Rachunek prawdopodobieństwa sprawdzian

Rachunek prawdopodobieństwa

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (7 pkt)

W pudełku jest $10$ piłek czerwonych, $15$ niebieskich, a pozostałe piłki są zielone. Wyjmujemy jedną piłkę z pudełka. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to piłka niebieska, jest równe $0{,}5$.

a) Oblicz, ile piłek zielonych znajduje się w pudełku.

b) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że, wyjmując dwie piłki, obie wyjęte piłki będą miały kolor czerwony?

Wskazówki:

W klasycznym modelu prawdopodobieństwa szansa zajścia zdarzenia wynosi $P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$, gdzie $|\Omega|$ to łączna liczba wszystkich piłek w pudełku.
W podpunkcie a) oznacz liczbę piłek zielonych przez niewiadomą (np. $z$) i ułóż równanie wynikające z podanego prawdopodobieństwa wylosowania piłki niebieskiej.
W podpunkcie b) losujemy dwie piłki (jednocześnie lub kolejno bez zwracania) z obliczonej wcześniej łącznej liczby piłek.
Zadanie w podpunkcie b) można rozwiązać za pomocą kombinacji lub reguły mnożenia (drzewka probabilistycznego), pamiętając o zmniejszeniu liczby piłek po pierwszym losowaniu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy liczbę piłek zielonych w pudełku:
Wprowadźmy oznaczenie:
Niech $z$ oznacza liczbę piłek zielonych w pudełku ($z \ge 0$).

Z treści zadania wiemy, że w pudełku znajduje się:
- $10$ piłek czerwonych,
- $15$ piłek niebieskich,
- $z$ piłek zielonych.

Łączna liczba wszystkich piłek wynosi: $$N = 10 + 15 + z = 25 + z$$ Przy losowaniu jednej piłki prawdopodobieństwo wyjęcia piłki niebieskiej to stosunek liczby piłek niebieskich do wszystkich piłek: $$P(\text{niebieska}) = \dfrac{15}{25 + z}$$ Z treści zadania wynika, że prawdopodobieństwo to jest równe $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$. Otrzymujemy równanie: $$\dfrac{15}{25 + z} = \dfrac{1}{2}$$ Mnożymy na krzyż: $$\begin{aligned} 15 \cdot 2 &= 25 + z \\[8pt] 30 &= 25 + z \\[8pt] z &= 30 - 25 \\[8pt] z &= 5 \end{aligned}$$ W pudełku znajduje się zatem $5$ piłek zielonych, a całkowita liczba piłek w pudełku wynosi: $$N = 25 + 5 = 30$$
Podpunkt b) Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania dwóch piłek czerwonych:

Sposób I – Model klasyczny (kombinacje):
Wyjmujemy dwie piłki spośród wszystkich $30$ piłek znajdujących się w pudełku. Liczba wszystkich możliwych wyborów dwóch piłek (moc zbioru zdarzeń elementarnych) wynosi: $$\begin{aligned} |\Omega| &= \binom{30}{2} = \dfrac{30!}{2! \cdot 28!} \\[8pt] &= \dfrac{30 \cdot 29}{2} = 15 \cdot 29 = 435 \end{aligned}$$ Niech zdarzenie $A$ oznacza wylosowanie dwóch piłek czerwonych. Ponieważ w pudełku jest $10$ piłek czerwonych, dwie z nich możemy wybrać na: $$\begin{aligned} |A| &= \binom{10}{2} = \dfrac{10!}{2! \cdot 8!} \\[8pt] &= \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 5 \cdot 9 = 45 \end{aligned}$$ Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$: $$\begin{aligned} P(A) &= \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{45}{435} \\[8pt] &= \dfrac{45 : 15}{435 : 15} = \dfrac{3}{29} \end{aligned}$$
Sposób II – Metoda reguły mnożenia (drzewko stochastyczne):
Wyjęcie dwóch piłek naraz jest równoważne losowaniu kolejno dwóch piłek bez zwracania: - Prawdopodobieństwo, że pierwsza wyjęta piłka jest czerwona ($C_1$): $$P(C_1) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$$ - Po wyjęciu jednej piłki czerwonej w pudełku zostaje $29$ piłek, w tym $9$ czerwonych. Prawdopodobieństwo, że druga piłka również będzie czerwona ($C_2$): $$P(C_2 \mid C_1) = \dfrac{9}{29}$$ - Korzystając z reguły mnożenia (ścieżka w drzewku probabilistycznym): $$\begin{aligned} P(A) &= P(C_1) \cdot P(C_2 \mid C_1) \\[8pt] &= \dfrac{10}{30} \cdot \dfrac{9}{29} \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9}{29} = \dfrac{3}{29} \end{aligned}$$
Podsumowanie wyników:
W podpunkcie a) wyznaczyliśmy liczbę piłek zielonych: $$z = 5$$ W podpunkcie b) prawdopodobieństwo wylosowania dwóch piłek o kolorze czerwonym wynosi: $$P(A) = \dfrac{3}{29}$$

