Geometria przestrzenna. Bryły obrotowe sprawdzian

Geometria przestrzenna. Bryły obrotowe

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Dany jest stożek $S$. Płaszczyzna równoległa do podstawy tego stożka rozcięła go na dwie części: stożek $G$ oraz tzw. stożek ścięty. Objętości tych rozciętych brył są równe odpowiednio $8\text{ cm}^3$ oraz $19\text{ cm}^3$. Wyznacz stosunek pola powierzchni podstawy stożka $G$ do pola powierzchni podstawy stożka $S$.

Wskazówki:

Całkowita objętość stożka $S$ jest sumą objętości odciętego stożka $G$ oraz powstałego stożka ściętego: $V_S = V_G + V_{\text{ścięty}}$.
Płaszczyzna równoległa do podstawy odcina stożek $G$ podobny do stożka wyjściowego $S$.
Stosunek objętości dwóch brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa: $\dfrac{V_G}{V_S} = k^3$.
Stosunek pól figur odpowiadających sobie w figurach/bryłach podobnych (w tym podstaw obu stożków) jest równy kwadratowi skali podobieństwa: $\dfrac{P_{p_G}}{P_{p_S}} = k^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie objętości całego stożka $S$:
Stożek wyjściowy $S$ został rozcięty płaszczyzną równoległą do podstawy na dwie części: mały stożek górny $G$ o objętości $V_G = 8\text{ cm}^3$ oraz stożek ścięty o objętości $V_{\text{ścięty}} = 19\text{ cm}^3$.

Objętość całego stożka $S$ jest sumą objętości obu tych brył: $$\begin{aligned} V_S &= V_G + V_{\text{ścięty}} \\[8pt] &= 8\text{ cm}^3 + 19\text{ cm}^3 = 27\text{ cm}^3 \end{aligned}$$ Płaszczyzna równoległa do podstawy stożka tworzy przekrój będący kołem o promieniu $r_G$, a odcięty mały stożek $G$ jest bryłą geometrycznie podobną do stożka wyjściowego $S$.
Sposób I – Wykorzystanie własności brył podobnych i skali podobieństwa:
Niech $k$ oznacza skalę podobieństwa stożka $G$ do stożka $S$ ($k > 0$).

Z twierdzenia o stosunku objętości brył podobnych wiemy, że stosunek objętości dwóch figur przestrzennych podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa: $$\dfrac{V_G}{V_S} = k^3$$ Podstawiamy obliczone wartości objętości: $$\begin{aligned} k^3 &= \dfrac{8}{27} \\[8pt] k &= \sqrt[3]{\dfrac{8}{27}} \\[8pt] k &= \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$ Podstawy stożków są figurami płaskimi (kołami) odpowiadającymi sobie w obu bryłach podobnych. Stosunek pól powierzchni figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa: $$\dfrac{P_{p_G}}{P_{p_S}} = k^2$$ Podnosimy wyznaczoną skalę podobieństwa $k$ do kwadratu: $$\begin{aligned} \dfrac{P_{p_G}}{P_{p_S}} &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \\[8pt] &= \dfrac{4}{9} \end{aligned}$$
Sposób II – Wyprowadzenie zależności z przekroju osiowego i twierdzenia Talesa:
Rozpatrzmy przekrój osiowy stożka $S$ płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $W$ oraz środki obu podstaw:

Odcinek $CD$ jest równoległy do podstawy $AB$, zatem na mocy twierdzenia Talesa (cecha podobieństwa kąt-kąt-kąt) trójkąty prostokątne $WO_G D$ oraz $WO_S B$ są podobne: $$\dfrac{r_G}{r_S} = \dfrac{h_G}{H_S} = k$$ gdzie $h_G = |WO_G|$ to wysokość stożka $G$, a $H_S = |WO_S|$ to wysokość stożka $S$.

