Elementy statystyki sprawdzian

Elementy statystyki

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości liczby $x$, $x \in \mathbb{R}$, dla których mediana liczb $5, x, x^2$ jest równa $5$.

Wskazówki:

Mediana trzech liczb uporządkowanych niemalejąco $a \le b \le c$ to liczba środkowa $b$.
Aby liczba $5$ była medianą zestawu $\{5, x, x^2\}$, musi znajdować się pomiędzy dwiema pozostałymi liczbami (włącznie), czyli: $x \le 5 \le x^2$ lub $x^2 \le 5 \le x$.
Pamiętaj o rozwiązaniu nierówności kwadratowej $x^2 \ge 5$ oraz $x^2 \le 5$ z uwzględnieniem pierwiastków $\pm\sqrt{5}$.
Zadanie można także przeanalizować przedziałami, badając wartość $x$ względem liczby $5$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Analiza warunku położenia mediany w zbiorze trzech liczb:
W zestawie złożonym z trzech liczb rzeczywistych uporządkowanych w kolejności niemalejącej: $$a \le b \le c$$ medianą jest zawsze element środkowy $b$.

W badanym zestawie występują liczby $5$, $x$ oraz $x^2$. Liczba $5$ będzie medianą wtedy i tylko wtedy, gdy leży pomiędzy dwiema pozostałymi wartościami, co prowadzi do dwóch możliwych układów nierówności: $$\text{Przypadek 1: } x \le 5 \le x^2 \quad \text{lub} \quad \text{Przypadek 2: } x^2 \le 5 \le x$$
Rozwiązanie nierówności dla obu przypadków:
Rozpatrzmy Przypadek 1, czyli układ: $$\begin{cases} x \le 5 \\[8pt] x^2 \ge 5 \end{cases}$$ Rozwiązujemy nierówność kwadratową $x^2 \ge 5$: $$\begin{aligned} x^2 - 5 &\ge 0 \\[8pt] (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) &\ge 0 \end{aligned}$$ Miejscami zerowymi są liczby $-\sqrt{5}$ oraz $\sqrt{5}$. Znak nierówności wskazuje na sumę przedziałów zewnętrznych: $$x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$$ Wyznaczamy część wspólną z warunkiem $x \le 5$: $$\begin{aligned} x &\in \Big( (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty) \Big) \cap (-\infty, 5] \\[8pt] x &\in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, 5] \end{aligned}$$ Rozpatrzmy Przypadek 2, czyli układ: $$\begin{cases} x^2 \le 5 \\[8pt] x \ge 5 \end{cases}$$ Rozwiązaniem nierówności $x^2 \le 5$ jest przedział domknięty: $$x \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$$ Ponieważ $\sqrt{5} \approx 2{,}24 < 5$, zbiory te są rozłączne: $$[-\sqrt{5}, \sqrt{5}] \cap [5, \infty) = \emptyset$$ Z Przypadku 2 nie otrzymujemy żadnych rozwiązań.
Sposób II – Analiza przedziałowa względem liczby $5$:
Zbadajmy wzajemne relacje liczb w zależności od położenia $x$ na osi liczbowej:
- Gdy $x > 5$: Wówczas $x^2 > 5^2 = 25 > 5$. Obie pozostałe liczby są większe od $5$ ($5 < x < x^2$), więc uporządkowany ciąg to $(5, x, x^2)$, a jego medianą jest $x \neq 5$. W tym przedziale brak rozwiązań.
- Gdy $x = 5$: Otrzymujemy zestaw liczb $\{5, 5, 25\}$. Po uporządkowaniu: $5, 5, 25$, środkową wartością jest $5$, zatem $x = 5$ spełnia warunki zadania.
- Gdy $x < 5$: Liczba $5$ będzie medianą wtedy i tylko wtedy, gdy trzecia liczba $x^2$ nie będzie mniejsza od $5$: $$x^2 \ge 5 \iff x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$$ Uwzględniając założenie $x < 5$, otrzymujemy przedziały: $$x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, 5)$$
Łącząc powyższe warunki z rozwiązaniem $x = 5$, uzyskujemy: $$x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, 5]$$
Graficzna interpretacja rozwiązania na osi liczbowej:
Przedstawmy wyznaczony zbiór rozwiązań na osi liczbowej:

Odpowiedź:
Mediana liczb $5, x, x^2$ jest równa $5$ dla $x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, 5]$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Średnia arytmetyczna liczb $x, y$ jest równa średniej arytmetycznej liczb $x, x - y, x - 2y$. Udowodnij, że $y = \dfrac{1}{3}x$.