Odpowiedź:
a) $5$

b) $\dfrac{3}{29}$

Zadanie 2 (4 pkt)

Rzucamy pięcioma monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na dwóch spośród tych monet wypadnie orzeł?

Wskazówki:

Każdy rzut symetryczną monetą daje jeden z dwóch możliwych wyników: orzeł ($O$) lub reszka ($R$).
Sposób I (klasyczna definicja prawdopodobieństwa): Oblicz moc przestrzeni zdarzeń elementarnych $|\Omega|$ jako liczbę wszystkich możliwych $5$-elementowych ciągów o wyrazach ze zbioru $\{O, R\}$. Następnie wyznacz liczbę zdarzeń sprzyjających $|A|$, wybierając $2$ monety z $5$, na których ma wypaść orzeł (kombinacja $\binom{5}{2}$).
Sposób II (schemat Bernoulliego): Potraktuj rzuty monetami jako serię $n = 5$ niezależnych prób Bernoulliego, gdzie sukcesem jest wyrzucenie orła z prawdopodobieństwem $p = \dfrac{1}{2}$, i oblicz prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k = 2$ sukcesów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wykorzystanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa (kombinatoryka):
Pojedynczy rzut monetą może zakończyć się jednym z dwóch wyników: wypadnięciem orła ($O$) lub reszki ($R$). Wynik rzutu pięcioma monetami możemy zapisać jako uporządkowany ciąg pięcioelementowy, w którym na każdej pozycji występuje $O$ lub $R$.

Liczbę wszystkich możliwych wyników (moc przestrzeni zdarzeń elementarnych $\Omega$) wyznaczamy z reguły mnożenia: $$ |\Omega| = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32 $$ Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

Niech zdarzenie $A$ oznacza, że na dwóch spośród tych monet wypadnie orzeł (a więc na pozostałych trzech monetach wypadnie reszka). Aby wyznaczyć liczbę zdarzeń sprzyjających $|A|$, wybieramy $2$ pozycje z $5$ dostępnych, na których znajdzie się orzeł. Liczba takich wyborów odpowiada liczbie kombinacji dwuelementowych ze zbioru pięcioelementowego: $$ \begin{aligned} |A| &= \binom{5}{2} \\[8pt] &= \dfrac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} \\[8pt] &= \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \\[8pt] &= 10 \end{aligned} $$ Na pozostałych trzech pozycjach jednoznacznie umieszczamy reszki (jest na to $\binom{3}{3} = 1$ możliwość).

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$, korzystając ze wzoru klasycznego: $$ \begin{aligned} P(A) &= \dfrac{|A|}{|\Omega|} \\[8pt] &= \dfrac{10}{32} \\[8pt] &= \dfrac{5}{16} \end{aligned} $$
Sposób II – Zastosowanie schematu Bernoulliego:
Rzut pięcioma monetami jest równoważny wykonaniu ciągu $n = 5$ niezależnych prób, z których każda kończy się jednym z dwóch wyników.

Definiujemy parametry schematu Bernoulliego:
- Liczba prób: $n = 5$
- Sukces ($S$): wypadnięcie orła w pojedynczej próbie, stąd prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $p = \dfrac{1}{2}$
- Porażka ($P$): wypadnięcie reszki w pojedynczej próbie, stąd prawdopodobieństwo porażki wynosi $q = 1 - p = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
- Liczba sukcesów: $k = 2$
Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ sukcesów w schemacie Bernoulliego: $$ P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n - k} $$ Wstawiamy wartości liczbowe dla $n = 5$ oraz $k = 2$: $$ \begin{aligned} P_5(2) &= \binom{5}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{5 - 2} \\[8pt] &= 10 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \\[8pt] &= 10 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 \\[8pt] &= 10 \cdot \dfrac{1}{32} \\[8pt] &= \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że na dwóch spośród pięciu monet wypadnie orzeł, wynosi $P(A) = \dfrac{5}{16}$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Rzucamy sześć razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wyniki pierwszych trzech rzutów będą orłami, a kolejnych trzech rzutów będą reszkami.

