Ruch prostoliniowy sprawdzian

1 Ruch prostoliniowy

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Moneta spadła z parapetu okiennego i po odbiciu od podłogi wzniosła się na wysokość $h = 10\text{ cm}$. Wysokość parapetu $h_p = 90\text{ cm}$. Podaj współrzędną położenia monety:

a) gdy leżała na parapecie,

b) w chwili zetknięcia z podłogą,

c) gdy wzniosła się na wysokość maksymalną.

Skieruj oś liczbową pionowo w górę i przyjmij punkt zero osi na powierzchni parapetu.

Wskazówki:

Układ odniesienia i zwrot osi: Współrzędna położenia to liczba określająca odległość ciała od początku osi wraz ze znakiem. Zwrot osi wskazuje kierunek wartości rosnących (dodatnich). Skoro oś $y$ jest skierowana pionowo w górę, a punkt $0$ leży na parapecie, to wszystkie poziomy położone powyżej parapetu mają współrzędne dodatnie ($y > 0$), a wszystkie punkty znajdujące się poniżej parapetu mają współrzędne ujemne ($y < 0$).
Współrzędna a odległość: Odległość (droga) jest wielkością zawsze nieujemną ($d \ge 0$), natomiast współrzędna położenia w zdefiniowanym układzie odniesienia może być ujemna. Podłoga znajduje się $90\text{ cm}$ poniżej poziomu odniesienia, dlatego jej współrzędna wynosi $-90\text{ cm}$, a nie $+90\text{ cm}$.
Uwaga na typowy błąd w wyznaczaniu wysokości maksymalnej: Najczęstszym błędem jest zapisanie współrzędnej jako $+10\text{ cm}$ (mylenie położenia względem podłogi z położeniem względem parapetu) albo jako $-100\text{ cm}$ (błędne odjęcie wysokości odbicia od poziomu podłogi). Moneta po odbiciu porusza się w górę (w kierunku dodatnim osi $y$), zatem do współrzędnej podłogi należy dodać wysokość wzniesienia: $y_3 = y_2 + h = -90\text{ cm} + 10\text{ cm} = -80\text{ cm}$.

Dane i szukane:

Dane:
Wysokość parapetu okiennego: $h_p = 90\text{ cm} = 0{,}9\text{ m}$
Wysokość wzniesienia monety po odbiciu od podłogi: $h = 10\text{ cm} = 0{,}1\text{ m}$
Początek układu współrzędnych: powierzchnia parapetu ($y = 0$)
Zwrot osi pionowej: w górę ($\uparrow$)

