rosnąca. Przyjmuje ona wartości dodatnie na prawo od swojego miejsca zerowego, czyli dla: $$x \in (3, +\infty)$$ Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $g(x) = -0,25x + 2$: $$\begin{aligned} -0,25x + 2 &= 0 \\[8pt] -0,25x &= -2 \\[8pt] x &= 8 \end{aligned}$$ Ponieważ współczynnik kierunkowy $a = -0,25 < 0$, funkcja $g$ jest malejąca. Przyjmuje ona wartości dodatnie na lewo od swojego miejsca zerowego, czyli dla: $$x \in (-\infty, 8)$$ Szukane argumenty to część wspólna obu przedziałów: $$x \in (3, +\infty) \cap (-\infty, 8) = (3, 8)$$
Interpretacja graficzna w układzie współrzędnych:
Na poniższym wykresie proste reprezentujące funkcje $f(x)$ oraz $g(x)$ znajdują się jednocześnie powyżej osi $OX$ (w obszarze $y > 0$) dokładnie dla argumentów leżących pomiędzy ich miejscami zerowymi $x = 3$ oraz $x = 8$. Końce przedziału są otwarte, ponieważ dla $x = 3$ funkcja $f$ przyjmuje wartość $0$, a dla $x = 8$ funkcja $g$ przyjmuje wartość $0$ (żadna z nich nie jest wtedy dodatnia).

Odpowiedź:
Funkcje $f$ i $g$ przyjmują jednocześnie wartości dodatnie dla argumentów należących do przedziału $(3, 8)$ (czyli dla $x \in (3, 8)$).

Zadanie 3 (2 pkt)

Ustal, czy punkty: $A(-1, 5)$, $B(0, 3)$ i $C(1, 1)$ leżą na jednej prostej.

Wskazówki:

Warunek współliniowości punktów: Trzy punkty leżą na jednej prostej wtedy, gdy prosta przechodząca przez dwa z nich zawiera także punkt trzeci. Wystarczy wyznaczyć równanie prostej $AB$ w postaci kierunkowej $y = ax + b$, a następnie sprawdzić, czy współrzędne punktu $C$ spełniają to równanie. Alternatywnie można porównać współczynniki kierunkowe prostych wyznaczonych przez pary punktów ($a_{AB} = a_{BC}$).
Uwaga na typowy błąd (ocena „na oko” i znaki przy odejmowaniu): Nigdy nie rozstrzygaj współliniowości punktów wyłącznie na podstawie odręcznego szkicu – punkty mogą leżeć bardzo blisko prostej, wprowadzając w błąd. Ponadto uważaj na znaki w mianowniku wzoru na współczynnik kierunkowy $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$: odejmowanie liczby ujemnej zamienia się w dodawanie, czyli $0 - (-1) = 0 + 1 = 1$, a nie $-1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i naniesienie punktów na płaszczyznę:
Zaznaczamy w kartezjańskim układzie współrzędnych punkty wyjściowe: $A(-1, 5)$, $B(0, 3)$ oraz $C(1, 1)$. Zauważamy, że punkt $B$ leży bezpośrednio na osi $OY$, co oznacza, że jego druga współrzędna odpowiada wyrazowi wolnemu równania kierunkowego prostej.
Sposób I – Wyznaczenie równania prostej $AB$ i sprawdzenie punktu $C$:
Szukamy równania kierunkowego prostej przechodzącej przez punkty $A(-1, 5)$ i $B(0, 3)$: $$y = ax + b$$ Punkt $B(0, 3)$ to punkt przecięcia prostej z osią $OY$, skąd bezpośrednio odczytujemy: $$b = 3$$ Współczynnik kierunkowy $a$ wyznaczamy ze wzoru na nachylenie prostej przez dwa punkty: $$\begin{aligned} a &= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \\[8pt] &= \dfrac{3 - 5}{0 - (-1)} \\[8pt] &= \dfrac{-2}{1} = -2 \end{aligned}$$ Równanie prostej $AB$ ma postać: $$y = -2x + 3$$ Teraz sprawdzamy, czy punkt $C(1, 1)$ leży na tej prostej, podstawiając $x = 1$ do jej równania: $$\begin{aligned} L &= 1 \\[8pt] P &= -2 \cdot 1 + 3 = -2 + 3 = 1 \end{aligned}$$ Ponieważ $L = P$, współrzędne punktu $C$ spełniają równanie prostej $AB$. Oznacza to, że punkt $C$ leży na prostej $AB$.
Sposób II – Porównanie współczynników kierunkowych odcinków:
Punkty $A$, $B$ i $C$ leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy prosta $AB$ oraz prosta $BC$ mają ten sam współczynnik kierunkowy ($a_{AB} = a_{BC}$): $$\begin{aligned} a_{AB} &= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{3 - 5}{0 - (-1)} = \dfrac{-2}{1} = -2 \\[8pt] a_{BC} &= \dfrac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \dfrac{1 - 3}{1 - 0} = \dfrac{-2}{1} = -2 \end{aligned}$$ Współczynniki kierunkowe są identyczne ($a_{AB} = a_{BC} = -2$) i proste mają wspólny punkt $B$, co jednoznacznie dowodzi, że punkty $A$, $B$ i $C$ są współliniowe.
Rysunek wynikowy z poprowadzoną prostą przez wszystkie punkty:
Rysujemy prostą $y = -2x + 3$, która przechodzi dokładnie przez wszystkie trzy punkty $A$, $B$ oraz $C$.