Wskazówki:

Średnia arytmetyczna zestawu liczb to suma tych liczb podzielona przez ich liczbę.
Zapisz wyrażenie na średnią arytmetyczną dwóch liczb ($x$ oraz $y$) oraz trzech liczb ($x$, $x - y$ oraz $x - 2y$).
Uprość licznik średniej trzech liczb poprzez redukcję wyrazów podobnych i skrócenie ułamka.
Przyrównaj do siebie obie średnie, pomnóż równanie obustronnie przez mianownik i uporządkuj wyrażenia z $x$ oraz $y$ po przeciwnych stronach znaku równości.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie średnich i przekształcenia algebraiczne:
Zgodnie z definicją średniej arytmetycznej, średnia liczb $x$ oraz $y$ wynosi: $$ S_1 = \dfrac{x + y}{2} $$ Średnia arytmetyczna trzech liczb $x$, $x - y$ oraz $x - 2y$ wynosi: $$ S_2 = \dfrac{x + (x - y) + (x - 2y)}{3} $$ Redukujemy wyrazy podobne w liczniku: $$ \begin{aligned} x + (x - y) + (x - 2y) &= x + x - y + x - 2y \\[8pt] &= 3x - 3y \\[8pt] &= 3(x - y) \end{aligned} $$ Wstawiamy uproszczony licznik i skracamy ułamek przez $3$: $$ S_2 = \dfrac{3(x - y)}{3} = x - y $$ Z treści zadania wiemy, że obie średnie są sobie równe ($S_1 = S_2$), zatem: $$ \dfrac{x + y}{2} = x - y $$ Mnożymy obustronnie przez $2$, aby pozbyć się ułamka: $$ x + y = 2(x - y) $$ Wymnażamy wyrażenie w nawiasie: $$ x + y = 2x - 2y $$ Przenosimy wyrazy zawierające niewiadomą $y$ na lewą stronę, a wyrazy z $x$ na prawą stronę równania: $$ \begin{aligned} y + 2y &= 2x - x \\[8pt] 3y &= x \end{aligned} $$ Dzielimy obie strony równania przez $3$: $$ y = \dfrac{1}{3}x $$ co kończy dowód.
Sposób II – Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego:
Zauważmy, że liczby $x$, $x - y$, $x - 2y$ tworzą ciąg arytmetyczny, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez odjęcie $y$ (różnica ciągu wynosi $r = -y$): $$ a_1 = x, \quad a_2 = x - y, \quad a_3 = x - 2y $$ Dla dowolnych trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi własność, że suma wyrazów skrajnych jest równa podwojonemu wyrazowi środkowemu: $$ a_1 + a_3 = x + (x - 2y) = 2x - 2y = 2(x - y) = 2a_2 $$ Stąd średnia arytmetyczna tych trzech liczb jest równa dokładnie wyrazowi środkowemu: $$ \dfrac{a_1 + a_2 + a_3}{3} = \dfrac{2a_2 + a_2}{3} = \dfrac{3a_2}{3} = a_2 = x - y $$ Przyrównując średnią liczb $x, y$ do wyrazu środkowego $x - y$, otrzymujemy: $$ \begin{aligned} \dfrac{x + y}{2} &= x - y \\[8pt] x + y &= 2x - 2y \\[8pt] 3y &= x \\[8pt] y &= \dfrac{1}{3}x \end{aligned} $$ co stanowi alternatywne uzasadnienie tezy.

Odpowiedź:
Wykazano, że z równości obu średnich arytmetycznych wynika zależność $y = \dfrac{1}{3}x$.

Zadanie 3 (4 pkt)

Oblicz średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe następującego zestawu liczb $\underbrace{1, \dots, 1}_{n\text{ liczb}}, \underbrace{2, \dots, 2}_{n\text{ liczb}}, \underbrace{3, \dots, 3}_{n\text{ liczb}}$, gdzie $n \ge 1$.