Szukane:
Współrzędna położenia monety na parapecie: $y_1 = ?$
Współrzędna położenia monety na podłodze: $y_2 = ?$
Współrzędna położenia monety na maksymalnej wysokości po odbiciu: $y_3 = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i ustalenie układu odniesienia:
Wprowadzamy pionową oś liczbową $y$ ze zwrotem skierowanym w górę. Zgodnie z treścią zadania punkt zerowy $y = 0$ ustalamy na powierzchni parapetu okiennego. Poziom podłogi znajduje się w odległości $h_p = 90\text{ cm}$ poniżej parapetu, a moneta po odbiciu pokonuje w górę odległość $h = 10\text{ cm}$.
a) Wyznaczamy współrzędną położenia monety, gdy leżała na parapecie:
Powierzchnia parapetu została wybrana jako początek układu współrzędnych. Oznacza to, że dowolne ciało spoczywające na parapecie znajduje się dokładnie w punkcie zero osi: $$y_1 = 0\text{ cm} = 0\text{ m}$$
b) Wyznaczamy współrzędną położenia monety w chwili zetknięcia z podłogą:
Podłoga znajduje się w pionowej odległości $h_p = 90\text{ cm}$ poniżej punktu zerowego. Ponieważ oś $y$ jest skierowana ku górze, przesunięcie w dół od punktu zero odpowiada wartości ujemnej: $$y_2 = 0 - h_p = -90\text{ cm} = -0{,}9\text{ m}$$ Pamiętajmy, że podanie wartości $+90\text{ cm}$ byłoby błędem, gdyż oznaczałoby punkt położony $90\text{ cm}$ powyżej parapetu (w stronę sufitu).
c) Wyznaczamy współrzędną położenia monety po wzniesieniu się na wysokość maksymalną:
Moneta odbija się od podłogi (której współrzędna wynosi $y_2 = -90\text{ cm}$) i unosi pionowo w górę na wysokość $h = 10\text{ cm}$. Ruch w górę odbywa się zgodnie ze zwrotem osi liczbowej, dlatego do współrzędnej podłogi dodajemy pokonaną odległość: $$\begin{aligned} y_3 &= y_2 + h \\[8pt] &= -90\text{ cm} + 10\text{ cm} \\[8pt] &= -80\text{ cm} = -0{,}8\text{ m} \end{aligned}$$ Kategorycznie nie wolno odejmować tej wartości od współrzędnej podłogi ($-90\text{ cm} - 10\text{ cm} = -100\text{ cm}$), ponieważ oznaczałoby to przemieszczenie pod powierzchnię podłogi. Nie wolno też przyjąć wartości $+10\text{ cm}$, ponieważ wysokość $h = 10\text{ cm}$ mierzona jest od podłogi, a nie od parapetu.
Rysunek wynikowy – naniesienie wyznaczonych położeń na oś współrzędnych:
Przedstawiamy uzyskane współrzędne na osi liczbowej wyskalowanej w centymetrach (przyjmując 1 kratkę = $10\text{ cm}$):

Odpowiedź:
a) $y_1 = 0\text{ cm}$ (lub $0\text{ m}$)

b) $y_2 = -90\text{ cm}$ (lub $-0{,}9\text{ m}$)

c) $y_3 = -80\text{ cm}$ (lub $-0{,}8\text{ m}$)

Zadanie 2 (3 pkt)

Samochód stoi $15\text{ m}$ przed znakiem drogowym. Kierowca zaczyna manewrować samochodem. Kolejne współrzędne przemieszczeń mają wartości $\Delta x_1 = -30\text{ m}$, $\Delta x_2 = 10\text{ m}$, $\Delta x_3 = -20\text{ m}$. Oblicz współrzędną całkowitego przemieszczenia samochodu, jego położenie po zakończeniu manewru i drogę, jaką w tym czasie przejechał. Przyjmij, że znak drogowy znajduje się w początku układu współrzędnych, a współrzędna początkowego położenia samochodu jest dodatnia.

Wskazówki:

Przemieszczenie a droga: Przemieszczenie $\Delta x$ to wielkość wektorowa opisująca bezpośrednią zmianę położenia ciała między punktem startowym a końcowym. W ruchu jednowymiarowym jego współrzędna ma znak, który wskazuje zwrot wektora względem osi. Droga $s$ jest skalarem określającym całkowitą długość przebytej trasy – jest zawsze wielkością nieujemną ($s \ge 0$) i narasta z każdym pokonanym metrem.
Uwaga na kardynalne błędy:
- Kategorycznie nie wolno sumować przemieszczeń ze znakami przy obliczaniu przebytej drogi (np. pisząc $s = -30\text{ m} + 10\text{ m} - 20\text{ m} = -40\text{ m}$). Droga nigdy nie może być ujemna. Gdy pojazd zmienia zwrot ruchu, drogi przebyte w poszczególnych etapach są równe wartościom bezwzględnym odpowiednich przemieszczeń: $s = |\Delta x_1| + |\Delta x_2| + |\Delta x_3|$.
- Nie wolno dodawać współrzędnej położenia początkowego ($15\text{ m}$) do przebytej drogi. Liczba ta określa jedynie miejsce, w którym samochód stał przed ruszeniem, a nie dystans przejechany w trakcie manewru.