Wzory na objętości stożków mają postać: $$V_G = \dfrac{1}{3}\pi r_G^2 h_G \quad \text{oraz} \quad V_S = \dfrac{1}{3}\pi r_S^2 H_S$$ Dzielimy stronami objętość stożka $G$ przez objętość stożka $S$: $$\begin{aligned} \dfrac{V_G}{V_S} &= \dfrac{\dfrac{1}{3}\pi r_G^2 h_G}{\dfrac{1}{3}\pi r_S^2 H_S} \\[8pt] &= \left(\dfrac{r_G}{r_S}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{h_G}{H_S}\right) \\[8pt] &= k^2 \cdot k = k^3 \end{aligned}$$ Ponieważ $\dfrac{V_G}{V_S} = \dfrac{8}{27}$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} k^3 &= \dfrac{8}{27} \\[8pt] k &= \dfrac{2}{3} \implies \dfrac{r_G}{r_S} = \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$ Pola powierzchni podstaw to pola kół o promieniach $r_G$ oraz $r_S$: $$\begin{aligned} \dfrac{P_{p_G}}{P_{p_S}} &= \dfrac{\pi r_G^2}{\pi r_S^2} \\[8pt] &= \left(\dfrac{r_G}{r_S}\right)^2 \\[8pt] &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Stosunek pola powierzchni podstawy stożka $G$ do pola powierzchni podstawy stożka $S$ wynosi $\dfrac{4}{9}$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Kula wskutek pewnego procesu zmniejszyła swój promień o 20%. O ile procent zmniejszyła się objętość kuli.

Wskazówki:

Wyraź nowy promień kuli w zależności od promienia początkowego $R$. Pamiętaj, że spadek o $20\%$ oznacza, że nowa długość promienia stanowi $80\%$ długości początkowej ($0{,}8R$).
Sposób I (wprost ze wzoru na objętość kuli): Zapisz wzór na objętość kuli $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$, oblicz objętość mniejszej kuli, a następnie wyznacz bezwzględny spadek objętości i odnieś go procentowo do objętości wyjściowej.
Sposób II (ze skali podobieństwa): Wykorzystaj fakt, że wszystkie kule są bryłami do siebie podobnymi. Stosunek objętości dwóch brył podobnych jest równy sześcianowi skali ich podobieństwa ($k^3$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i ustalenie zmiany promienia kuli:
Niech promień kuli wyjściowej wynosi $R > 0$. Wskutek procesu jej promień zmalał o $20\%$, czyli o $0{,}2R$.
Nowy promień kuli $R_2$ wynosi zatem: $$ R_2 = R - 0{,}20R = 0{,}80R = \dfrac{4}{5}R $$
Sposób I – Bezpośrednie obliczenie objętości i różnicy procentowej:
Wzór na objętość kuli o promieniu $r$ ma postać: $$ V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 $$ Objętość początkowa kuli wynosi: $$ V_1 = \dfrac{4}{3}\pi R^3 $$ Wyznaczamy nową objętość kuli $V_2$, podstawiając promień $R_2 = 0{,}8R$: $$ \begin{aligned} V_2 &= \dfrac{4}{3}\pi (0{,}8R)^3 \\[8pt] &= \dfrac{4}{3}\pi \cdot 0{,}8^3 \cdot R^3 \\[8pt] &= \dfrac{4}{3}\pi \cdot 0{,}512 \cdot R^3 \\[8pt] &= 0{,}512 \cdot \left(\dfrac{4}{3}\pi R^3\right) \\[8pt] &= 0{,}512 V_1 \end{aligned} $$ Obliczamy, o ile zmniejszyła się objętość kuli ($\Delta V$): $$ \begin{aligned} \Delta V &= V_1 - V_2 \\[8pt] &= V_1 - 0{,}512 V_1 \\[8pt] &= (1 - 0{,}512) V_1 \\[8pt] &= 0{,}488 V_1 \end{aligned} $$ Wyrażamy spadek objętości w procentach w stosunku do objętości początkowej $V_1$: $$ \begin{aligned} \dfrac{\Delta V}{V_1} \cdot 100\% &= \dfrac{0{,}488 V_1}{V_1} \cdot 100\% \\[8pt] &= 0{,}488 \cdot 100\% \\[8pt] &= 48{,}8\% \end{aligned} $$
Sposób II – Wykorzystanie skali podobieństwa brył przestrzennych:
Dowolne dwie kule są bryłami geometrycznie podobnymi. Skalę podobieństwa $k$ kuli nowej do kuli wyjściowej wyznacza stosunek ich odpowiadających wymiarów liniowych (promieni): $$ k = \dfrac{R_2}{R_1} = \dfrac{0{,}8R}{R} = 0{,}8 $$ Z twierdzenia o stosunku objętości figur i brył podobnych wiemy, że stosunek ich objętości jest równy sześcianowi skali podobieństwa: $$ \dfrac{V_2}{V_1} = k^3 $$ Podnosimy skalę podobieństwa do trzeciej potęgi: $$ \begin{aligned} \dfrac{V_2}{V_1} &= (0{,}8)^3 \\[8pt] &= 0{,}512 = 51{,}2\% \end{aligned} $$ Oznacza to, że nowa objętość kuli stanowi $51{,}2\%$ objętości pierwotnej.
Zatem objętość kuli zmniejszyła się o: $$ 100\% - 51{,}2\% = 48{,}8\% $$