Odpowiedź:
Tak, punkty $A(-1, 5)$, $B(0, 3)$ i $C(1, 1)$ leżą na jednej prostej.

Zadanie 4 (3 pkt)

Dane są punkty: $A(-1, 3)$, $B(1, -1)$, $C(5, 0)$, $D(7, k)$. Wyznacz taką wartość parametru $k$, dla której iloczyn współczynników kierunkowych prostych $AB$ i $CD$ jest równy $-1$.

Wskazówki:

Współczynnik kierunkowy prostej: Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $P(x_1, y_1)$ oraz $Q(x_2, y_2)$ wyraża się wzorem: $$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
Warunek z zadania: Warunek $a_{AB} \cdot a_{CD} = -1$ to klasyczny warunek prostopadłości dwóch prostych na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Czego kategorycznie nie wolno robić i dlaczego:
- Nie wolno zamieniać licznika z mianownikiem (np. pisać $\dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$). Iloraz ten musi wyrażać przyrost wartości ($\Delta y$) przypadający na jednostkowy przyrost argumentu ($\Delta x$), a nie odwrotnie.
- Nie wolno mieszać kolejności odejmowania współrzędnych. Jeśli w liczniku odejmujesz $y_B - y_A$, w mianowniku bezwzględnie musi znaleźć się $x_B - x_A$. Zapisanie $x_A - x_B$ w mianowniku zmieniłoby znak współczynnika kierunkowego na przeciwny.
- Uważaj na pułapkę znaków przy odejmowaniu liczb ujemnych: $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$. Zapisanie $1 - 1 = 0$ doprowadziłoby do dzielenia przez zero, co jest błędem kardynalnym.
- Nie myl warunku prostopadłości ($a_1 \cdot a_2 = -1$) z warunkiem równoległości ($a_1 = a_2$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej $AB$:
W układzie współrzędnych zaznaczamy punkty $A(-1, 3)$, $B(1, -1)$ oraz $C(5, 0)$. Punkt $D(7, k)$ ma ustaloną pierwszą współrzędną $x = 7$, więc leży gdzieś na pionowej prostej pomocniczej $x = 7$.

