Układy równań sprawdzian

Układy równań

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania: $$\begin{cases} 4x + y = 9 \\ 5x - 3y = 7 \end{cases}$$

Wskazówki:

W metodzie podstawiania wybierz równanie, w którym jedna ze zmiennych ma najprostszy współczynnik (w pierwszym równaniu przy $y$ stoi współczynnik $1$).
Wyznacz zmienną $y$ z pierwszego równania w zależności od $x$, przenosząc składnik $4x$ na drugą stronę ze zmianą znaku.
Wstaw otrzymane wyrażenie w miejsce $y$ do drugiego równania, pamiętając o ujęciu go w nawias ze względu na mnożenie przez $-3$.
Rozwiąż powstałe równanie liniowe z jedną niewiadomą $x$, a następnie obliczoną wartość podstaw z powrotem do wzoru na $y$.
Geometrycznie rozwiązanie układu równań liniowych odpowiada współrzędnym punktu przecięcia dwóch prostych w układzie współrzędnych.

Zapis algebraiczny:

$$\begin{cases} 4x + y = 9 \\ 5x - 3y = 7 \end{cases}$$ $$\begin{cases} y = 9 - 4x \\ 5x - 3(9 - 4x) = 7 \end{cases}$$ $$\begin{aligned} 5x - 27 + 12x &= 7 \\[6pt] 17x - 27 &= 7 \\[6pt] 17x &= 34 \quad / : 17 \\[6pt] x &= 2 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} y &= 9 - 4 \cdot 2 \\[6pt] y &= 9 - 8 \\[6pt] y &= 1 \end{aligned}$$ $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$$

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie zmiennej $y$ z pierwszego równania:
Zapisujemy wyjściowy układ równań: $$\begin{cases} 4x + y = 9 \\ 5x - 3y = 7 \end{cases}$$ W pierwszym równaniu współczynnik przy zmiennej $y$ jest równy $1$. Odejmujemy obustronnie $4x$, aby wyznaczyć $y$: $$y = 9 - 4x$$
Podstawienie wyznaczonego wyrażenia do drugiego równania i obliczenie $x$:
Wstawiamy wyrażenie $9 - 4x$ w miejsce zmiennej $y$ w drugim równaniu: $$5x - 3(9 - 4x) = 7$$ Mnożymy każdy wyraz w nawiasie przez $-3$: $$\begin{aligned} 5x - 27 + 12x &= 7 \\[8pt] 17x - 27 &= 7 \end{aligned}$$ Dodajemy $27$ do obu stron równania: $$\begin{aligned} 17x &= 7 + 27 \\[8pt] 17x &= 34 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez $17$: $$\begin{aligned} x &= \frac{34}{17} \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}$$
Obliczenie wartości zmiennej $y$:
Podstawiamy obliczoną wartość $x = 2$ do wzoru wyznaczonego w pierwszym kroku: $$\begin{aligned} y &= 9 - 4 \cdot 2 \\[8pt] y &= 9 - 8 \\[8pt] y &= 1 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$$
Sprawdzenie rachunkowe i interpretacja geometryczna na płaszczyźnie:
Sprawdzamy poprawność otrzymanego wyniku, podstawiając parę $(x, y) = (2, 1)$ do obu wyjściowych równań: $$\begin{aligned} L_1 &= 4 \cdot 2 + 1 = 8 + 1 = 9 = P_1 \\[8pt] L_2 &= 5 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 10 - 3 = 7 = P_2 \end{aligned}$$ Oba równania są spełnione tożsamościowo.