Wskazówki:

Wyznacz łączną liczbę wszystkich wyrazów w zestawie oraz ich sumę, pamiętając, że każda z liczb $1$, $2$ oraz $3$ występuje dokładnie $n$ razy.
Oblicz średnią arytmetyczną $\overline{x}$, dzieląc sumę liczb przez ich całkowitą liczbę.
Wyznacz wariancję $\sigma^2$ – możesz skorzystać z klasycznej definicji (średnia kwadratów odchyleń od średniej) lub ze wzoru uproszczonego (średnia kwadratów liczb pomniejszona o kwadrat średniej).
Odchylenie standardowe $\sigma$ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$. Pamiętaj o usunięciu niewymierności z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie łącznej liczby elementów oraz obliczenie średniej arytmetycznej $\overline{x}$:
Zestaw danych składa się z trzech grup wartości: $n$ jedynek, $n$ dwójek oraz $n$ trójek. Łączna liczba elementów w zestawie wynosi: $$N = n + n + n = 3n$$ Obliczamy sumę wszystkich liczb: $$\begin{aligned} S &= n \cdot 1 + n \cdot 2 + n \cdot 3 \\[8pt] &= n \cdot (1 + 2 + 3) \\[8pt] &= 6n \end{aligned}$$ Średnią arytmetyczną $\overline{x}$ obliczamy, dzieląc sumę wszystkich wartości przez ich liczbę: $$\begin{aligned} \overline{x} &= \dfrac{S}{N} \\[8pt] &= \dfrac{6n}{3n} \\[8pt] &= 2 \end{aligned}$$ Ponieważ $n \ge 1$, ułamek skracamy przez $n$, uzyskując stałą wartość średniej równą $2$.
Obliczenie wariancji $\sigma^2$ – Sposób I (z definicji sumy kwadratów odchyleń):
Wariancja to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych danych od średniej arytmetycznej. Obliczamy kwadraty odchyleń dla każdej z trzech liczb od wyznaczonej średniej $\overline{x} = 2$: $$\begin{aligned} (1 - 2)^2 &= (-1)^2 = 1 \\[8pt] (2 - 2)^2 &= 0^2 = 0 \\[8pt] (3 - 2)^2 &= 1^2 = 1 \end{aligned}$$ Każde z tych odchyleń występuje dokładnie $n$ razy w całym zestawie liczącym $3n$ elementów: $$\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{n \cdot (1 - 2)^2 + n \cdot (2 - 2)^2 + n \cdot (3 - 2)^2}{3n} \\[8pt] &= \dfrac{n \cdot 1 + n \cdot 0 + n \cdot 1}{3n} \\[8pt] &= \dfrac{2n}{3n} \\[8pt] &= \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$
Obliczenie wariancji $\sigma^2$ – Sposób II (ze wzoru uproszczonego):
Wariancję można wyznaczyć również ze wzoru: $$\sigma^2 = \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_N^2}{N} - (\overline{x})^2$$ Obliczamy najpierw sumę kwadratów wszystkich elementów zestawu: $$\begin{aligned} n \cdot 1^2 + n \cdot 2^2 + n \cdot 3^2 &= n \cdot 1 + n \cdot 4 + n \cdot 9 \\[8pt] &= n \cdot (1 + 4 + 9) \\[8pt] &= 14n \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymaną sumę oraz wyznaczoną średnią do wzoru: $$\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{14n}{3n} - 2^2 \\[8pt] &= \dfrac{14}{3} - 4 \\[8pt] &= \dfrac{14}{3} - \dfrac{12}{3} \\[8pt] &= \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$
Wyznaczenie odchylenia standardowego $\sigma$:
Odchylenie standardowe definiujemy jako pierwiastek arytmetyczny z wariancji: $$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$ Wstawiamy obliczoną wartość wariancji $\sigma^2 = \dfrac{2}{3}$ i usuwamy niewymierność z mianownika: $$\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{6}}{3} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Średnia arytmetyczna: $\overline{x} = 2$

Odchylenie standardowe: $\sigma = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Zadanie 4 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości liczby $x$, $x \in \mathbb{R}$, dla których średnia arytmetyczna liczb $2, 4, x$ jest równa medianie tych liczb.