Odpowiedź:
Objętość kuli zmniejszyła się o $48{,}8\%$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Morela jest kulą o średnicy $8\text{ cm}$. W jej wnętrzu znajduje się część niejadalna w kształcie kuli. Jadalna część (miąższ) ma grubość $1\text{ cm}$. Jaki procent całej moreli stanowi miąższ? Grubość skórki pomijamy.

Wskazówki:

Wyznacz promień całej moreli na podstawie podanej średnicy ($R = \dfrac{d}{2}$).
Zauważ, że część niejadalna (pestka) jest kulą współśrodkową, której promień $r$ jest mniejszy od promienia moreli o grubość warstwy miąższu: $r = R - 1\text{ cm}$.
Objętość miąższu to różnica między objętością całej kuli moreli a objętością wewnętrznej kuli pestki: $V_m = V_c - V_p$.
Udział procentowy możesz obliczyć klasycznie przez iloraz objętości lub zauważając, że objętości kul są wprost proporcjonalne do sześcianów ich promieni.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna przekroju moreli:
Przekrój osiowy moreli przedstawia dwa współśrodkowe koła: koło zewnętrzne o średnicy $d = 8\text{ cm}$ oraz koło wewnętrzne odpowiadające pestce.

Promień całej moreli wynosi: $$\begin{aligned} R &= \dfrac{d}{2} \\[8pt] &= \dfrac{8}{2} \\[8pt] &= 4\text{ cm} \end{aligned}$$ Warstwa jadalna (miąższ) otacza pestkę ze wszystkich stron i ma stałą grubość $g = 1\text{ cm}$. Promień kuli niejadalnej (pestki) wynosi zatem: $$\begin{aligned} r &= R - g \\[8pt] &= 4 - 1 \\[8pt] &= 3\text{ cm} \end{aligned}$$
Obliczenie udziału procentowego – Sposób I (z obliczenia objętości brył):
Wzór na objętość kuli o promieniu $R$ ma postać: $$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$$ Obliczamy objętość całej moreli $V_c$: $$\begin{aligned} V_c &= \dfrac{4}{3}\pi \cdot 4^3 \\[8pt] &= \dfrac{4}{3}\pi \cdot 64 \\[8pt] &= \dfrac{256}{3}\pi\text{ cm}^3 \end{aligned}$$ Obliczamy objętość części niejadalnej (pestki) $V_p$: $$\begin{aligned} V_p &= \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 \\[8pt] &= \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 \\[8pt] &= 36\pi = \dfrac{108}{3}\pi\text{ cm}^3 \end{aligned}$$ Objętość części jadalnej (miąższu) $V_m$ to różnica objętości moreli i pestki: $$\begin{aligned} V_m &= V_c - V_p \\[8pt] &= \dfrac{256}{3}\pi - \dfrac{108}{3}\pi \\[8pt] &= \dfrac{148}{3}\pi\text{ cm}^3 \end{aligned}$$ Obliczamy, jaki procent całej moreli stanowi miąższ: $$\begin{aligned} p &= \dfrac{V_m}{V_c} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{\dfrac{148}{3}\pi}{\dfrac{256}{3}\pi} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{148}{256} \cdot 100\% \end{aligned}$$ Ułamek $\dfrac{148}{256}$ skracamy przez $4$: $$\begin{aligned} p &= \dfrac{37}{64} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{37 \cdot 25}{16}\% \\[8pt] &= \dfrac{925}{16}\% \\[8pt] &= 57\dfrac{13}{16}\% = 57{,}8125\% \end{aligned}$$
Obliczenie udziału procentowego – Sposób II (z proporcji sześcianów promieni):
Wszystkie kule są bryłami podobnymi, a ich objętości są wprost proporcjonalne do sześcianów promieni. Stosunek objętości pestki do objętości całej moreli wynosi: $$\begin{aligned} \dfrac{V_p}{V_c} &= \left(\dfrac{r}{R}\right)^3 \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 \\[8pt] &= \dfrac{27}{64} \end{aligned}$$ Pestka stanowi zatem ułamek $\dfrac{27}{64}$ całej objętości. Miąższ jest dopełnieniem pestki do całości ($100\%$): $$\begin{aligned} p &= \left(1 - \dfrac{V_p}{V_c}\right) \cdot 100\% \\[8pt] &= \left(1 - \dfrac{27}{64}\right) \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{37}{64} \cdot 100\% \\[8pt] &= 57{,}8125\% \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Miąższ stanowi $57{,}8125\%$ (czyli $57\dfrac{13}{16}\%$) całej moreli.

Zadanie 4 (3 pkt)

Dany jest stożek, w którym pole powierzchni bocznej jest równe $12\pi\text{ cm}^2$. Obwód przekroju osiowego stożka ma $14\text{ cm}$. Oblicz objętość tego stożka.

Wskazówki:

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie równej średnicy podstawy ($2r$) i ramionach będących tworzącymi stożka ($l$). Wykorzystaj wzór na jego obwód: $2r + 2l = 14$.
Pole powierzchni bocznej stożka wyraża się wzorem $P_b = \pi r l$. Przyrównaj je do wartości $12\pi$, aby otrzymać iloczyn $r \cdot l = 12$.
Układ równań z dwiema niewiadomymi $r$ i $l$ prowadzi do równania kwadratowego z dwoma rozwiązaniami. Pamiętaj o kluczowym warunku geometrycznym dla stożka: tworząca jako przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego musi być dłuższa od promienia podstawy ($l > r$).
Wysokość stożka $H$ obliczysz z twierdzenia Pitagorasa: $H^2 + r^2 = l^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna przekroju osiowego:
Wprowadzamy standardowe oznaczenia wielkości w stożku:
• $r$ – promień koła podstawy ($r > 0$),
• $l$ – długość tworzącej stożka ($l > 0$),
• $H$ – wysokość stożka ($H > 0$).

