Liczby rzeczywiste sprawdzian

Liczby rzeczywiste

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Znajdź liczbę przeciwną do liczby $\dfrac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(3 - 4 \cdot 1\frac{1}{4}\right)}{2\frac{1}{2} + 0{,}5 : \frac{1}{4}}$. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Wskazówki:

Pamiętaj o ustalonej kolejności wykonywania działań: najpierw działania w nawiasach, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przed przystąpieniem do mnożenia lub dzielenia ułamków zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe ($1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$), a ułamki dziesiętne na zwykłe ($0{,}5 = \frac{1}{2}$).
Dzielenie przez ułamek jest równoważne mnożeniu przez jego odwrotność ($a : \frac{c}{d} = a \cdot \frac{d}{c}$).
Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia całego licznika przez cały mianownik.
Liczba przeciwna do liczby $a$ to liczba o przeciwnym znaku, czyli $-a$ (suma liczb przeciwnych zawsze wynosi zero: $a + (-a) = 0$).

Szybkie obliczenia:

$$\begin{aligned} \dfrac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(3 - 4 \cdot 1\frac{1}{4}\right)}{2\frac{1}{2} + 0{,}5 : \frac{1}{4}} &= \dfrac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(3 - 4 \cdot \frac{5}{4}\right)}{\frac{5}{2} + \frac{1}{2} : \frac{1}{4}} \\[8pt] &= \dfrac{\left(-\frac{1}{2}\right)(3 - 5)}{\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}} \\[8pt] &= \dfrac{\left(-\frac{1}{2}\right)(-2)}{\frac{5}{2} + 2} \\[8pt] &= \dfrac{1}{\frac{5}{2} + \frac{4}{2}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{\frac{9}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{9} \end{aligned}$$ Liczba przeciwna: $$-\frac{2}{9}$$

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie wartości wyrażenia w liczniku:
Wyjściowy licznik ma postać: $$\left(-\frac{1}{2}\right)\left(3 - 4 \cdot 1\frac{1}{4}\right)$$ W nawiasie pierwszeństwo ma mnożenie. Zamieniamy liczbę mieszaną $1\frac{1}{4}$ na ułamek niewłaściwy: $$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$$ Wykonujemy mnożenie wewnątrz nawiasu, skracając czwórki: $$4 \cdot \frac{5}{4} = \frac{4 \cdot 5}{4} = 5$$ Obliczamy różnicę w nawiasie: $$3 - 5 = -2$$ Mnożymy wynik przez czynnik stojący przed nawiasem (iloczyn dwóch liczb ujemnych daje liczbę dodatnią): $$\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-2) = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$$ Wartość licznika wynosi $1$.
Obliczenie wartości wyrażenia w mianowniku:
Wyjściowy mianownik ma postać: $$2\frac{1}{2} + 0{,}5 : \frac{1}{4}$$
Sposób I – Zamiana wszystkich liczb na ułamki zwykłe:
Zapisujemy ułamek dziesiętny $0{,}5$ jako ułamek zwykły: $$0{,}5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$ Zgodnie z kolejnością działań najpierw wykonujemy dzielenie, mnożąc przez odwrotność drugiego ułamka: $$0{,}5 : \frac{1}{4} = \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2$$ Dodajemy otrzymaną wartość do liczby mieszanej: $$\begin{aligned} 2\frac{1}{2} + 2 &= 4\frac{1}{2} \\[8pt] &= \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2} \end{aligned}$$
Sposób II – Zamiana na ułamki dziesiętne:
Zauważmy, że $\frac{1}{4} = 0{,}25$ oraz $2\frac{1}{2} = 2{,}5$. Obliczamy: $$\begin{aligned} 0{,}5 : 0{,}25 &= \frac{0{,}50}{0{,}25} = 2 \\[8pt] 2{,}5 + 2 &= 4{,}5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2} \end{aligned}$$ Wartość mianownika wynosi $\dfrac{9}{2}$.
Obliczenie wartości całego ułamka głównego:
Dzielimy wyznaczony licznik przez mianownik: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{\dfrac{9}{2}} &= 1 : \frac{9}{2} \\[8pt] &= 1 \cdot \frac{2}{9} \\[8pt] &= \frac{2}{9} \end{aligned}$$ Ułamek $\dfrac{2}{9}$ jest ułamkiem nieskracalnym, ponieważ największy wspólny dzielnik liczb $2$ i $9$ to $1$ ($\text{NWD}(2, 9) = 1$).
Wyznaczenie liczby przeciwnej:
Z definicji liczba przeciwna do liczby dodatniej $a$ to liczba ujemna $-a$.
Dla obliczonej wartości $a = \dfrac{2}{9}$ liczba przeciwna wynosi: $$-a = -\frac{2}{9}$$