Dane i szukane:

Dane:
$x_z = 0\text{ m}$ (położenie znaku drogowego w początku osi współrzędnych)
$x_1 = 15\text{ m}$ (początkowe położenie samochodu)
$\Delta x_1 = -30\text{ m}$ (przemieszczenie w pierwszym etapie manewru)
$\Delta x_2 = 10\text{ m}$ (przemieszczenie w drugim etapie manewru)
$\Delta x_3 = -20\text{ m}$ (przemieszczenie w trzecim etapie manewru)

Szukane:
$\Delta x_c = ?$ (współrzędna całkowitego przemieszczenia samochodu)
$x_2 = ?$ (położenie samochodu po zakończeniu manewru)
$s = ?$ (całkowita droga przebyta przez samochód)

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Wprowadzamy prostoliniową oś współrzędnych $Ox$ zwróconą w prawo. Zgodnie z założeniem znak drogowy stanowi początek układu ($x_z = 0\text{ m}$). Samochód w stanie początkowym stoi po dodatniej stronie osi w odległości $15\text{ m}$ od znaku, co oznacza współrzędną $x_1 = 15\text{ m}$.
Obliczenie współrzędnej całkowitego przemieszczenia samochodu $\Delta x_c$:
Całkowite przemieszczenie w ruchu jednowymiarowym jest sumą poszczególnych przemieszczeń cząstkowych z zachowaniem ich znaków: $$\Delta x_c = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3$$ Wstawiamy wartości liczbowe: $$\begin{aligned} \Delta x_c &= -30\text{ m} + 10\text{ m} + (-20\text{ m}) \\[8pt] &= -30\text{ m} + 10\text{ m} - 20\text{ m} \\[8pt] &= -40\text{ m} \end{aligned}$$ Znak minus informuje, że wektor wypadkowego przemieszczenia ma zwrot przeciwny do zwrotu osi $Ox$ (w lewo).
Wyznaczenie położenia samochodu po zakończeniu manewru $x_2$:
Położenie końcowe możemy obliczyć na dwa równoważne sposoby.

Sposób I – Wykorzystanie całkowitego przemieszczenia:
Współrzędna przemieszczenia to różnica między położeniem końcowym a początkowym: $$\Delta x_c = x_2 - x_1$$ Wyznaczamy $x_2$, dodając $x_1$ do obu stron: $$\begin{aligned} x_2 &= x_1 + \Delta x_c \\[8pt] &= 15\text{ m} + (-40\text{ m}) \\[8pt] &= -25\text{ m} \end{aligned}$$ Sposób II – Śledzenie położenia po każdym kolejnym manewrze:
Obliczamy położenie samochodu po kolei na każdym etapie: $$\begin{aligned} x_I &= x_1 + \Delta x_1 = 15\text{ m} + (-30\text{ m}) = -15\text{ m} \\[8pt] x_{II} &= x_I + \Delta x_2 = -15\text{ m} + 10\text{ m} = -5\text{ m} \\[8pt] x_2 &= x_{II} + \Delta x_3 = -5\text{ m} + (-20\text{ m}) = -25\text{ m} \end{aligned}$$ Samochód po zakończeniu manewru znajduje się na współrzędnej $x_2 = -25\text{ m}$, czyli $25\text{ m}$ za znakiem drogowym (po lewej stronie znaku).
Obliczenie całkowitej drogi $s$ przebytej przez samochód:
Droga $s$ jest skalarną sumą długości przebytych odcinków. W każdym z trzech etapów samochód poruszał się po linii prostej w stałym zwrocie, dlatego droga w danym etapie jest równa wartości bezwzględnej (długości) odpowiedniego wektora przemieszczenia: $$\begin{aligned} s_1 &= |\Delta x_1| = |-30\text{ m}| = 30\text{ m} \\[8pt] s_2 &= |\Delta x_2| = |10\text{ m}| = 10\text{ m} \\[8pt] s_3 &= |\Delta x_3| = |-20\text{ m}| = 20\text{ m} \end{aligned}$$ Całkowita droga wynosi zatem: $$\begin{aligned} s &= s_1 + s_2 + s_3 \\[8pt] &= |\Delta x_1| + |\Delta x_2| + |\Delta x_3| \\[8pt] &= 30\text{ m} + 10\text{ m} + 20\text{ m} \\[8pt] &= 60\text{ m} \end{aligned}$$
Rysunek wynikowy – trajektoria i etapy manewru na osi liczbowej:
Poniższy szkic przedstawia kolejne przemieszczenia cząstkowe, punkt startowy, nawroty, położenie końcowe oraz wypadkowe przemieszczenie $\Delta x_c$:

Odpowiedź:
Współrzędna całkowitego przemieszczenia: $\Delta x_c = -40\text{ m}$

Położenie po zakończeniu manewru: $x_2 = -25\text{ m}$

Całkowita przebyta droga: $s = 60\text{ m}$

Zadanie 3 (3 pkt)

Rowerzysta przebył odcinek trasy o długości $l_1 = 40\text{ km}$ w czasie $t_1 = 1\text{ h } 20\text{ min}$. W jakim czasie $t_2$ i z jaką średnią wartością prędkości $v_{2\text{śr}}$ rowerzysta przejechał następny odcinek o długości $l_2 = 60\text{ km}$, jeżeli pokonał całą trasę ze średnią wartością prędkości $v_{\text{śr}} = 25\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$?

Wskazówki:

Definicja prędkości średniej w fizyce to stosunek całkowitej drogi do całkowitego czasu ruchu: $v_{\text{śr}} = \dfrac{l_c}{t_c} = \dfrac{l_1 + l_2}{t_1 + t_2}$.
Ostrzeżenie przed typowym błędem (Czego nie wolno robić): Kategorycznie nie wolno wyznaczać prędkości średniej ze średniej arytmetycznej prędkości na poszczególnych etapach, czyli ze wzoru $v_{\text{śr}} = \dfrac{v_{1\text{śr}} + v_{2\text{śr}}}{2}$. Średnia arytmetyczna jest poprawna wyłącznie wtedy, gdy czasy trwania obu etapów są identyczne ($t_1 = t_2$). W każdym innym przypadku prowadzi do fałszywego wyniku, ponieważ nie uwzględnia wagi czasowej poszczególnych prędkości.
Prawidłowa zamiana jednostek czasu: Minuty należy przeliczyć na ułamek godziny. Błędem jest zapis $1\text{ h } 20\text{ min} = 1{,}2\text{ h}$, ponieważ godzina dzieli się na 60 minut, a nie na 100. Prawidłowa konwersja to $1\text{ h } 20\text{ min} = 1\dfrac{20}{60}\text{ h} = 1\dfrac{1}{3}\text{ h} = \dfrac{4}{3}\text{ h}$.

Dane i szukane:

Dane:
$l_1 = 40\text{ km}$
$t_1 = 1\text{ h } 20\text{ min} = 1\dfrac{1}{3}\text{ h} = \dfrac{4}{3}\text{ h}$
$l_2 = 60\text{ km}$
$v_{\text{śr}} = 25\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Szukane:
$t_2 = ?$
$v_{2\text{śr}} = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego trasy:
Cała trasa rowerzysty dzieli się na dwa kolejne odcinki o długościach $l_1 = 40\text{ km}$ oraz $l_2 = 60\text{ km}$. Znamy czas pokonania pierwszego etapu oraz średnią prędkość z całej podróży. Wielkości dotyczące drugiego etapu ($t_2$ i $v_{2\text{śr}}$) pozostają niewiadomymi.
Sposób I – Wyznaczenie całkowitego czasu podróży i parametrów drugiego etapu:
Sumaryczna długość trasy pokonanej przez rowerzystę wynosi: $$l_c = l_1 + l_2 = 40\text{ km} + 60\text{ km} = 100\text{ km}$$ Korzystając z definicji średniej wartości prędkości na całej trasie, wyznaczamy łączny czas ruchu $t_c$: $$\begin{aligned} v_{\text{śr}} &= \dfrac{l_c}{t_c} \\[8pt] t_c &= \dfrac{l_c}{v_{\text{śr}}} \\[8pt] &= \dfrac{100\text{ km}}{25\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 4\text{ h} \end{aligned}$$ Łączny czas jest sumą czasów poszczególnych etapów ($t_c = t_1 + t_2$). Obliczamy czas trwania drugiego etapu $t_2$: $$\begin{aligned} t_2 &= t_c - t_1 \\[8pt] &= 4\text{ h} - \dfrac{4}{3}\text{ h} \\[8pt] &= \dfrac{12}{3}\text{ h} - \dfrac{4}{3}\text{ h} \\[8pt] &= \dfrac{8}{3}\text{ h} = 2\dfrac{2}{3}\text{ h} = 2\text{ h } 40\text{ min} \end{aligned}$$ Mając długość drugiego odcinka oraz czas jego pokonania, obliczamy średnią wartość prędkości na tym odcinku: $$\begin{aligned} v_{2\text{śr}} &= \dfrac{l_2}{t_2} \\[8pt] &= \dfrac{60\text{ km}}{\frac{8}{3}\text{ h}} \\[8pt] &= 60 \cdot \dfrac{3}{8}\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \\[8pt] &= \dfrac{180}{8}\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = \dfrac{45}{2}\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 22{,}5\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \end{aligned}$$
Sposób II – Wyznaczenie czasu $t_2$ bezpośrednio z równania prędkości średniej:
Zapisujemy definicję prędkości średniej dla całej trasy w postaci jednego równania z niewiadomą $t_2$: $$v_{\text{śr}} = \dfrac{l_1 + l_2}{t_1 + t_2}$$ Wstawiamy wartości liczbowe: $$25 = \dfrac{40 + 60}{\frac{4}{3} + t_2}$$ $$25 = \dfrac{100}{\frac{4}{3} + t_2}$$ Mnożymy obie strony równania przez mianownik $\left(\dfrac{4}{3} + t_2\right)$: $$\begin{aligned} 25 \cdot \left(\dfrac{4}{3} + t_2\right) &= 100 \\[8pt] \dfrac{4}{3} + t_2 &= \dfrac{100}{25} \\[8pt] \dfrac{4}{3} + t_2 &= 4 \\[8pt] t_2 &= 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}\text{ h} = 2\text{ h } 40\text{ min} \end{aligned}$$ Średnią prędkość na drugim etapie wyznaczamy bezpośrednio ze wzoru: $$v_{2\text{śr}} = \dfrac{l_2}{t_2} = \dfrac{60\text{ km}}{\frac{8}{3}\text{ h}} = 22{,}5\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$$
Rysunek wynikowy z kompletem wyznaczonych wielkości:
Po przeprowadzeniu obliczeń wszystkie parametry ruchu rowerzysty na poszczególnych etapach oraz na całej trasie są jednoznacznie określone:

Odpowiedź:
Rowerzysta przejechał drugi odcinek w czasie $t_2 = 2\text{ h } 40\text{ min} = \dfrac{8}{3}\text{ h}$ ze średnią wartością prędkości $v_{2\text{śr}} = 22{,}5\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Zadanie 4 (5 pkt)

Ruch samochodu na prostoliniowym odcinku drogi opisuje równanie: $x = 150 + 12t$. Wielkości w równaniu są podane w jednostkach układu SI.

a) Podaj współrzędną położenia początkowego (w chwili $t_0 = 0$) i prędkość samochodu.

b) Po jakim czasie współrzędna jego położenia wyniesie $x = 210\text{ m}$.

c) W jakim czasie samochód przejedzie drogę $s = 360\text{ m}$ i jaka będzie współrzędna jego położenia końcowego.