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny $ABS$, którego podstawą jest średnica podstawy stożka $|AB| = 2r$, a ramionami są tworzące $|AS| = |BS| = l$.
Obwód tego przekroju wynosi $14\text{ cm}$: $$\begin{aligned} 2r + 2l &= 14 \\[8pt] 2(r + l) &= 14 \\[8pt] r + l &= 7 \end{aligned}$$ Pole powierzchni bocznej stożka jest równe $12\pi\text{ cm}^2$: $$\begin{aligned} P_b &= \pi r l \\[8pt] \pi r l &= 12\pi \\[8pt] r \cdot l &= 12 \end{aligned}$$ Poniższy rysunek pomocniczy ilustruje stożek wraz z zaznaczonym przekrojem osiowym $ABS$.
Wyznaczenie promienia podstawy $r$ oraz tworzącej $l$:
Układamy układ równań z wyznaczonych zależności: $$\begin{cases} r + l = 7 \\ r \cdot l = 12 \end{cases}$$ Wyznaczamy wielkość $l$ z pierwszego równania: $$l = 7 - r$$ Podstawiamy do drugiego równania: $$\begin{aligned} r(7 - r) &= 12 \\[8pt] 7r - r^2 &= 12 \\[8pt] -r^2 + 7r - 12 &= 0 \\[8pt] r^2 - 7r + 12 &= 0 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy równanie kwadratowe za pomocą wyróżnika: $$\begin{aligned} \Delta &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 \\[8pt] &= 49 - 48 = 1 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= 1 \end{aligned}$$ Obliczamy możliwe wartości promienia: $$\begin{aligned} r_1 &= \dfrac{-(-7) - 1}{2 \cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3 \implies l_1 = 7 - 3 = 4 \\[8pt] r_2 &= \dfrac{-(-7) + 1}{2 \cdot 1} = \dfrac{8}{2} = 4 \implies l_2 = 7 - 4 = 3 \end{aligned}$$ Weryfikacja warunków geometrycznych stożka:
W trójkącie prostokątnym $SOB$ tworząca $l$ jest przeciwprostokątną, a promień $r$ przyprostokątną, więc musi zachodzić warunek: $$l > r$$ Gdyby $r = 4\text{ cm}$ oraz $l = 3\text{ cm}$, otrzymalibyśmy: $$H^2 = l^2 - r^2 = 3^2 - 4^2 = 9 - 16 = -7 < 0$$ Ponadto boki przekroju osiowego miałyby długości $3\text{ cm}$, $3\text{ cm}$ oraz $2r = 8\text{ cm}$, co przeczy nierówności trójkąta ($3 + 3 = 6 < 8$).
Przypadek ten jest sprzeczny geometrycznie i zostaje odrzucony.

Jedynym poprawnym rozwiązaniem spełniającym warunki zadania jest: $$r = 3\text{ cm}, \quad l = 4\text{ cm}$$
Obliczenie wysokości $H$ oraz objętości $V$ stożka:
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $SOB$: $$\begin{aligned} H^2 + r^2 &= l^2 \\[8pt] H^2 + 3^2 &= 4^2 \\[8pt] H^2 + 9 &= 16 \\[8pt] H^2 &= 16 - 9 \\[8pt] H^2 &= 7 \\[8pt] H &= \sqrt{7}\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy objętość stożka: $$\begin{aligned} V &= \dfrac{1}{3} \pi r^2 H \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot \sqrt{7} \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot \sqrt{7} \\[8pt] &= 3\sqrt{7}\pi\text{ cm}^3 \end{aligned}$$ Poniższy rysunek wynikowy przedstawia bryłę z naniesionymi wyliczonymi wymiarami.

Odpowiedź:
Objętość stożka wynosi $V = 3\sqrt{7}\pi\text{ cm}^3$.

Zadanie 5 (2 pkt)

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $10$. Oblicz objętość walca wiedząc, że pole powierzchni bocznej jest $3$ razy większe od pola jednej podstawy walca.