Odpowiedź:
Liczbą przeciwną do podanej liczby jest $-\dfrac{2}{9}$.

Zadanie 2 (2 pkt)

Dany jest prostokąt o bokach długości $10 + 2\sqrt{3}$ i $10 - 2\sqrt{3}$. Czy długość jego przekątnej jest liczbą wymierną? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówki:

Przekątna prostokąta $d$ tworzy wraz z jego bokami $a$ i $b$ trójkąt prostokątny. Zastosuj twierdzenie Pitagorasa: $d^2 = a^2 + b^2$.
Podnieś długości boków do kwadratu, wykorzystując wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ oraz kwadrat różnicy $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Wyrazy z niewymiernościami zredukują się wzajemnie.
Rozłóż uzyskaną liczbę podpierwiastkową na czynniki pierwsze i wyłącz czynnik przed znak pierwiastka.
Przypomnij sobie definicję liczby wymiernej: liczba jest wymierna, gdy można zapisać ją w postaci ułamka zwykłego $\dfrac{p}{q}$, gdzie $p, q \in \mathbb{C}$ i $q \neq 0$. Pierwiastek kwadratowy z liczby całkowitej, która nie jest kwadratem liczby całkowitej, jest zawsze liczbą niewymierną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Niech boki danego prostokąta mają długości: $$ a = 10 + 2\sqrt{3}, \quad b = 10 - 2\sqrt{3} $$ Ponieważ $2\sqrt{3} = \sqrt{12} \approx 3{,}46$, obie długości są dodatnie ($a > 0$ oraz $b > 0$). Kąt między sąsiednimi bokami jest kątem prostym ($90^\circ$), a przekątna prostokąta ma długość $d$.
Sposób I – Wyznaczenie kwadratu przekątnej za pomocą twierdzenia Pitagorasa:
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego utworzonego przez boki i przekątną prostokąta: $$ d^2 = a^2 + b^2 $$ Podstawiamy wyrażenia opisujące boki prostokąta: $$ d^2 = (10 + 2\sqrt{3})^2 + (10 - 2\sqrt{3})^2 $$ Obliczamy kwadrat każdego ze składników, stosując odpowiednie wzory skróconego mnożenia: $$ \begin{aligned} a^2 &= (10 + 2\sqrt{3})^2 \\[8pt] &= 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 \\[8pt] &= 100 + 40\sqrt{3} + 4 \cdot 3 \\[8pt] &= 100 + 40\sqrt{3} + 12 \\[8pt] &= 112 + 40\sqrt{3} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} b^2 &= (10 - 2\sqrt{3})^2 \\[8pt] &= 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 \\[8pt] &= 100 - 40\sqrt{3} + 4 \cdot 3 \\[8pt] &= 100 - 40\sqrt{3} + 12 \\[8pt] &= 112 - 40\sqrt{3} \end{aligned} $$ Dodajemy oba kwadraty: $$ \begin{aligned} d^2 &= (112 + 40\sqrt{3}) + (112 - 40\sqrt{3}) \\[8pt] &= 112 + 112 + 40\sqrt{3} - 40\sqrt{3} \\[8pt] &= 224 \end{aligned} $$
Sposób II – Wykorzystanie tożsamości algebraicznej sumy kwadratów:
Zauważmy, że sumę kwadratów liczb postaci $(x + y)$ oraz $(x - y)$ można uprościć bezpośrednio przy użyciu ogólnej tożsamości: $$ (x + y)^2 + (x - y)^2 = 2(x^2 + y^2) $$ Przyjmując $x = 10$ oraz $y = 2\sqrt{3}$, otrzymujemy: $$ \begin{aligned} d^2 &= 2 \cdot \left[10^2 + (2\sqrt{3})^2\right] \\[8pt] &= 2 \cdot (100 + 12) \\[8pt] &= 2 \cdot 112 \\[8pt] &= 224 \end{aligned} $$
Obliczenie długości przekątnej $d$ i rozkład na czynniki pierwsze:
Ponieważ długość odcinka musi być dodatnia ($d > 0$), wyciągamy pierwiastek kwadratowy z liczby $224$: $$ d = \sqrt{224} $$ Rozkładamy liczbę $224$ na czynniki pierwsze za pomocą metody pionowej kreski: $$ \begin{array}{r|l} 224 & 2 \\ 112 & 2 \\ 56 & 2 \\ 28 & 2 \\ 14 & 2 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array} $$ Iloczyn czynników pierwszych wynosi: $$ 224 = 2^5 \cdot 7 = 2^4 \cdot 14 = 16 \cdot 14 $$ Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka: $$ \begin{aligned} d &= \sqrt{16 \cdot 14} \\[8pt] &= \sqrt{16} \cdot \sqrt{14} \\[8pt] &= 4\sqrt{14} \end{aligned} $$
Uzasadnienie niewymierności otrzymanego wyniku:
Liczba $14 = 2 \cdot 7$ jest liczbą całkowitą dodatnią, która nie jest kwadratem żadnej liczby całkowitej (żaden z jej czynników pierwszych nie występuje w potędze o parzystym wykładniku).