Układ ten ma przejrzystą interpretację graficzną. Każde z równań opisuje prostą w układzie współrzędnych: - Prosta $k$: $y = -4x + 9$ - Prosta $l$: $y = \frac{5}{3}x - \frac{7}{3}$

Rozwiązanie układu to punkt przecięcia $P = (2, 1)$ obu prostych:

Odpowiedź:
$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$$

Zadanie 2 (2 pkt)

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników: $$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3x - y = -5 \end{cases} $$

Wskazówki:

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim pomnożeniu jednego lub obu równań przez odpowiednio dobrane liczby, aby współczynniki przy jednej z niewiadomych były liczbami przeciwnymi (np. $2$ i $-2$ lub $3$ i $-3$).
Sposób I (eliminacja $y$): Współczynniki przy $y$ to $2$ oraz $-1$. Wystarczy pomnożyć drugie równanie obustronnie przez $2$, a następnie dodać oba równania stronami.
Sposób II (eliminacja $x$): Współczynniki przy $x$ to $1$ oraz $3$. Wystarczy pomnożyć pierwsze równanie obustronnie przez $-3$, a następnie dodać równania stronami.
Po wyznaczeniu wartości jednej niewiadomej podstawiamy ją do dowolnego z wyjściowych równań, aby obliczyć drugą niewiadomą.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyeliminowanie zmiennej $y$ przez pomnożenie drugiego równania:
Wychodzimy z wyjściowego układu równań: $$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3x - y = -5 \end{cases} $$ Współczynnik przy niewiadomej $y$ w pierwszym równaniu wynosi $2$, natomiast w drugim wynosi $-1$. Mnożymy drugie równanie obustronnie przez $2$, aby uzyskać przeciwne współczynniki przy $y$: $$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2 \cdot (3x - y) = 2 \cdot (-5) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 6x - 2y = -10 \end{cases} $$ Dodajemy oba równania stronami: $$ (x + 6x) + (2y - 2y) = 3 + (-10) $$ $$ \begin{aligned} 7x &= -7 \\[8pt] x &= \dfrac{-7}{7} \\[8pt] x &= -1 \end{aligned} $$ Podstawiamy obliczoną wartość $x = -1$ do pierwszego równania: $$ \begin{aligned} -1 + 2y &= 3 \\[8pt] 2y &= 3 + 1 \\[8pt] 2y &= 4 \\[8pt] y &= 2 \end{aligned} $$ Otrzymujemy parę liczb: $$ \begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \end{cases} $$
Sposób II – Wyeliminowanie zmiennej $x$ przez pomnożenie pierwszego równania:
Wychodzimy z wyjściowego układu równań: $$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3x - y = -5 \end{cases} $$ Współczynniki przy niewiadomej $x$ wynoszą odpowiednio $1$ oraz $3$. Mnożymy pierwsze równanie obustronnie przez $-3$: $$ \begin{cases} -3 \cdot (x + 2y) = -3 \cdot 3 \\ 3x - y = -5 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -3x - 6y = -9 \\ 3x - y = -5 \end{cases} $$ Dodajemy oba równania stronami: $$ (-3x + 3x) + (-6y - y) = -9 + (-5) $$ $$ \begin{aligned} -7y &= -14 \\[8pt] y &= \dfrac{-14}{-7} \\[8pt] y &= 2 \end{aligned} $$ Wstawiamy obliczoną wartość $y = 2$ do pierwszego równania: $$ \begin{aligned} x + 2 \cdot 2 &= 3 \\[8pt] x + 4 &= 3 \\[8pt] x &= 3 - 4 \\[8pt] x &= -1 \end{aligned} $$ Uzyskujemy ten sam wynik: $$ \begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \end{cases} $$
Sprawdzenie poprawności oraz interpretacja graficzna układu:
Wstawiamy parę liczb $x = -1$ oraz $y = 2$ do lewych stron obu wyjściowych równań: $$ \begin{aligned} L_1 &= -1 + 2 \cdot 2 = -1 + 4 = 3 = P_1 \\[8pt] L_2 &= 3 \cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5 = P_2 \end{aligned} $$ Oba równania są spełnione tożsamościowo.

Geometrycznie każde z równań opisuje prostą na płaszczyźnie kartezjańskiej: $$ \begin{aligned} x + 2y = 3 &\iff y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \\[8pt] 3x - y = -5 &\iff y = 3x + 5 \end{aligned} $$ Punkt przecięcia tych prostych to punkt $P = (-1, 2)$, będący jedynym rozwiązaniem układu równań.

