Język matematyki sprawdzian

Język matematyki

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (6 pkt)

Uzupełnij tabelę:

$A$	$B$	$A \cup B$	$A \cap B$	$A \setminus B$	$B \setminus A$
$(-\infty; 0)$	$\langle -1; 5 \rangle$
$\langle 1; 3 \rangle$	$(0; \sqrt{10})$
$(-\infty; \pi \rangle$	$(\pi; \infty)$

\(A\)	\(B\)	\(A \cup B\)	\(A \cap B\)	\(A \setminus B\)	\(B \setminus A\)
\((-\infty; 0)\)	\(\langle -1; 5 \rangle\)	\((-\infty; 5\rangle\)	\(\langle -1; 0)\)	\((-\infty; -1)\)	\(\langle 0; 5\rangle\)
\(\langle 1; 3 \rangle\)	\((0; \sqrt{10})\)	\((0; \sqrt{10})\)	\(\langle 1; 3\rangle\)	\(\emptyset\)	\((0; 1) \cup (3; \sqrt{10})\)
\((-\infty; \pi \rangle\)	\((\pi; \infty)\)	\(\mathbb{R}\)	\(\emptyset\)	\((-\infty; \pi\rangle\)	\((\pi; \infty)\)

Wskazówki:

Suma zbiorów ($A \cup B$): zbiór elementów należących do co najmniej jednego ze zbiorów ($x \in A$ lub $x \in B$).
Iloczyn / część wspólna ($A \cap B$): zbiór elementów należących jednocześnie do obu zbiorów ($x \in A$ i $x \in B$).
Różnica zbiorów ($A \setminus B$): zbiór elementów należących do zbioru $A$, z którego usuwamy wszystkie elementy należące do zbioru $B$.
Domkniętość końców: nawias ostry $\langle \dots \rangle$ oznacza włączenie punktu granicznego do przedziału (punkt zamalowany), natomiast nawias okrągły $(\dots)$ oznacza wyłączenie punktu granicznego (punkt niezamalowany).
W wierszu drugim oszacuj wartość $\sqrt{10}$: ponieważ $3^2 = 9 < 10 < 16 = 4^2$, to $3 < \sqrt{10} < 4$ ($\sqrt{10} \approx 3{,}16$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Pierwszy wiersz tabeli – przedziały $A = (-\infty; 0)$ oraz $B = \langle -1; 5 \rangle$:
Zaznaczamy oba przedziały na osi liczbowej. Zwracamy uwagę na punkty graniczne: punkt $-1$ należy do $B$, punkt $0$ nie należy do $A$, a punkt $5$ należy do $B$.

Wyznaczamy kolejne operacje na zbiorach:
- Suma $A \cup B$: Łączymy wszystkie elementy obu przedziałów. Przedział zaczyna się od $-\infty$ i sięga liczby $5$ włącznie: $$A \cup B = (-\infty; 5\rangle$$
- Iloczyn $A \cap B$: Wyznaczamy część wspólną. Liczby należące do obu przedziałów to liczby od $-1$ (domknięty, bo należy do $B$ oraz do $A$) do $0$ (otwarty, bo $0 \notin A$): $$A \cap B = \langle -1; 0)$$
- Różnica $A \setminus B$: Ze zbioru $A = (-\infty; 0)$ usuwamy przedział $B = \langle -1; 5 \rangle$. Ponieważ liczba $-1$ należy do $B$, zostaje usunięta: $$A \setminus B = (-\infty; -1)$$
- Różnica $B \setminus A$: Ze zbioru $B = \langle -1; 5 \rangle$ usuwamy zbiór $A = (-\infty; 0)$. Liczba $0$ nie należała do $A$, więc nie została usunięta i pozostaje w różnicy: $$B \setminus A = \langle 0; 5\rangle$$
Drugi wiersz tabeli – przedziały $A = \langle 1; 3 \rangle$ oraz $B = (0; \sqrt{10})$:
Szacujemy wartość $\sqrt{10}$: ponieważ $9 < 10 < 16$, zachodzi nierówność $3 < \sqrt{10} < 4$ ($\sqrt{10} \approx 3{,}16$).
Zauważmy, że $0 < 1$ oraz $3 < \sqrt{10}$, co oznacza, że cały przedział $A$ zawiera się wewnątrz przedziału $B$ ($A \subset B$).