Wskazówki:

Zastanów się, ile jest wszystkich możliwych ciągów wyników w sześciu rzutach monetą, korzystając z reguły mnożenia (w każdym rzucie mamy $2$ możliwe rezultaty).
Zwróć uwagę, że treść zadania ściśle narzuca wynik na każdej pozycji (trzy orły, a potem trzy reszki), co definiuje dokładnie jeden określony ciąg sprzyjający.
Zadanie możesz rozwiązać klasycznie (iloraz liczby zdarzeń sprzyjających do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych) lub mnożąc prawdopodobieństwa niezależnych rzutów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Model doświadczenia losowego i wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych $|\Omega|$:
Doświadczenie polega na sześciokrotnym rzucie monetą. Pojedynczy rzut może zakończyć się jednym z dwóch wyników: wypadnięciem orła ($O$) lub reszki ($R$). Zdarzeniem elementarnym jest zatem uporządkowany ciąg sześciu wyników: $$\omega = (w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6), \quad \text{gdzie } w_i \in \{O, R\}$$ Korzystając z reguły mnożenia, liczbę wszystkich możliwych ciągów obliczamy jako: $$\begin{aligned} |\Omega| &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\[8pt] &= 2^6 \\[8pt] &= 64 \end{aligned}$$ Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, co pozwala zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa.
Wyznaczenie liczby zdarzeń sprzyjających $|A|$:
Niech $A$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że pierwsze trzy rzuty to orły, a kolejne trzy to reszki.

Kolejność wyników w ciągu jest ściśle określona:
- 1. rzut: orzeł ($O$) – dokładnie $1$ możliwość,
- 2. rzut: orzeł ($O$) – dokładnie $1$ możliwość,
- 3. rzut: orzeł ($O$) – dokładnie $1$ możliwość,
- 4. rzut: reszka ($R$) – dokładnie $1$ możliwość,
- 5. rzut: reszka ($R$) – dokładnie $1$ możliwość,
- 6. rzut: reszka ($R$) – dokładnie $1$ możliwość.
Zdarzeniu $A$ sprzyja więc wyłącznie jeden konkretny ciąg: $$A = \{(O, O, O, R, R, R)\}$$ Stąd liczba zdarzeń sprzyjających wynosi: $$|A| = 1$$
Obliczenie prawdopodobieństwa – Sposób I (z klasycznej definicji prawdopodobieństwa):
Wykorzystujemy wzór na prawdopodobieństwo klasyczne: $$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ Podstawiamy wyznaczone wartości liczbowe $|A| = 1$ oraz $|\Omega| = 64$: $$P(A) = \dfrac{1}{64}$$
Obliczenie prawdopodobieństwa – Sposób II (z niezależności zdarzeń w kolejnych rzutach):
Kolejne rzuty monetą są zdarzeniami niezależnymi. W każdym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi $P(O) = \dfrac{1}{2}$, a prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki to $P(R) = \dfrac{1}{2}$.

Prawdopodobieństwo wystąpienia żądanego ciągu jest iloczynem prawdopodobieństw wyników w poszczególnych rzutach: $$\begin{aligned} P(A) &= P(O_1) \cdot P(O_2) \cdot P(O_3) \cdot P(R_4) \cdot P(R_5) \cdot P(R_6) \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\[8pt] &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 \\[8pt] &= \dfrac{1}{64} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$P(A) = \dfrac{1}{64}$

Zadanie 4 (8 pkt)

Wybieramy losowo jedną z dodatnich liczb całkowitych mniejszych od 40. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że ta liczba jest:
a) liczbą parzystą,
b) liczbą podzielną przez 5,
c) liczbą, której suma cyfr jest równa 3,
d) liczbą pierwszą.

Wskazówki:

Wyznacz zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych mniejszych od 40 i określ jego moc $|\Omega|$. Zauważ, że zwrot „mniejszych od 40” oznacza liczby od 1 do 39 włącznie (bez liczby 40).
Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, więc stosujemy klasyczny model prawdopodobieństwa: $P(E) = \dfrac{|E|}{|\Omega|}$.
W podpunkcie c) pamiętaj o uwzględnieniu zarówno liczb jednocyfrowych, jak i dwucyfrowych.
W podpunkcie d) pamiętaj, że liczba 1 nie jest liczbą pierwszą (najmniejszą liczbą pierwszą jest 2).