Odpowiedź:
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $\begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \end{cases}$.

Zadanie 3 (2 pkt)

Rozwiąż układ równań metodą graficzną: $$\begin{cases} 2x + 2y = -4 \\[8pt] x - y = 0 \end{cases}$$

Wskazówki:

Przekształć każde z równań do postaci kierunkowej prostej: $y = ax + b$.
Dla każdej prostej wyznacz współrzędne co najmniej dwóch punktów, podstawiając wybrane wartości zmiennej $x$.
Narysuj obie proste w jednym kartezjańskim układzie współrzędnych.
Odczytaj współrzędne punktu przecięcia prostych $P(x, y)$ – stanowią one rozwiązanie układu równań.
Rozwiązanie graficzne zweryfikuj metodą algebraiczną (np. podstawiania).

Rozwiązanie krok po kroku:

Przekształcenie obu równań do postaci kierunkowej i wyznaczenie punktów:
Mamy dany wyjściowy układ równań: $$\begin{cases} 2x + 2y = -4 \\[8pt] x - y = 0 \end{cases}$$ Przekształcamy pierwsze równanie, wyznaczając zmienną $y$: $$\begin{aligned} 2x + 2y &= -4 \\[8pt] 2y &= -2x - 4 \quad \Big/ : 2 \\[8pt] y &= -x - 2 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy prostą $k: y = -x - 2$. Wyznaczamy punkty należące do tej prostej:
- Dla $x = 0$: $y = -0 - 2 = -2 \implies (0, -2)$,
- Dla $x = -2$: $y = -(-2) - 2 = 0 \implies (-2, 0)$,
- Dla $x = -1$: $y = -(-1) - 2 = -1 \implies (-1, -1)$.
Przekształcamy drugie równanie, wyznaczając zmienną $y$: $$\begin{aligned} x - y &= 0 \\[8pt] y &= x \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy prostą $l: y = x$ (dwusieczną I i III ćwiartki). Wyznaczamy punkty należące do tej prostej:
- Dla $x = 0$: $y = 0 \implies (0, 0)$,
- Dla $x = 1$: $y = 1 \implies (1, 1)$,
- Dla $x = -1$: $y = -1 \implies (-1, -1)$.
Sposób I – Sporządzenie wykresów prostych i graficzne odczytanie rozwiązania:
Naniesione proste przecinają się dokładnie w jednym punkcie $P$. Odczytujemy z osi współrzędne tego punktu: $$x = -1, \quad y = -1$$ Zatem punkt przecięcia to $P(-1, -1)$.
Sposób II – Algebraiczne sprawdzenie rozwiązania (metoda podstawiania):
Z drugiego równania mamy $y = x$. Podstawiamy to wyrażenie do pierwszego równania w miejsce $y$: $$\begin{aligned} 2x + 2x &= -4 \\[8pt] 4x &= -4 \quad \Big/ : 4 \\[8pt] x &= -1 \end{aligned}$$ Obliczamy wartość zmiennej $y$: $$\begin{aligned} y &= x \\[8pt] y &= -1 \end{aligned}$$ Wynik algebraiczny jest identyczny z odczytanym z wykresu punktem $P(-1, -1)$, co potwierdza poprawność rozwiązania graficznego.

Odpowiedź:
$$\begin{cases} x = -1 \\[8pt] y = -1 \end{cases}$$ Punkt przecięcia prostych: $P(-1, -1)$.