Wyznaczamy operacje na zbiorach:
- Suma $A \cup B$: Ponieważ $A \subset B$, suma obu zbiorów jest równa zbiorowi szerszemu: $$A \cup B = B = (0; \sqrt{10})$$
- Iloczyn $A \cap B$: Część wspólna zbioru zawartego i zawierającego to zbiór węższy: $$A \cap B = A = \langle 1; 3 \rangle$$
- Różnica $A \setminus B$: Ze zbioru $A$ zabieramy wszystkie elementy należące do $B$. Ponieważ każdy element z $A$ należy również do $B$, po odjęciu nie zostaje żaden element: $$A \setminus B = \emptyset$$
- Różnica $B \setminus A$: Z przedziału $(0; \sqrt{10})$ wycinamy domknięty odcinek $\langle 1; 3 \rangle$. Punkty $1$ i $3$ zostają usunięte, więc w wyniku otrzymujemy sumę dwóch rozłącznych przedziałów otwartych: $$B \setminus A = (0; 1) \cup (3; \sqrt{10})$$
Trzeci wiersz tabeli – przedziały $A = (-\infty; \pi \rangle$ oraz $B = (\pi; \infty)$:
Analizujemy położenie przedziałów względem liczby $\pi \approx 3{,}14$. Zauważmy, że liczba $\pi$ należy do zbioru $A$ ($\pi \in A$), ale nie należy do zbioru $B$ ($\pi \notin B$).

Wyznaczamy operacje na zbiorach:
- Suma $A \cup B$: Przedział $A$ zawiera wszystkie liczby rzeczywiste do $\pi$ włącznie, a przedział $B$ zawiera wszystkie liczby większe od $\pi$. Ich suma pokrywa całą oś liczbową: $$A \cup B = (-\infty; \infty) = \mathbb{R}$$
- Iloczyn $A \cap B$: Zbiory nie mają żadnego wspólnego elementu (liczba $\pi$ należy do $A$, ale nie należy do $B$). Zbiory są rozłączne: $$A \cap B = \emptyset$$
- Różnica $A \setminus B$: Ponieważ zbiory są rozłączne, usunięcie ze zbioru $A$ elementów zbioru $B$ nie usuwa żadnego elementu: $$A \setminus B = A = (-\infty; \pi\rangle$$
- Różnica $B \setminus A$: Analogicznie, usunięcie elementów ze zbioru $A$ nie wpływa na zbiór $B$: $$B \setminus A = B = (\pi; \infty)$$

Zestawienie wszystkich wyników w tabeli:
Wprowadzamy uzyskane przedziały do poszczególnych komórek tabeli:

$A$	$B$	$A \cup B$	$A \cap B$	$A \setminus B$	$B \setminus A$
$(-\infty; 0)$	$\langle -1; 5 \rangle$	$(-\infty; 5\rangle$	$\langle -1; 0)$	$(-\infty; -1)$	$\langle 0; 5\rangle$
$\langle 1; 3 \rangle$	$(0; \sqrt{10})$	$(0; \sqrt{10})$	$\langle 1; 3\rangle$	$\emptyset$	$(0; 1) \cup (3; \sqrt{10})$
$(-\infty; \pi \rangle$	$(\pi; \infty)$	$\mathbb{R}$	$\emptyset$	$(-\infty; \pi\rangle$	$(\pi; \infty)$

Zadanie 2 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność $\dfrac{x}{3} - \dfrac{1-x}{4} \ge \dfrac{5}{6}$.

Wskazówki:

Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników $3, 4, 6$, która wynosi $12$.
Sposób I (mnożenie obustronne): Pomnóż obie strony nierówności przez $12$, pamiętając o ujęciu licznika $1 - x$ w nawias ze względu na znak minus przed ułamkiem.
Sposób II (sprowadzenie do wspólnego mianownika): Rozszerz ułamki po lewej stronie do wspólnego mianownika $12$, połącz je w jeden ułamek i wykonaj redukcję wyrazów podobnych.
Znak nierówności $\ge$ oznacza, że punkt brzegowy wchodzi w skład zbioru rozwiązań (przedział prawostronnie nieograniczony, domknięty z lewej strony).