Rozwiązanie krok po kroku:

Określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych $\Omega$ i jej liczności:
Zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych mniejszych od 40 to zbiór liczb od 1 do 39: $$\Omega = \{1, 2, 3, 4, \dots, 39\}$$ Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi: $$|\Omega| = 39$$
Podpunkt a) Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania liczby parzystej:
Niech $A$ oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby parzystej.
Wypisujemy wszystkie liczby parzyste należące do zbioru $\Omega$: $$A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38\}$$ Ponieważ największą liczbą parzystą w tym zbiorze jest $38 = 2 \cdot 19$, moc zdarzenia $A$ wynosi: $$|A| = 19$$ Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$: $$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{19}{39}$$
Podpunkt b) Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania liczby podzielnej przez 5:
Niech $B$ oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 5.
Wypisujemy wielokrotności liczby 5 należące do zbioru $\Omega$: $$B = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35\}$$ Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi: $$|B| = 7$$ Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $B$: $$P(B) = \dfrac{|B|}{|\Omega|} = \dfrac{7}{39}$$
Podpunkt c) Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania liczby, której suma cyfr jest równa 3:
Niech $C$ oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby o sumie cyfr równej 3.
Szukamy takich liczb w zbiorze $\Omega = \{1, 2, \dots, 39\}$:
• Liczby jednocyfrowe: liczba $3$ (suma cyfr to $3$).
• Liczby dwucyfrowe z cyfrą dziesiątek 1: liczba $12$ ($1 + 2 = 3$).
• Liczby dwucyfrowe z cyfrą dziesiątek 2: liczba $21$ ($2 + 1 = 3$).
• Liczby dwucyfrowe z cyfrą dziesiątek 3: liczba $30$ ($3 + 0 = 3$).
Zatem zdarzenie sprzyjające to zbiór: $$C = \{3, 12, 21, 30\}$$ Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi: $$|C| = 4$$ Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $C$: $$P(C) = \dfrac{|C|}{|\Omega|} = \dfrac{4}{39}$$
Podpunkt d) Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania liczby pierwszej:
Niech $D$ oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby pierwszej.
Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która dzieli się bez reszty tylko przez 1 i samą siebie.
Wypisujemy wszystkie liczby pierwsze ze zbioru $\Omega$: $$D = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$$ Zliczamy elementy tego zbioru: $$|D| = 12$$ Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $D$ i skracamy ułamek przez 3: $$\begin{aligned} P(D) &= \dfrac{|D|}{|\Omega|} \\[8pt] &= \dfrac{12}{39} \\[8pt] &= \dfrac{4}{13} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $P(A) = \dfrac{19}{39}$

b) $P(B) = \dfrac{7}{39}$

c) $P(C) = \dfrac{4}{39}$

d) $P(D) = \dfrac{4}{13}$

Zadanie 5 (3 pkt)

W jednym koszyku znajdują się cztery owoce: jabłko, gruszka, banan i pomarańcza, a w drugim — trzy owoce: jabłko, śliwka i cytryna. Z każdego koszyka losujemy po jednym owocu. Ile różnych par owoców można wylosować? Ile z nich składa się z owoców tego samego rodzaju? Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch owoców tego samego rodzaju?

Wskazówki:

Wykorzystaj regułę mnożenia do obliczenia liczby wszystkich możliwych wyników losowania (mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych $|\Omega|$).
Wypisz elementy wspólne dla obu koszyków, aby sprawdzić, ile par składa się z owoców tego samego gatunku (moc zdarzenia sprzyjającego $|A|$).
Oblicz prawdopodobieństwo, stosując klasyczny wzór $P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie liczby wszystkich możliwych par owoców:
Niech losowanie polega na jednoczesnym lub kolejnym wyjęciu jednego owocu z pierwszego koszyka i jednego owocu z drugiego koszyka.