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej $AB$ ze wzoru na nachylenie prostej przechodzącej przez dwa punkty: $$ \begin{aligned} a_{AB} &= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \\[8pt] &= \dfrac{-1 - 3}{1 - (-1)} \\[8pt] &= \dfrac{-4}{1 + 1} \\[8pt] &= \dfrac{-4}{2} \\[8pt] &= -2 \end{aligned} $$
Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej $CD$ w zależności od parametru $k$:
Podstawiamy współrzędne punktów $C(5, 0)$ oraz $D(7, k)$ do wzoru: $$ \begin{aligned} a_{CD} &= \dfrac{y_D - y_C}{x_D - x_C} \\[8pt] &= \dfrac{k - 0}{7 - 5} \\[8pt] &= \dfrac{k}{2} \end{aligned} $$
Zastosowanie warunku iloczynu współczynników kierunkowych i wyznaczenie parametru $k$:
Zgodnie z treścią zadania iloczyn współczynników kierunkowych prostych $AB$ i $CD$ ma być równy $-1$: $$ a_{AB} \cdot a_{CD} = -1 $$ Wstawiamy wyznaczone wartości: $$ \begin{aligned} -2 \cdot \dfrac{k}{2} &= -1 \\[8pt] -k &= -1 \quad \Big/ \cdot (-1) \\[8pt] k &= 1 \end{aligned} $$ Dla $k = 1$ punkt $D$ ma współrzędne $D(7, 1)$, a współczynnik prostej $CD$ wynosi $a_{CD} = \dfrac{1}{2}$. Proste są wzajemnie prostopadłe:

Odpowiedź:
$k = 1$

Zadanie 5 (3 pkt)

Za usługę wykonaną w domu klienta firma remontowa pobiera opłatę obliczaną następująco: $120\text{ zł}$ za dojazd i po $45\text{ zł}$ za każdą godzinę pracy.

Przyjmijmy oznaczenia: $t$ – czas pracy firmy (w godzinach), $f(t)$ – koszt usługi w złotych. Podaj wzór, który odpowiada opisanemu sposobowi naliczania.

Wskazówki:

Całkowity koszt usługi składa się z sumy opłaty stałej (niezależnej od liczby godzin) oraz opłaty zmiennej (proporcjonalnej do czasu pracy). Zależność ta ma charakter funkcji liniowej o postaci ogólnej $f(t) = at + b$.
Uwaga na typowy błąd (zamiana ról współczynników): Kategorycznie nie wolno zapisać wzoru w postaci $f(t) = 120t + 45$. Liczba $45$ określa stawkę za jedną godzinę, dlatego musi być pomnożona przez czas $t$ (jest współczynnikiem kierunkowym $a$), natomiast $120$ to jednorazowy koszt dojazdu płacony niezależnie od liczby godzin (jest wyrazem wolnym $b$). Nie wolno też dodawać $120 + 45 = 165$ i zapisywać $f(t) = 165t$, bo oznaczałoby to mnożenie opłaty za dojazd przez każdą przepracowaną godzinę.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza składowych kosztu usługi i ułożenie wzoru funkcji:
Rozbijamy całkowity koszt usługi $f(t)$ na dwa niezależne elementy:
- Opłata zmienna (za przepracowany czas): każda godzina pracy kosztuje $45\text{ zł}$. Przy czasie pracy wynoszącym $t$ godzin koszt robocizny wynosi: $$45 \cdot t$$
- Opłata stała (za sam dojazd): wynosi jednorazowo $120\text{ zł}$ i nie zależy od tego, jak długo trwa remont. W modelu liniowym odpowiada to wyrazowi wolnemu: $$120$$
Łączny koszt usługi $f(t)$ jest sumą obu tych wielkości: $$\begin{aligned} f(t) &= \text{koszt pracy} + \text{koszt dojazdu} \\[8pt] f(t) &= 45t + 120 \end{aligned}$$ Zauważmy również warunek dziedziny praktycznej: czas pracy firmy nie może przyjmować wartości ujemnych, zatem $t \ge 0$.
Interpretacja graficzna i wykres funkcji kosztu:
Wykres funkcji $f(t) = 45t + 120$ dla $t \ge 0$ jest półprostą leżącą w I ćwiartce układu współrzędnych, rozpoczynającą się w punkcie przecięcia z osią kosztu: $$(0, 120)$$ Dla kolejnych przykładowych czasów pracy wyznaczamy punkty na wykresie: $$\begin{aligned} t &= 0 \implies f(0) = 45 \cdot 0 + 120 = 120\text{ zł} \\[8pt] t &= 4 \implies f(4) = 45 \cdot 4 + 120 = 180 + 120 = 300\text{ zł} \\[8pt] t &= 8 \implies f(8) = 45 \cdot 8 + 120 = 360 + 120 = 480\text{ zł} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$f(t) = 45t + 120\quad$ (dla $t \ge 0$)