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Mnożenie obustronne przez najmniejszy wspólny mianownik:
Wychodzimy z wyjściowej nierówności: $$ \dfrac{x}{3} - \dfrac{1-x}{4} \ge \dfrac{5}{6} $$ Mianowniki występujące w nierówności to $3$, $4$ oraz $6$. Ich najmniejsza wspólna wielokrotność to $\text{NWW}(3, 4, 6) = 12$. Mnożymy obie strony nierówności przez $12$ (ponieważ $12 > 0$, zwrot nierówności nie ulega zmianie): $$ 12 \cdot \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{1-x}{4}\right) \ge 12 \cdot \dfrac{5}{6} $$ Wykonujemy skracanie każdego składnika przez odpowiedni mianownik: $$ 4 \cdot x - 3 \cdot (1 - x) \ge 2 \cdot 5 $$ Pamiętamy o ujęciu dwumianu $1 - x$ w nawias ze względu na znak minus stojący przed drugim ułamkiem. Wymnażamy wyrażenie w nawiasie przez $-3$: $$ \begin{aligned} 4x - 3 + 3x &\ge 10 \\[8pt] 7x - 3 &\ge 10 \end{aligned} $$ Dodajemy $3$ do obu stron nierówności: $$ \begin{aligned} 7x &\ge 10 + 3 \\[8pt] 7x &\ge 13 \end{aligned} $$ Dzielimy obie strony nierówności przez $7$ (liczba dodatnia, zwrot bez zmian): $$ x \ge \dfrac{13}{7} $$ Wyrażając wynik za pomocą liczby mieszanej: $$ x \ge 1\dfrac{6}{7} $$
Sposób II – Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika po lewej stronie:
Wychodzimy z wyjściowej nierówności: $$ \dfrac{x}{3} - \dfrac{1-x}{4} \ge \dfrac{5}{6} $$ Sprowadzamy ułamki po lewej stronie do wspólnego mianownika $12$: $$ \begin{aligned} \dfrac{4 \cdot x}{12} - \dfrac{3 \cdot (1-x)}{12} &\ge \dfrac{5}{6} \\[8pt] \dfrac{4x - (3 - 3x)}{12} &\ge \dfrac{5}{6} \\[8pt] \dfrac{4x - 3 + 3x}{12} &\ge \dfrac{5}{6} \\[8pt] \dfrac{7x - 3}{12} &\ge \dfrac{5}{6} \end{aligned} $$ Mnożymy obie strony nierówności przez $12$: $$ \begin{aligned} 7x - 3 &\ge \dfrac{5}{6} \cdot 12 \\[8pt] 7x - 3 &\ge 10 \\[8pt] 7x &\ge 13 \\[8pt] x &\ge \dfrac{13}{7} \end{aligned} $$
Zapis zbioru rozwiązań i ilustracja na osi liczbowej:
Nierówność jest słaba ($\ge$), co oznacza, że liczba $\dfrac{13}{7}$ należy do zbioru rozwiązań (na osi liczbowej oznaczamy ją zamalowanym kółkiem). Zbiorem rozwiązań jest przedział jednostronnie domknięty: $$ x \in \left[\dfrac{13}{7}, +\infty\right) $$

Odpowiedź:
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział $x \in \left[\dfrac{13}{7}, +\infty\right)$ (czyli $x \ge \dfrac{13}{7}$).

Zadanie 3 (2 pkt)

Skróć ułamki:

a) $\dfrac{30}{5x^2 + 10y^2 + 25}$

b) $\dfrac{15x}{3x^2 + 9}$

Wskazówki:

Aby skrócić ułamek algebraiczny, należy najpierw zapisać licznik oraz mianownik w postaci iloczynowej, wyłączając wspólny czynnik przed nawias.
Ułamek skracamy, dzieląc licznik i mianownik przez ten sam wspólny czynnik różny od zera.
Zwróć uwagę na dziedzinę: sumy kwadratów powiększone o liczbę dodatnią są zawsze ściśle dodatnie dla dowolnych liczb rzeczywistych, więc mianowniki nigdy się nie zerują.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Skracamy ułamek $\dfrac{30}{5x^2 + 10y^2 + 25}$:
W mianowniku ułamka każdy ze składników sumy ($5x^2$, $10y^2$ oraz $25$) jest podzielny przez $5$. Wyłączamy wspólny czynnik $5$ przed nawias: $$5x^2 + 10y^2 + 25 = 5(x^2 + 2y^2 + 5)$$ Licznik ułamka przedstawiamy w postaci iloczynu zawierającego czynnik $5$: $$30 = 5 \cdot 6$$ Zapisujemy ułamek w postaci iloczynowej i skracamy przez wspólny czynnik $5$: $$\begin{aligned} \dfrac{30}{5x^2 + 10y^2 + 25} &= \dfrac{5 \cdot 6}{5(x^2 + 2y^2 + 5)} \\[8pt] &= \dfrac{6}{x^2 + 2y^2 + 5} \end{aligned}$$ Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y \in \mathbb{R}$ zachodzi $x^2 \ge 0$ oraz $2y^2 \ge 0$, zatem mianownik $x^2 + 2y^2 + 5 \ge 5 > 0$ nigdy nie osiąga wartości zero, co oznacza, że ułamek jest określony dla każdego $x, y \in \mathbb{R}$.
Podpunkt b) Skracamy ułamek $\dfrac{15x}{3x^2 + 9}$:
W mianowniku oba składniki ($3x^2$ oraz $9$) mają wspólny dzielnik równy $3$. Wyłączamy liczbę $3$ przed nawias: $$3x^2 + 9 = 3(x^2 + 3)$$ W liczniku rozkładamy wyrażenie $15x$ na iloczyn z czynnikiem $3$: $$15x = 3 \cdot 5x$$ Wstawiamy otrzymane postacie iloczynowe do ułamka i skracamy przez $3$: $$\begin{aligned} \dfrac{15x}{3x^2 + 9} &= \dfrac{3 \cdot 5x}{3(x^2 + 3)} \\[8pt] &= \dfrac{5x}{x^2 + 3} \end{aligned}$$ Ponieważ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ mamy $x^2 \ge 0$, wyrażenie w mianowniku spełnia warunek $x^2 + 3 \ge 3 > 0$. Mianownik nie ma miejsc zerowych, więc dziedziną ułamka jest zbiór liczb rzeczywistych $D = \mathbb{R}$.

Odpowiedź:
a) $\dfrac{6}{x^2 + 2y^2 + 5}$

b) $\dfrac{5x}{x^2 + 3}$

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz:
a) $(\sqrt{3} + \sqrt{12})^2$
b) $(\sqrt{5} + 2\sqrt{10})^2$
c) $(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})$

Wskazówki:

W podpunktach a) i b) zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
W podpunkcie a) możesz także najpierw wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka ($\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$) i zsumować wyrazy podobne w nawiasie przed podniesieniem do kwadratu.
W podpunkcie c) skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $(\sqrt{3} + \sqrt{12})^2$:
Przedstawiamy obliczenia dwoma sposobami:

Sposób I – Wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka:
Rozkładamy liczbę podpierwiastkową na iloczyn zawierający kwadrat liczby całkowitej: $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ Wstawiamy otrzymaną postać do nawiasu i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} (\sqrt{3} + \sqrt{12})^2 &= (\sqrt{3} + 2\sqrt{3})^2 \\[8pt] &= (3\sqrt{3})^2 \\[8pt] &= 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 \\[8pt] &= 9 \cdot 3 \\[8pt] &= 27 \end{aligned}$$
Sposób II – Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy:
Stosujemy bezpośrednio wzór $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a = \sqrt{3}$ oraz $b = \sqrt{12}$: $$\begin{aligned} (\sqrt{3} + \sqrt{12})^2 &= (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} + (\sqrt{12})^2 \\[8pt] &= 3 + 2\sqrt{3 \cdot 12} + 12 \\[8pt] &= 15 + 2\sqrt{36} \\[8pt] &= 15 + 2 \cdot 6 \\[8pt] &= 15 + 12 \\[8pt] &= 27 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $(\sqrt{5} + 2\sqrt{10})^2$:
Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, przyjmując $a = \sqrt{5}$ oraz $b = 2\sqrt{10}$: $$\begin{aligned} (\sqrt{5} + 2\sqrt{10})^2 &= (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{10} + (2\sqrt{10})^2 \\[8pt] &= 5 + 4\sqrt{5 \cdot 10} + 2^2 \cdot (\sqrt{10})^2 \\[8pt] &= 5 + 4\sqrt{50} + 4 \cdot 10 \\[8pt] &= 5 + 40 + 4\sqrt{25 \cdot 2} \\[8pt] &= 45 + 4 \cdot 5\sqrt{2} \\[8pt] &= 45 + 20\sqrt{2} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})$:
Przedstawiamy obliczenia dwoma sposobami:

Sposób I – Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów:
Korzystamy ze wzoru $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ dla $a = \sqrt{7}$ oraz $b = \sqrt{2}$: $$\begin{aligned} (\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2}) &= (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 \\[8pt] &= 7 - 2 \\[8pt] &= 5 \end{aligned}$$
Sposób II – Mnożenie każdego wyrazu przez każdy:
Wymnażamy wyrażenia w nawiasach: $$\begin{aligned} (\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2}) &= \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \\[8pt] &= 7 + \sqrt{14} - \sqrt{14} - 2 \\[8pt] &= 7 - 2 \\[8pt] &= 5 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $27$

b) $45 + 20\sqrt{2}$

c) $5$

Zadanie 5 (1 pkt)

Wśród podanych liczb wskaż liczbę równą $\dfrac{4}{2\sqrt{5}-4}$.

A. $2\sqrt{5}+4$

B. $\dfrac{4(2\sqrt{5}+4)}{2}$

C. $\dfrac{8\sqrt{5}-12}{2}$

D. $\dfrac{16}{(2\sqrt{5}-4)^2}$

Wskazówki:

Aby usunąć niewymierność z mianownika o postaci dwumianu $a - b$, rozszerz ułamek (pomnóż licznik oraz mianownik) przez jego sprzężenie, czyli wyrażenie $a + b$.
Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Pamiętaj o poprawnym podniesieniu do kwadratu iloczynu: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Możesz także najpierw skrócić ułamek przez $2$, wyłączając wspólny czynnik przed nawias w mianowniku.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Usunięcie niewymierności z mianownika przez mnożenie przez sprzężenie:
Wychodzimy z wyrażenia wyjściowego: $$\dfrac{4}{2\sqrt{5}-4}$$ Mnożymy licznik oraz mianownik przez sumę $2\sqrt{5} + 4$, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$\begin{aligned} \dfrac{4}{2\sqrt{5}-4} &= \dfrac{4(2\sqrt{5}+4)}{(2\sqrt{5}-4)(2\sqrt{5}+4)} \\[8pt] &= \dfrac{4(2\sqrt{5}+4)}{(2\sqrt{5})^2 - 4^2} \end{aligned}$$ Obliczamy wartości potęg w mianowniku: $$\begin{aligned} (2\sqrt{5})^2 &= 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 \\[8pt] &= 4 \cdot 5 = 20 \\[8pt] 4^2 &= 16 \end{aligned}$$ Wstawiamy otrzymane wyniki do mianownika: $$\begin{aligned} \dfrac{4(2\sqrt{5}+4)}{20 - 16} &= \dfrac{4(2\sqrt{5}+4)}{4} \end{aligned}$$ Skracamy liczbę $4$ w liczniku i mianowniku: $$2\sqrt{5} + 4$$
Sposób II – Wstępne wyłączenie wspólnego czynnika i skrócenie ułamka:
W mianowniku wyjściowego ułamka wyłączamy liczbę $2$ przed nawias: $$\begin{aligned} \dfrac{4}{2\sqrt{5}-4} &= \dfrac{4}{2(\sqrt{5}-2)} \\[8pt] &= \dfrac{2}{\sqrt{5}-2} \end{aligned}$$ Następnie usuwamy niewymierność z prostszego mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{5}+2$: $$\begin{aligned} \dfrac{2}{\sqrt{5}-2} &= \dfrac{2(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} \\[8pt] &= \dfrac{2(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} \\[8pt] &= \dfrac{2(\sqrt{5}+2)}{5 - 4} \\[8pt] &= \dfrac{2\sqrt{5}+4}{1} \\[8pt] &= 2\sqrt{5} + 4 \end{aligned}$$ Wynik ten jest wprost tożsamy z odpowiedzią A.

Odpowiedź:
Prawidłowa odpowiedź to A ($2\sqrt{5} + 4$).

Grupa B

Zadanie 1 (6 pkt)

Uzupełnij tabelę: \begin{array}{|l|l|c|c|c|c|} \hline A & B & A \cup B & A \cap B & A \setminus B & B \setminus A \\ \hline (-5; 0 \rangle & \langle -2; 2) & & & & \\ \hline (-\infty; -\sqrt{5} \rangle & (-3; -1) & & & & \\ \hline \langle 0; \infty) & (-\infty; 0) & & & & \\ \hline \end{array}