Wskazówki:

Ogólna postać równania ruchu jednostajnego prostoliniowego to $x(t) = x_1 + v \cdot t$. Porównując dane równanie z równaniem ogólnym, bezpośrednio odczytasz parametry ruchu pojazdu.
Uwaga na typowy błąd w podpunkcie c: Kategorycznie nie wolno mylić współrzędnej położenia $x$ z przebytą drogą $s$. Podstawienie wartości $s = 360\text{ m}$ bezpośrednio za $x$ do wzoru ($360 = 150 + 12t$) jest fundamentalnym błędem merytorycznym – dałoby to czas dotarcia do punktu o współrzędnej $360\text{ m}$ ($t = 17{,}5\text{ s}$), a nie czas pokonania drogi $360\text{ m}$. Samochód startuje z punktu $x_1 = 150\text{ m}$, dlatego jego położenie końcowe wynosi $x_2 = x_1 + s$.

Dane i szukane:

Dane ogólne:
Równanie ruchu: $x(t) = 150 + 12t$ (w jednostkach SI: $[x] = \text{m}$, $[t] = \text{s}$)

Dane i szukane do poszczególnych części:
a) Dane: $t_1 = 0\text{ s}$; Szukane: $x_1 = ?$, $v = ?$
b) Dane: $x = 210\text{ m}$; Szukane: $t = ?$
c) Dane: $s = 360\text{ m}$; Szukane: $t = ?$, $x_2 = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i interpretacja fizyczna równania w stanie początkowym:
Równanie ma postać liniową względem czasu $t$, co oznacza, że samochód porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. W chwili początkowej $t_1 = 0\text{ s}$ pojazd nie znajduje się w początku układu odniesienia ($0$), lecz w punkcie o współrzędnej $x_1 = 150\text{ m}$ i przemieszcza się w prawo (w stronę rosnących wartości osi $x$).
a) Wyznaczamy współrzędną położenia początkowego oraz prędkość samochodu z równania $x = 150 + 12t$:
W ruchu jednostajnym prostoliniowym zależność położenia od czasu określa wzór ogólny: $$x(t) = x_1 + v \cdot t$$ Zestawiając równanie ogólne z równaniem z treści zadania: $$\begin{aligned} x(t) &= 150 + 12t \\[8pt] x(t) &= x_1 + v \cdot t \end{aligned}$$ Odczytujemy bezpośrednio:
- Wyraz wolny odpowiada położeniu w chwili początkowej $t_1 = 0\text{ s}$: $$x_1 = 150\text{ m}$$ - Współczynnik stojący przy czasie $t$ to prędkość pojazdu: $$v = 12\text{ m/s}$$
b) Obliczamy czas, po którym współrzędna położenia wyniesie $x = 210\text{ m}$:
Wstawiamy wartość położenia $x = 210\text{ m}$ do równania ruchu: $$210 = 150 + 12t$$ Odejmujemy $150$ od obu stron równania: $$\begin{aligned} 12t &= 210 - 150 \\[8pt] 12t &= 60 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez współczynnik przy niewiadomej, czyli $12$: $$t = \dfrac{60}{12} = 5\text{ s}$$ Współrzędna położenia samochodu osiągnie wartość $210\text{ m}$ po upływie $5\text{ s}$.
c) Wyznaczamy czas przebycia drogi $s = 360\text{ m}$ oraz współrzędną położenia końcowego $x_2$:
Zadanie można rozwiązać dwoma równoważnymi sposobami.

Sposób I – Wykorzystanie wzoru na drogę w ruchu jednostajnym:
W ruchu jednostajnym prostoliniowym droga pokonana przez pojazd wyraża się wzorem: $$s = v \cdot t$$ Przekształcamy wzór, wyznaczając czas $t$: $$t = \dfrac{s}{v}$$ Podstawiamy dane: $$t = \dfrac{360\text{ m}}{12\text{ m/s}} = 30\text{ s}$$ Ponieważ samochód rozpoczął ruch w punkcie $x_1 = 150\text{ m}$ i przemieszczał się zgodnie ze zwrotem osi, jego położenie końcowe to suma położenia początkowego i przebytej drogi: $$x_2 = x_1 + s = 150\text{ m} + 360\text{ m} = 510\text{ m}$$
Sposób II – Wyznaczenie położenia końcowego ze zmiany współrzędnej:
Przebyta droga w ruchu jednokierunkowym jest równa zmianie położenia: $$s = \Delta x = x_2 - x_1$$ Wyznaczamy bezpośrednio współrzędną końcową $x_2$: $$x_2 = x_1 + s = 150 + 360 = 510\text{ m}$$ Wstawiamy wyznaczone położenie $x_2 = 510\text{ m}$ do wyjściowego równania ruchu, aby wyznaczyć czas: $$\begin{aligned} 510 &= 150 + 12t \\[8pt] 12t &= 510 - 150 \\[8pt] 12t &= 360 \\[8pt] t &= \dfrac{360}{12} = 30\text{ s} \end{aligned}$$ Obie metody prowadzą do identycznego wyniku: pokonanie drogi $360\text{ m}$ zajmuje $30\text{ s}$, a położenie końcowe wynosi $510\text{ m}$.