Zadanie 4 (2 pkt)

Sprawdź, która para liczb spełnia podany układ równań: $$\begin{cases} 4x - y = -21 \\ x + 2y = -3y \end{cases}$$

a) $x = -5, \; y = 1$

b) $x = 5, \; y = -1$

c) $x = 3, \; y = -2$

d) $x = -3, \; y = 2$

Wskazówki:

Zauważ, że w drugim równaniu niewiadoma $y$ występuje po obu stronach znaku równości – uporządkuj je w pierwszej kolejności, przenosząc wyrazy z $y$ na jedną stronę.
Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby: wyznaczając parę liczb $(x, y)$ metodą podstawiania lub bezpośrednio sprawdzając, która z podanych w opcjach par spełnia jednocześnie oba równania.
Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, które geometrycznie oznacza punkt przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Algebraiczne rozwiązanie układu równań (metoda podstawiania):
Wychodzimy od wyjściowego układu równań: $$\begin{cases} 4x - y = -21 \\ x + 2y = -3y \end{cases}$$ Upraszczamy drugie równanie, przenosząc wyrażenie $-3y$ na lewą stronę: $$\begin{aligned} x + 2y &= -3y \\[8pt] x + 2y + 3y &= 0 \\[8pt] x + 5y &= 0 \end{aligned}$$ Wyznaczamy niewiadomą $x$ w zależności od $y$: $$x = -5y$$ Podstawiamy wyznaczone wyrażenie $x = -5y$ do pierwszego równania: $$\begin{aligned} 4(-5y) - y &= -21 \\[8pt] -20y - y &= -21 \\[8pt] -21y &= -21 \\[8pt] y &= \dfrac{-21}{-21} = 1 \end{aligned}$$ Obliczamy wartość niewiadomej $x$: $$\begin{aligned} x &= -5 \cdot 1 \\[8pt] x &= -5 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem układu jest para liczb: $$\begin{cases} x = -5 \\ y = 1 \end{cases}$$ Wynik ten odpowiada wariantowi a).
Sposób II – Bezpośrednie sprawdzenie podanych wariantów odpowiedzi:
Oznaczamy lewe i prawe strony obu równań wyjściowych: $$\begin{cases} L_1 = 4x - y, & P_1 = -21 \\ L_2 = x + 2y, & P_2 = -3y \end{cases}$$ Sprawdzamy kolejno proponowane pary liczb:

• Dla wariantu a) $x = -5, \; y = 1$: $$\begin{aligned} L_1 &= 4 \cdot (-5) - 1 = -20 - 1 = -21 = P_1 \\[8pt] L_2 &= -5 + 2 \cdot 1 = -5 + 2 = -3 \\[8pt] P_2 &= -3 \cdot 1 = -3 \implies L_2 = P_2 \end{aligned}$$ Oba równania są tożsamościowo spełnione, zatem ta para liczb stanowi rozwiązanie układu.

• Dla wariantu b) $x = 5, \; y = -1$: $$L_1 = 4 \cdot 5 - (-1) = 20 + 1 = 21 \ne -21$$ Pierwsze równanie nie jest spełnione.

• Dla wariantu c) $x = 3, \; y = -2$: $$L_1 = 4 \cdot 3 - (-2) = 12 + 2 = 14 \ne -21$$ Pierwsze równanie nie jest spełnione.

• Dla wariantu d) $x = -3, \; y = 2$: $$L_1 = 4 \cdot (-3) - 2 = -12 - 2 = -14 \ne -21$$ Pierwsze równanie nie jest spełnione.
Interpretacja graficzna rozwiązania (rysunek pomocniczy):
Każde z równań liniowych możemy przekształcić do postaci kierunkowej prostej: $$\begin{aligned} 4x - y = -21 &\implies y = 4x + 21 \quad (\text{prosta } k) \\[8pt] x + 2y = -3y &\implies y = -\dfrac{1}{5}x \quad (\text{prosta } l) \end{aligned}$$ Współrzędne punktu przecięcia tych prostych odpowiadają rozwiązaniu układu równań: $$P = (-5, 1)$$

Odpowiedź:
Podany układ równań spełnia para liczb z wariantu a): $x = -5, \; y = 1$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Suma cyfr dodatniej liczby dwucyfrowej jest równa $12$. Jeśli zamienimy te cyfry miejscami, to otrzymamy liczbę o $18$ większą od szukanej. Wyznacz szukaną liczbę, rozwiązując odpowiedni układ równań.