Wskazówki:

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, którego jeden bok stanowi średnica podstawy ($2r$), a drugi to wysokość walca ($H$). Przekątna tego prostokąta tworzy z bokami trójkąt prostokątny.
Zapisz wzory na pole jednej podstawy ($P_p = \pi r^2$) oraz pole powierzchni bocznej ($P_b = 2\pi r H$). Wykorzystaj podany warunek $P_b = 3P_p$, aby uzależnić wysokość $H$ od promienia $r$.
Zastosuj twierdzenie Pitagorasa w przekroju osiowym walca: $(2r)^2 + H^2 = d^2$, aby wyznaczyć wartości liczbowe promienia $r$ oraz wysokości $H$.
Oblicz objętość bryły ze standardowego wzoru na objętość walca: $V = \pi r^2 H$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza przekroju osiowego walca:
Niech $r$ oznacza promień podstawy walca ($r > 0$), natomiast $H$ wysokość walca ($H > 0$). Przekrojem osiowym walca jest prostokąt o podstawie równej średnicy walca $2r$ oraz wysokości równej wysokości walca $H$. Przekątna tego przekroju ma z treści zadania długość $d = 10$.
Wyznaczenie zależności między wysokością walca a promieniem podstawy:
Pole jednej podstawy walca wynosi: $$P_p = \pi r^2$$ Pole powierzchni bocznej walca wyraża się wzorem: $$P_b = 2\pi r H$$ Zgodnie z treścią zadania pole powierzchni bocznej jest $3$ razy większe od pola jednej podstawy walca: $$\begin{aligned} P_b &= 3 \cdot P_p \\[8pt] 2\pi r H &= 3\pi r^2 \end{aligned}$$ Ponieważ promień podstawy jest wielkością dodatnią ($r > 0$), możemy podzielić obie strony równania przez $\pi r$: $$\begin{aligned} 2H &= 3r \\[8pt] H &= \dfrac{3}{2}r \end{aligned}$$
Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i wyznaczenie wymiarów walca:
Przekątna przekroju osiowego wraz ze średnicą podstawy $2r$ oraz wysokością $H$ tworzy trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: $$\begin{aligned} (2r)^2 + H^2 &= d^2 \\[8pt] 4r^2 + H^2 &= 10^2 \\[8pt] 4r^2 + H^2 &= 100 \end{aligned}$$ Podstawiamy wyznaczoną zależność $H = \dfrac{3}{2}r$: $$\begin{aligned} 4r^2 + \left(\dfrac{3}{2}r\right)^2 &= 100 \\[8pt] 4r^2 + \dfrac{9}{4}r^2 &= 100 \\[8pt] \dfrac{16}{4}r^2 + \dfrac{9}{4}r^2 &= 100 \\[8pt] \dfrac{25}{4}r^2 &= 100 \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony równania przez $\dfrac{4}{25}$: $$\begin{aligned} r^2 &= 100 \cdot \dfrac{4}{25} \\[8pt] r^2 &= 4 \cdot 4 \\[8pt] r^2 &= 16 \end{aligned}$$ Ponieważ promień musi być liczbą dodatnią: $$r = 4$$ Obliczamy wysokość walca $H$: $$H = \dfrac{3}{2} \cdot 4 = 6$$ Średnica podstawy wynosi zatem $2r = 2 \cdot 4 = 8$.
Obliczenie objętości walca:
Wstawiamy wyznaczone wartości $r = 4$ oraz $H = 6$ do wzoru na objętość walca: $$\begin{aligned} V &= P_p \cdot H \\[8pt] &= \pi r^2 \cdot H \\[8pt] &= \pi \cdot 4^2 \cdot 6 \\[8pt] &= \pi \cdot 16 \cdot 6 \\[8pt] &= 96\pi \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Objętość walca wynosi $V = 96\pi$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Dany jest stożek $S$. Płaszczyzna równoległa do podstawy tego stożka rozcięła go na dwie części: stożek $G$ oraz tzw. stożek ścięty. Objętości tych rozciętych brył są równe odpowiednio $64\ \text{cm}^3$ oraz $61\ \text{cm}^3$. Wyznacz stosunek pola powierzchni podstawy stożka $G$ do pola powierzchni podstawy stożka $S$.