Odpowiedź:
a) Położenie początkowe wynosi $x_1 = 150\text{ m}$, a prędkość samochodu to $v = 12\text{ m/s}$.

b) Współrzędna położenia wyniesie $x = 210\text{ m}$ po czasie $t = 5\text{ s}$.

c) Samochód przejedzie drogę $s = 360\text{ m}$ w czasie $t = 30\text{ s}$, a współrzędna jego położenia końcowego wyniesie $x_2 = 510\text{ m}$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Samochód ruszając z miejsca pokonuje dystans $l = 500\text{ m}$ w czasie $t = 30\text{ s}$. Przez pierwsze $t_1 = 10\text{ s}$ jedzie ze stałym przyspieszeniem, a potem ze stałą prędkością dojeżdża do celu. Oblicz przyspieszenie samochodu w pierwszej części trasy i prędkość, z jaką dociera do celu.

Wskazówki:

Ruch samochodu jest ruchem złożonym z dwóch kolejnych etapów: I etap to ruch jednostajnie przyspieszony bez prędkości początkowej ($v_1 = 0$), a II etap to ruch jednostajny z prędkością docelową $v_2$. Całkowity dystans to suma dróg przebytych w obu fazach: $l = s_1 + s_2$.
Uwaga na typowy błąd 1 (Traktowanie całego ruchu jako jednostajnie przyspieszonego): Kategorycznie nie wolno podstawiać całkowitego czasu $t = 30\text{ s}$ i całkowitej drogi $l = 500\text{ m}$ do wzoru $l = \dfrac{a \cdot t^2}{2}$. Samochód przyspieszał wyłącznie przez pierwsze $10\text{ s}$, a przez pozostałe $20\text{ s}$ jego przyspieszenie wynosiło zero. Błędne założenie doprowadziłoby do nieprawdziwej wartości $a \approx 1{,}11\text{ m/s}^2$.
Uwaga na typowy błąd 2 (Utożsamianie prędkości średniej z prędkością końcową): Wyrażenie $\dfrac{l}{t} = \dfrac{500\text{ m}}{30\text{ s}} \approx 16{,}67\text{ m/s}$ to prędkość średnia z całego ruchu. Prędkość docelowa w ruchu jednostajnym musi być większa od prędkości średniej, ponieważ pojazd na początku ruszał od zera.

Dane i szukane:

Dane:
$l = 500\text{ m}$ – całkowita przebyta droga
$t = 30\text{ s}$ – całkowity czas trwania ruchu
$t_1 = 10\text{ s}$ – czas trwania I etapu (ruch jednostajnie przyspieszony)
$v_1 = 0\text{ m/s}$ – prędkość początkowa (samochód rusza z miejsca)

Szukane:
$a = ?$ – przyspieszenie samochodu w I etapie trasy
$v_2 = ?$ – prędkość samochodu w II etapie oraz w chwili dotarcia do celu