Wskazówki:

Każdą liczbę dwucyfrową o cyfrze dziesiątek $x$ i cyfrze jedności $y$ możemy zapisać w postaci dziesiętnej jako $10x + y$.
Po przestawieniu cyfr otrzymujemy nową liczbę dwucyfrową, której wartość wynosi $10y + x$.
Ułóż układ dwóch równań liniowych: pierwsze opisujące sumę cyfr ($x + y = 12$), a drugie relację między nowo powstałą a początkową liczbą ($10y + x = 10x + y + 18$).
Rozwiąż układ równań wybraną metodą algebraiczną (np. metodą przeciwnych współczynników lub podstawiania) i zweryfikuj poprawność otrzymanych cyfr.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie układu równań:
Wprowadzamy oznaczenia dla cyfr szukanej liczby dwucyfrowej: $$\begin{aligned} x &\in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \quad \text{– cyfra dziesiątek} \\[8pt] y &\in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \quad \text{– cyfra jedności} \end{aligned}$$ Wartość początkowej liczby dwucyfrowej wynosi: $$L_1 = 10x + y$$ Zgodnie z treścią zadania suma jej cyfr jest równa $12$: $$x + y = 12$$ Po przestawieniu cyfr miejscami otrzymujemy nową liczbę, w której cyfrą dziesiątek staje się $y$, a cyfrą jedności $x$: $$L_2 = 10y + x$$ Nowa liczba jest o $18$ większa od szukanej: $$10y + x = 10x + y + 18$$ Porządkujemy drugie równanie, przenosząc niewiadome na lewą stronę: $$\begin{aligned} 10y - y + x - 10x &= 18 \\[8pt] 9y - 9x &= 18 \\[8pt] -9x + 9y &= 18 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $9$: $$-x + y = 2$$ Układ równań opisujący treść zadania przyjmuje postać: $$\begin{cases} x + y = 12 \\ -x + y = 2 \end{cases}$$
Rozwiązanie układu równań:
Sposób I – Metoda przeciwnych współczynników:
Współczynniki przy niewiadomej $x$ są liczbami przeciwnymi ($1$ oraz $-1$). Dodajemy oba równania stronami: $$\begin{aligned} (x + y) + (-x + y) &= 12 + 2 \\[8pt] 2y &= 14 \\[8pt] y &= 7 \end{aligned}$$ Podstawiamy wyznaczoną wartość $y = 7$ do pierwszego równania: $$\begin{aligned} x + 7 &= 12 \\[8pt] x &= 12 - 7 \\[8pt] x &= 5 \end{aligned}$$
Sposób II – Metoda podstawiania:
Z pierwszego równania wyznaczamy zmienną $y$: $$y = 12 - x$$ Wstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania w miejsce $y$: $$\begin{aligned} -x + (12 - x) &= 2 \\[8pt] -2x + 12 &= 2 \\[8pt] -2x &= 2 - 12 \\[8pt] -2x &= -10 \\[8pt] x &= 5 \end{aligned}$$ Obliczamy wartość zmiennej $y$: $$\begin{aligned} y &= 12 - 5 \\[8pt] y &= 7 \end{aligned}$$
Sformułowanie odpowiedzi i interpretacja graficzna:
Otrzymaliśmy cyfrę dziesiątek $x = 5$ oraz cyfrę jedności $y = 7$. Obie wartości są jednocyfrowe i spełniają warunki zadania.

Szukana liczba dwucyfrowa wynosi: $$10 \cdot 5 + 7 = 57$$ Sprawdzenie warunków:
— Suma cyfr: $5 + 7 = 12$,
— Liczba po przestawieniu cyfr: $75$,
— Różnica: $75 - 57 = 18$.

Poniższy wykres ilustruje geometryczne rozwiązanie układu równań jako punkt przecięcia dwóch prostych: $y = -x + 12$ oraz $y = x + 2$:

Odpowiedź:
Szukaną liczbą jest $57$.