W pierwszym koszyku mamy $4$ elementy (jabłko, gruszka, banan, pomarańcza), a w drugim koszyku $3$ elementy (jabłko, śliwka, cytryna). Ponieważ wybory z obu koszyków są od siebie całkowicie niezależne, liczbę wszystkich możliwych par wyznaczamy za pomocą reguły mnożenia: $$|\Omega| = 4 \cdot 3 = 12$$ Można wylosować dokładnie $12$ różnych par owoców.
Wyznaczenie liczby par złożonych z owoców tego samego rodzaju:
Oznaczmy owoce w poszczególnych koszykach:
— Koszyk I: $\{J, G, B, P\}$ (gdzie $J$ – jabłko, $G$ – gruszka, $B$ – banan, $P$ – pomarańcza),
— Koszyk II: $\{J, Ś, C\}$ (gdzie $J$ – jabłko, $Ś$ – śliwka, $C$ – cytryna).

Szukamy takich par $(x, y)$, w których owoc $x$ z pierwszego koszyka jest tego samego rodzaju co owoc $y$ z drugiego koszyka. Jedynym owocem obecnym w obu zbiorach jest jabłko ($J$). Istnieje zatem wyłącznie jedna taka para: $$A = \{(J, J)\}$$ Liczba par owoców tego samego rodzaju wynosi: $$|A| = 1$$
Obliczenie prawdopodobieństwa i interpretacja graficzna (siatka zdarzeń):
Każda para ma jednakową szansę wylosowania, więc korzystamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa: $$\begin{aligned} P(A) &= \dfrac{|A|}{|\Omega|} \\[8pt] &= \dfrac{1}{12} \end{aligned}$$ Poniższy diagram przedstawia pełną przestrzeń wszystkich $12$ zdarzeń elementarnych w postaci siatki par, z wyraźnie wyróżnionym jedynym zdarzeniem sprzyjającym $(J, J)$:

Odpowiedź:
Liczba wszystkich par owoców: $12$

Liczba par złożonych z owoców tego samego rodzaju: $1$

Prawdopodobieństwo wylosowania owoców tego samego rodzaju: $\dfrac{1}{12}$

Zadanie 6 (4 pkt)

Wynikiem rzutu dwiema kostkami sześciennymi jest para liczb oczek, jakie wypadły na kostkach. Ile jest możliwych wyników takiego rzutu? Ile z nich daje sumę równą 7? Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że suma oczek na obu kostkach będzie równa 7?

Wskazówki:

Zastosuj regułę mnożenia do obliczenia liczby wszystkich możliwych par liczb oczek (mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych $|\Omega|$).
Wypisz metodycznie wszystkie uporządkowane pary $(a, b)$, których suma wynosi dokładnie $7$.
Oblicz prawdopodobieństwo, korzystając z klasycznej definicji: $P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie liczby wszystkich możliwych wyników (moc przestrzeni zdarzeń elementarnych $|\Omega|$):
Wynik rzutu dwiema kostkami sześciennymi można przedstawić jako uporządkowaną parę liczb $(a, b)$, gdzie $a$ to wynik na pierwszej kostce, a $b$ na drugiej kostce. Na każdej kostce może wypaść jedna z $6$ liczb oczek ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Zgodnie z regułą mnożenia liczba wszystkich możliwych wyników wynosi: $$|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$$
Wyznaczenie liczby wyników sprzyjających sumie równej $7$ (zdarzenie $A$):
Niech $A$ oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu sumy oczek równej $7$. Szukamy wszystkich par $(a, b)$, takich że $a + b = 7$: $$A = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}$$ Liczba wyników dających sumę $7$ wynosi zatem: $$|A| = 6$$ Poniższy diagram przedstawia pełną przestrzeń wszystkich $36$ wyników w postaci siatki z wyróżnionymi parami tworzącymi sumę $7$:
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia $A$:
Wszystkie wyniki rzutu są jednakowo prawdopodobne, zatem stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa: $$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ Podstawiamy obliczone wartości liczbowe i skracamy otrzymany ułamek przez $6$: $$\begin{aligned} P(A) &= \dfrac{6}{36} \\[8pt] &= \dfrac{1}{6} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Liczba wszystkich możliwych wyników: $36$

Liczba wyników dających sumę $7$: $6$

Prawdopodobieństwo otrzymania sumy równej $7$: $P(A) = \dfrac{1}{6}$

Grupa B

Zadanie 1 (7 pkt)

W pojemniku jest 8 długopisów czarnych, 10 niebieskich, a pozostałe długopisy są czerwone. Wyjmujemy jeden długopis z pojemnika. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to długopis czarny, jest równe $\frac{1}{4}$. a) Oblicz, ile długopisów czerwonych znajduje się w pojemniku. b) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że, wyjmując dwa długopisy, oba wyjęte długopisy będą miały kolor niebieski?