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza etapów ruchu:
Czas trwania drugiego etapu trasy (ruchu jednostajnego) wynosi: $$t_2 = t - t_1 = 30\text{ s} - 10\text{ s} = 20\text{ s}$$ W pierwszym etapie pojazd przyspiesza od zera ze stałym przyspieszeniem $a$, uzyskując na końcu tego etapu prędkość docelową: $$v_2 = v_1 + a \cdot t_1 = a \cdot t_1$$ Z tą prędkością samochód kontynuuje ruch jednostajny przez czas $t_2$ aż do osiągnięcia celu.
Sposób I – Metoda analityczna (algebraiczna):
Wyznaczamy wzory na drogę przebytą w każdym z etapów. W pierwszym etapie droga dana jest wzorem na ruch jednostajnie przyspieszony bez prędkości początkowej: $$s_1 = \dfrac{a \cdot t_1^2}{2} = \dfrac{(a \cdot t_1) \cdot t_1}{2} = \dfrac{v_2 \cdot t_1}{2}$$ Wstawiając czas $t_1 = 10\text{ s}$: $$s_1 = \dfrac{v_2 \cdot 10}{2} = 5 \cdot v_2$$ W drugim etapie ruch jest jednostajny ze stałą prędkością $v_2$ przez czas $t_2 = 20\text{ s}$: $$s_2 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot 20 = 20 \cdot v_2$$ Całkowita droga jest sumą dróg z obu odcinków: $$\begin{aligned} l &= s_1 + s_2 \\[8pt] 500 &= 5 \cdot v_2 + 20 \cdot v_2 \\[8pt] 500 &= 25 \cdot v_2 \\[8pt] v_2 &= \dfrac{500}{25} = 20\text{ m/s} \end{aligned}$$ Przeliczając na kilometry na godzinę: $$v_2 = 20 \cdot 3{,}6\text{ km/h} = 72\text{ km/h}$$ Mając wyznaczoną prędkość $v_2$, obliczamy przyspieszenie w pierwszej części trasy: $$\begin{aligned} a &= \dfrac{v_2}{t_1} \\[8pt] a &= \dfrac{20\text{ m/s}}{10\text{ s}} = 2\text{ m/s}^2 \end{aligned}$$
Sposób II – Metoda graficzna (interpretacja pola pod wykresem $v(t)$):
W fizyce przebyta droga odpowiada polu figury pod wykresem zależności prędkości od czasu $v(t)$. Wykres ten ma kształt trapezu o:
- dłuższej podstawie równej całkowitemu czasowi ruchu: $t = 30\text{ s}$,
- krótszej podstawie równej czasowi trwania ruchu jednostajnego: $t_2 = 20\text{ s}$,
- wysokości równej prędkości docelowej: $v_2$.
Pole tego trapezu musi być równe całkowitemu dystansowi $l = 500\text{ m}$: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{(t + t_2) \cdot v_2}{2} \\[8pt] 500 &= \dfrac{(30 + 20) \cdot v_2}{2} \\[8pt] 500 &= \dfrac{50 \cdot v_2}{2} \\[8pt] 500 &= 25 \cdot v_2 \\[8pt] v_2 &= 20\text{ m/s} \end{aligned}$$ Przyspieszenie $a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie) prostej na pierwszym odcinku czasu: $$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{20 - 0}{10 - 0} = 2\text{ m/s}^2$$ Odcinki drogi odpowiadają składowym polom: pole trójkąta $s_1 = \dfrac{10 \cdot 20}{2} = 100\text{ m}$ oraz pole prostokąta $s_2 = 20 \cdot 20 = 400\text{ m}$.

Odpowiedź:
Przyspieszenie samochodu w pierwszej części trasy wynosi $a = 2\text{ m/s}^2$, a prędkość, z jaką dociera do celu, to $v_2 = 20\text{ m/s}$ (czyli $72\text{ km/h}$).

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Piłeczka tenisowa spadła z biurka i po odbiciu od podłogi wzniosła się na wysokość $h = 40$ cm. Wysokość biurka $h_b = 80$ cm. Podaj współrzędną położenia piłeczki: a) gdy leżała na blacie biurka, b) w chwili zetknięcia z podłogą, c) gdy wzniosła się na wysokość maksymalną. Skieruj oś liczbową pionowo w górę i przyjmij punkt zero osi na powierzchni biurka.