Wskazówki:

Zapisz wzór na średnią arytmetyczną trzech podanych liczb: $\bar{a} = \dfrac{2 + 4 + x}{3}$.
Mediana zestawu o nieparzystej liczbie elementów to wyraz środkowy po ich uporządkowaniu w kolejności niemalejącej.
Ponieważ wartość liczby $x$ nie jest ustalona, rozważ trzy wzajemne położenia liczby $x$ względem liczb $2$ i $4$: gdy $x \le 2$, gdy $2 < x < 4$ oraz gdy $x \ge 4$.
Pamiętaj o sprawdzeniu, czy wyliczona wartość $x$ w każdym z przypadków spełnia przyjęte założenie przedziałowe.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie wzoru na średnią arytmetyczną liczb $2, 4, x$:
Średnia arytmetyczna trzech liczb to suma tych liczb podzielona przez ich liczbę: $$\begin{aligned} \bar{a} &= \dfrac{2 + 4 + x}{3} \\[8pt] &= \dfrac{x + 6}{3} \\[8pt] &= \dfrac{1}{3}x + 2 \end{aligned}$$ Aby wyznaczyć medianę, musimy uporządkować liczby $2, 4, x$ niemalejąco. Pozycja liczby $x$ zależy od jej wartości, co prowadzi do trzech rozłącznych przypadków.
Sposób I – Analiza algebraiczna z podziałem na przypadki:
• Przypadek 1: gdy $x \le 2$
Liczby uporządkowane niemalejąco to: $$x \le 2 \le 4$$ Wyrazem środkowym jest liczba $2$, zatem mediana wynosi $M = 2$.
Przyrównujemy średnią arytmetyczną do mediany: $$\begin{aligned} \dfrac{x + 6}{3} &= 2 \\[8pt] x + 6 &= 6 \\[8pt] x &= 0 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek przypadku: $0 \le 2$ (warunek jest spełniony). Zatem $x = 0$ jest pierwszym rozwiązaniem.

• Przypadek 2: gdy $2 < x < 4$
Liczby uporządkowane niemalejąco to: $$2 < x < 4$$ Wyrazem środkowym jest sama liczba $x$, zatem mediana wynosi $M = x$.
Przyrównujemy średnią arytmetyczną do mediany: $$\begin{aligned} \dfrac{x + 6}{3} &= x \\[8pt] x + 6 &= 3x \\[8pt] 3x - x &= 6 \\[8pt] 2x &= 6 \\[8pt] x &= 3 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek przypadku: $2 < 3 < 4$ (warunek jest spełniony). Zatem $x = 3$ jest drugim rozwiązaniem.

• Przypadek 3: gdy $x \ge 4$
Liczby uporządkowane niemalejąco to: $$2 \le 4 \le x$$ Wyrazem środkowym jest liczba $4$, zatem mediana wynosi $M = 4$.
Przyrównujemy średnią arytmetyczną do mediany: $$\begin{aligned} \dfrac{x + 6}{3} &= 4 \\[8pt] x + 6 &= 12 \\[8pt] x &= 6 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek przypadku: $6 \ge 4$ (warunek jest spełniony). Zatem $x = 6$ jest trzecim rozwiązaniem.
Sposób II – Interpretacja graficzna (przecięcie wykresów mediany i średniej):
Medianę zestawu liczb $2, 4, x$ możemy zapisać jako funkcję zmiennej $x \in \mathbb{R}$: $$M(x) = \begin{cases} 2 & \text{dla } x \le 2 \\[6pt] x & \text{dla } 2 < x < 4 \\[6pt] 4 & \text{dla } x \ge 4 \end{cases}$$ Średnia arytmetyczna jest funkcją liniową: $$\bar{a}(x) = \dfrac{1}{3}x + 2$$ Szukane wartości parametru $x$ odpowiadają odciętym punktów przecięcia wykresu funkcji łamanej $y = M(x)$ z prostą $y = \bar{a}(x)$.

Wykresy przecinają się dokładnie w trzech punktach: $(0, 2)$, $(3, 3)$ oraz $(6, 4)$, co w pełni potwierdza rozwiązania uzyskane na drodze algebraicznej.