Z twierdzenia o niewymierności pierwiastków z liczb naturalnych wynika, że: $$ \sqrt{14} \notin \mathbb{Q} $$ Iloczyn niezerowej liczby wymiernej ($4 \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}$) oraz liczby niewymiernej ($\sqrt{14} \notin \mathbb{Q}$) jest zawsze liczbą niewymierną: $$ 4\sqrt{14} \notin \mathbb{Q} $$ Zatem długość przekątnej badanego prostokąta nie jest liczbą wymierną.

Odpowiedź:
Nie, długość przekątnej nie jest liczbą wymierną. Długość przekątnej wynosi $d = 4\sqrt{14}$, co stanowi liczbę niewymierną, ponieważ liczba $14$ nie jest kwadratem żadnej liczby całkowitej, a iloczyn liczby wymiernej $4$ i liczby niewymiernej $\sqrt{14}$ jest liczbą niewymierną.

Zadanie 3 (3 pkt)

Podaj rozwinięcie dziesiętne liczby $\dfrac{1}{6 - \dfrac{1}{5 - \dfrac{1}{4}}}$.

Wskazówki:

Upraszczaj ułamek wielopiętrowy „od dołu do góry”, zaczynając od wykonania odejmowania w najbardziej wewnętrznym mianowniku.
Pamiętaj, że dzielenie liczby $1$ przez dowolny ułamek zwykły daje jego odwrotność: $\dfrac{1}{\frac{a}{b}} = \dfrac{b}{a}$.
Doprowadź wyrażenie do postaci pojedynczego, nieskracalnego ułamka zwykłego.
Rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego wyznacz poprzez dzielenie pisemne licznika przez mianownik lub za pomocą przekształceń algebraicznych prowadzących do mianownika równego $99$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie różnicy w najbardziej zagnieżdżonym mianowniku:
Zaczynamy od obliczenia wyrażenia $5 - \dfrac{1}{4}$. Sprowadzamy liczbę całkowitą do wspólnego mianownika równego $4$: $$\begin{aligned} 5 - \dfrac{1}{4} &= \dfrac{20}{4} - \dfrac{1}{4} \\[8pt] &= \dfrac{19}{4} \end{aligned}$$
Uproszczenie wewnętrznego ułamka piętrowego:
Wstawiamy obliczoną wartość do wyrażenia $\dfrac{1}{5 - \frac{1}{4}}$. Dzielenie jedynki przez ułamek jest równoważne z odwróceniem tego ułamka: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{\dfrac{19}{4}} &= 1 : \dfrac{19}{4} \\[8pt] &= 1 \cdot \dfrac{4}{19} \\[8pt] &= \dfrac{4}{19} \end{aligned}$$
Obliczenie głównego mianownika:
Wstawiamy otrzymany wynik do mianownika głównego ułamka i wykonujemy odejmowanie $6 - \dfrac{4}{19}$, sprowadzając liczbę $6$ do mianownika $19$: $$\begin{aligned} 6 - \dfrac{4}{19} &= \dfrac{6 \cdot 19}{19} - \dfrac{4}{19} \\[8pt] &= \dfrac{114}{19} - \dfrac{4}{19} \\[8pt] &= \dfrac{110}{19} \end{aligned}$$
Wyznaczenie postaci ułamka zwykłego całej liczby:
Całe wyrażenie przyjmuje postać: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{6 - \dfrac{1}{5 - \dfrac{1}{4}}} &= \dfrac{1}{\dfrac{110}{19}} \\[8pt] &= 1 : \dfrac{110}{19} \\[8pt] &= \dfrac{19}{110} \end{aligned}$$
Zamiana ułamka zwykłego na rozwinięcie dziesiętne:
Aby uzyskać postać dziesiętną liczby $\dfrac{19}{110}$, możemy postąpić na dwa sposoby:

Sposób I – Dzielenie pisemne licznika przez mianownik:
Dzielimy $19$ przez $110$:
- $19 : 110 = 0$, reszta $19$ (stawiamy przecinek i dopisujemy zero do reszty: $190$),
- $190 : 110 = 1$, bo $1 \cdot 110 = 110$, reszta $190 - 110 = 80$ (dopisujemy zero: $800$),
- $800 : 110 = 7$, bo $7 \cdot 110 = 770$, reszta $800 - 770 = 30$ (dopisujemy zero: $300$),
- $300 : 110 = 2$, bo $2 \cdot 110 = 220$, reszta $300 - 220 = 80$ (dopisujemy zero: $800$),
- Reszta $80$ powtórzyła się, co oznacza, że układ reszt i cyfr $7, 2$ będzie zapętlał się w nieskończoność.
Stąd: $$\dfrac{19}{110} = 0{,}1727272\dots = 0{,}1(72)$$
Sposób II – Przekształcenie algebraiczne mianownika:
Wyłączamy czynnik $\dfrac{1}{10}$ przed ułamek i rozszerzamy pozostały ułamek przez $9$, aby w mianowniku uzyskać liczbę $99$: $$\begin{aligned} \dfrac{19}{110} &= \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{19}{11} \\[8pt] &= \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{19 \cdot 9}{11 \cdot 9} \\[8pt] &= \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{171}{99} \\[8pt] &= \dfrac{1}{10} \cdot \left(1 + \dfrac{72}{99}\right) \end{aligned}$$ Ułamek $\dfrac{72}{99}$ odpowiada okresowi $0{,}(72)$, zatem: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{10} \cdot 1{,}(72) &= 0{,}1(72) \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Rozwinięcie dziesiętne podanej liczby wynosi $0{,}1(72)$ (czyli $0{,}17272\dots$).

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz $\dfrac{5}{2\sqrt{2}} - 3\sqrt{2}$.

Wskazówki:

Aby odjąć od siebie te wyrażenia, możesz najpierw usunąć niewymierność z mianownika pierwszego ułamka, mnożąc jego licznik oraz mianownik przez $\sqrt{2}$.
Po usunięciu niewymierności sprowadź obie liczby do wspólnego mianownika (którym będzie liczba 4).
Alternatywną drogą jest sprowadzenie od razu obu składników do wspólnego mianownika równego $2\sqrt{2}$ i usunięcie pierwiastka z mianownika na samym końcu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Usunięcie niewymierności z mianownika i wspólny mianownik:
Wychodzimy od wyrażenia podanego w poleceniu: $$\dfrac{5}{2\sqrt{2}} - 3\sqrt{2}$$ Usuwamy pierwiastek z mianownika ułamka $\dfrac{5}{2\sqrt{2}}$, rozszerzając go przez $\sqrt{2}$: $$\begin{aligned} \dfrac{5}{2\sqrt{2}} &= \dfrac{5 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\[8pt] &= \dfrac{5\sqrt{2}}{2 \cdot 2} \\[8pt] &= \dfrac{5\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$ Zapisujemy drugi składnik $3\sqrt{2}$ w postaci ułamka o mianowniku 4: $$3\sqrt{2} = \dfrac{3\sqrt{2} \cdot 4}{4} = \dfrac{12\sqrt{2}}{4}$$ Odejmujemy ułamki o jednakowych mianownikach: $$\begin{aligned} \dfrac{5}{2\sqrt{2}} - 3\sqrt{2} &= \dfrac{5\sqrt{2}}{4} - \dfrac{12\sqrt{2}}{4} \\[8pt] &= \dfrac{5\sqrt{2} - 12\sqrt{2}}{4} \\[8pt] &= \dfrac{(5 - 12)\sqrt{2}}{4} \\[8pt] &= -\dfrac{7\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$
Sposób II – Sprowadzenie do wspólnego mianownika przed usunięciem niewymierności:
Wychodzimy od wyjściowego wyrażenia: $$\dfrac{5}{2\sqrt{2}} - 3\sqrt{2}$$ Zapisujemy liczbę $3\sqrt{2}$ jako ułamek $\dfrac{3\sqrt{2}}{1}$ i rozszerzamy go do wspólnego mianownika $2\sqrt{2}$: $$\begin{aligned} 3\sqrt{2} &= \dfrac{3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\[8pt] &= \dfrac{6 \cdot 2}{2\sqrt{2}} \\[8pt] &= \dfrac{12}{2\sqrt{2}} \end{aligned}$$ Wykonujemy odejmowanie w liczniku: $$\begin{aligned} \dfrac{5}{2\sqrt{2}} - \dfrac{12}{2\sqrt{2}} &= \dfrac{5 - 12}{2\sqrt{2}} \\[8pt] &= -\dfrac{7}{2\sqrt{2}} \end{aligned}$$ W ostatnim kroku usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{2}$: $$\begin{aligned} -\dfrac{7}{2\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} &= -\dfrac{7\sqrt{2}}{2 \cdot 2} \\[8pt] &= -\dfrac{7\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Wartość wyrażenia wynosi $-\dfrac{7\sqrt{2}}{4}$ (lub $-1\dfrac{3}{4}\sqrt{2}$).

Zadanie 5 (3 pkt)

Oblicz: $$\text{a) }\sqrt[3]{-\dfrac{8}{125}} \qquad\qquad \text{b) }\sqrt[3]{216} - \sqrt[3]{1\dfrac{61}{64}} \qquad\qquad \text{c) }\dfrac{\sqrt[3]{-4} \cdot \sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{-2}}$$

Wskazówki:

Zwróć uwagę na stopień pierwiastka: pierwiastek stopnia trzeciego (nieparzystego) z liczby ujemnej istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych i spełnia zależność $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$.
W podpunkcie b) przed wykonaniem pierwiastkowania zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, a dużą liczbę całkowitą rozłóż na czynniki pierwsze.
W podpunkcie c) wykorzystaj regułę działań na pierwiastkach tego samego stopnia: iloczyn i iloraz pierwiastków sześciennych można zapisać pod jednym wspólnym znakiem pierwiastka.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie wartości wyrażenia $\sqrt[3]{-\dfrac{8}{125}}$:
Dane jest wyrażenie wyjściowe: $$\sqrt[3]{-\dfrac{8}{125}}$$ Pierwiastek stopnia nieparzystego pozwala na wyłączenie znaku minus przed znak pierwiastka: $$\sqrt[3]{-\dfrac{8}{125}} = -\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}}$$ Korzystamy ze wzoru na pierwiastek z ilorazu $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$: $$\begin{aligned} -\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}} &= -\dfrac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} \\[8pt] &= -\dfrac{2}{5} \end{aligned}$$ ponieważ $2^3 = 8$ oraz $5^3 = 125$.
Podpunkt b) Obliczenie wartości wyrażenia $\sqrt[3]{216} - \sqrt[3]{1\dfrac{61}{64}}$:
Dane jest wyrażenie wyjściowe: $$\sqrt[3]{216} - \sqrt[3]{1\dfrac{61}{64}}$$ Najpierw wyznaczamy wartość pierwszego składnika $\sqrt[3]{216}$. Rozkładamy liczbę $216$ na czynniki pierwsze za pomocą metody pionowej kreski: $$\begin{array}{r|l} 216 & 2 \\ 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$$ Z rozkładu otrzymujemy: $$\begin{aligned} 216 &= 2^3 \cdot 3^3 \\[8pt] &= (2 \cdot 3)^3 \\[8pt] &= 6^3 \end{aligned}$$ Zatem: $$\sqrt[3]{216} = 6$$ Przechodzimy do drugiego składnika $\sqrt[3]{1\dfrac{61}{64}}$. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $$\begin{aligned} 1\dfrac{61}{64} &= \dfrac{1 \cdot 64 + 61}{64} \\[8pt] &= \dfrac{64 + 61}{64} \\[8pt] &= \dfrac{125}{64} \end{aligned}$$ Pierwiastkujemy osobno licznik i mianownik: $$\begin{aligned} \sqrt[3]{1\dfrac{61}{64}} &= \sqrt[3]{\dfrac{125}{64}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}} \\[8pt] &= \dfrac{5}{4} \end{aligned}$$ Odejmujemy otrzymane wartości, sprowadzając liczbę $6$ do wspólnego mianownika $4$: $$\begin{aligned} \sqrt[3]{216} - \sqrt[3]{1\dfrac{61}{64}} &= 6 - \dfrac{5}{4} \\[8pt] &= \dfrac{24}{4} - \dfrac{5}{4} \\[8pt] &= \dfrac{19}{4} \\[8pt] &= 4\dfrac{3}{4} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczenie wartości wyrażenia $\dfrac{\sqrt[3]{-4} \cdot \sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{-2}}$:
Dane jest wyrażenie wyjściowe: $$\dfrac{\sqrt[3]{-4} \cdot \sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{-2}}$$ Zadanie to można rozwiązać na dwa sposoby:

Sposób I – Połączenie działań pod jeden wspólny pierwiastek:
Ponieważ wszystkie pierwiastki są tego samego stopnia ($3$), stosujemy prawa działań na pierwiastkach $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}$ oraz $\dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}$: $$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt[3]{-4} \cdot \sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{-2}} &= \sqrt[3]{\dfrac{(-4) \cdot 32}{-2}} \\[8pt] &= \sqrt[3]{\dfrac{-128}{-2}} \\[8pt] &= \sqrt[3]{64} \\[8pt] &= 4 \end{aligned}$$
Sposób II – Wyłączenie znaków minus i uproszczenie ilorazu:
Wyciągamy znak minus z pierwiastków liczb ujemnych: $\sqrt[3]{-4} = -\sqrt[3]{4}$ oraz $\sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$: $$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt[3]{-4} \cdot \sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{-2}} &= \dfrac{-\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{32}}{-\sqrt[3]{2}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{2}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[3]{32} \\[8pt] &= \sqrt[3]{\dfrac{4}{2}} \cdot \sqrt[3]{32} \\[8pt] &= \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{32} \\[8pt] &= \sqrt[3]{2 \cdot 32} \\[8pt] &= \sqrt[3]{64} \\[8pt] &= 4 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $-\dfrac{2}{5}$

b) $4\dfrac{3}{4}$ $\left(\text{lub } \dfrac{19}{4}\right)$

c) $4$

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Znajdź liczbę przeciwną do liczby $\frac{(-\frac{3}{4})(5 - 8 \cdot 1\frac{1}{2})}{4,2 + 2,5 : \frac{5}{6}}$. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.