Odpowiedź:
Wszystkie wartości liczby $x$ spełniające warunki zadania to: $x \in \{0, 3, 6\}$.

Zadanie 5 (3 pkt)

W sondażu przeprowadzonym w mieście XYZ, z $150\,000$ mieszkańców, $72\%$ zadeklarowało poparcie dla nowego projektu. Wynik $72\%$ jest podany w zaokrągleniu do pełnych procentów. Oblicz, jaka jest największa możliwa liczba mieszkańców, którzy nie popierają tego projektu.

Wskazówki:

Zastanów się, jakie rzeczywiste wartości procentowe po zaokrągleniu do pełnych jednostek dają wynik równy dokładnie $72\%$. Wyznacz lewy (dolny) i prawy (górny) kraniec tego przedziału.
Liczba osób niepopierających projektu będzie największa wtedy, gdy odsetek osób popierających projekt osiągnie najmniejszą dopuszczalną wartość w wyznaczonym przedziale.
Zadanie możesz rozwiązać na dwa sposoby: obliczając minimalną liczbę zwolenników i odejmując ją od łącznej liczby mieszkańców lub od razu wyznaczając maksymalny odsetek osób niepopierających.

Rozwiązanie krok po kroku:

Ustalenie przedziału zaokrąglenia dla podanego wyniku poparcia:
Niech $p$ oznacza rzeczywisty odsetek mieszkańców popierających projekt. Zgodnie z zasadami zaokrąglania liczb do najbliższej całości, wartość zaokrągla się do $72\%$, jeżeli pierwsza cyfra po przecinku decyduje o zaokrągleniu w dół bądź w górę: $$71{,}5\% \le p < 72{,}5\%$$ Oznacza to, że najmniejszy możliwy odsetek osób popierających projekt wynosi: $$p_{\min} = 71{,}5\%$$
Sposób I – Wyznaczenie najmniejszej liczby osób popierających projekt:
Liczba osób niepopierających projektu będzie największa wtedy, gdy liczba mieszkańców popierających projekt będzie możliwie najmniejsza.

Obliczamy minimalną liczbę mieszkańców popierających projekt dla $p_{\min} = 71{,}5\%$: $$\begin{aligned} L_{\text{pop, min}} &= 71{,}5\% \cdot 150\,000 \\[8pt] &= \dfrac{71{,}5}{100} \cdot 150\,000 \\[8pt] &= 71{,}5 \cdot 1\,500 \\[8pt] &= 107\,250 \end{aligned}$$ Odejmujemy otrzymaną wartość od łącznej liczby mieszkańców miasta: $$\begin{aligned} L_{\text{nie, max}} &= 150\,000 - L_{\text{pop, min}} \\[8pt] &= 150\,000 - 107\,250 \\[8pt] &= 42\,750 \end{aligned}$$
Sposób II – Wyznaczenie maksymalnego udziału procentowego osób niepopierających:
Niech $q$ oznacza procent mieszkańców, którzy nie popierają projektu. Ponieważ wszyscy ankietowani stanowią $100\%$, zachodzi relacja: $$q = 100\% - p$$ Skoro rzeczywisty odsetek zwolenników spełnia warunek $p \ge 71{,}5\%$, to odsetek przeciwników szacujemy od góry: $$\begin{aligned} q &\le 100\% - 71{,}5\% \\[8pt] q &\le 28{,}5\% \end{aligned}$$ Maksymalny udział osób niepopierających wynosi zatem $q_{\max} = 28{,}5\%$.

Obliczamy maksymalną liczbę mieszkańców niepopierających projektu: $$\begin{aligned} L_{\text{nie, max}} &= 28{,}5\% \cdot 150\,000 \\[8pt] &= \dfrac{28{,}5}{100} \cdot 150\,000 \\[8pt] &= 28{,}5 \cdot 1\,500 \\[8pt] &= 42\,750 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Największa możliwa liczba mieszkańców, którzy nie popierają tego projektu, wynosi $42\,750$.

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości liczby $x$, $x \in \mathbb{R}$, dla których mediana liczb $4, x, x^2$ jest równa 4.