Funkcja wykładnicza sprawdzian

Funkcja wykładnicza

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Wykaż, że podana liczba jest całkowita: $\left[ \left(5 + 24^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} - \left(5 - 24^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \right]^2$

Wskazówki:

Pamiętaj o definicji potęgi o wykładniku ułamkowym: $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$.
Główną strukturą wyrażenia jest kwadrat różnicy dwóch składników: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Iloczyn pierwiastków można zapisać pod jednym pierwiastkiem, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.
Alternatywnie można zwinąć wyrażenia pod pierwiastkami do pełnych kwadratów sumy lub różnicy.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Bezpośrednie zastosowanie wzoru skróconego mnożenia:
Zapiszmy potęgę o wykładniku $\frac{1}{2}$ w postaci klasycznego pierwiastka kwadratowego: $$24^{\frac{1}{2}} = \sqrt{24}$$ Zatem badane wyrażenie ma postać: $$\left( \sqrt{5 + \sqrt{24}} - \sqrt{5 - \sqrt{24}} \right)^2$$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie: $$a = \sqrt{5 + \sqrt{24}}, \quad b = \sqrt{5 - \sqrt{24}}$$ Rozpisujemy kolejne składniki: $$\begin{aligned} a^2 &= \left(\sqrt{5 + \sqrt{24}}\right)^2 = 5 + \sqrt{24} \\[8pt] b^2 &= \left(\sqrt{5 - \sqrt{24}}\right)^2 = 5 - \sqrt{24} \end{aligned}$$ Obliczamy podwojony iloczyn $2ab$, łącząc czynniki pod jednym pierwiastkiem i stosując wzór na różnicę kwadratów: $$\begin{aligned} 2ab &= 2 \cdot \sqrt{5 + \sqrt{24}} \cdot \sqrt{5 - \sqrt{24}} \\[8pt] &= 2\sqrt{(5 + \sqrt{24})(5 - \sqrt{24})} \\[8pt] &= 2\sqrt{5^2 - (\sqrt{24})^2} \\[8pt] &= 2\sqrt{25 - 24} \\[8pt] &= 2\sqrt{1} = 2 \end{aligned}$$ Łączymy wszystkie elementy wzoru: $$\begin{aligned} (a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \\[8pt] &= (5 + \sqrt{24}) - 2 + (5 - \sqrt{24}) \\[8pt] &= 5 + 5 - 2 + \sqrt{24} - \sqrt{24} \\[8pt] &= 8 \end{aligned}$$
Sposób II – Zwijanie wyrażeń podpierwiastkowych do kwadratu sumy i różnicy:
Uprośćmy najpierw liczbę $\sqrt{24}$, wyłączając czynnik przed znak pierwiastka: $$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$$ Wyrażenia pod wewnętrznymi pierwiastkami przyjmują postać: $$5 + 2\sqrt{6} \quad \text{oraz} \quad 5 - 2\sqrt{6}$$ Zauważmy, że liczbę $5$ możemy zapisać jako sumę $3 + 2$, co pozwala zwinąć oba wyrażenia ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy: $$\begin{aligned} 5 + 2\sqrt{6} &= (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 \\[8pt] 5 - 2\sqrt{6} &= (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 \end{aligned}$$ Pierwiastkujemy otrzymane kwadraty (pamiętając, że $\sqrt{x^2} = |x|$ oraz $\sqrt{3} > \sqrt{2}$): $$\begin{aligned} \sqrt{5 + \sqrt{24}} &= \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2} \\[8pt] \sqrt{5 - \sqrt{24}} &= \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \end{aligned}$$ Obliczamy różnicę wewnątrz nawiasu kwadratowego: $$\begin{aligned} (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) &= \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} \\[8pt] &= 2\sqrt{2} \end{aligned}$$ Podnosimy wynik do kwadratu: $$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$$
Podsumowanie i wniosek:
Niezależnie od wybranej metody otrzymaliśmy wynik: $$8$$ Ponieważ liczba $8$ należy do zbioru liczb całkowitych ($8 \in \mathbb{C}$), wykazaliśmy, że wyjściowa liczba jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:
Wartość wyrażenia wynosi $8$. Ponieważ $8 \in \mathbb{C}$, wykazano, że podana liczba jest całkowita.

Zadanie 2 (2 pkt)

Dana jest funkcja $f(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x - 5$. Wykaż, że miejsce zerowe funkcji $g(x) = f(-x - 1)$ należy do przedziału $(0, 1)$.

Wskazówki:

Wyznacz wzór funkcji $g(x)$, podstawiając wyrażenie $-x - 1$ w miejsce argumentu $x$ do wzoru funkcji $f(x)$, a następnie przekształć potęgę, korzystając z własności $\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-u} = a^u$.
Sposób I (algebraiczny): Przyrównaj wzór funkcji $g(x)$ do zera, wyznacz dokładną wartość miejsca zerowego $x_0$ za pomocą logarytmu o podstawie $3$ i oszacuj jego wartość, wykorzystując fakt, że funkcja $y = \log_3 t$ jest ściśle rosnąca.
Sposób II (własności funkcji / własność Darboux): Zauważ, że funkcja $g(x)$ jest funkcją ciągłą i ściśle rosnącą w całej swojej dziedzinie. Oblicz wartości funkcji na krańcach przedziału, czyli $g(0)$ oraz $g(1)$, i sprawdź ich znaki.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie analitycznego wzoru funkcji $g(x)$:
Wychodzimy z danego wzoru funkcji $f(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x - 5$. W miejsce argumentu $x$ podstawiamy dwumian $-x - 1$: $$ \begin{aligned} g(x) &= f(-x - 1) \\[8pt] &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-x - 1} - 5 \\[8pt] &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-(x + 1)} - 5 \end{aligned} $$ Wykorzystujemy regułę potęgowania o ujemnym wykładniku $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$, skąd $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} = 3$: $$ g(x) = 3^{x + 1} - 5 $$
Sposób I – Dokładne wyznaczenie miejsca zerowego za pomocą logarytmu i jego oszacowanie:
Miejsce zerowe to taki argument $x_0$, dla którego wartość funkcji wynosi zero, czyli $g(x_0) = 0$: $$ \begin{aligned} 3^{x_0 + 1} - 5 &= 0 \\[8pt] 3^{x_0 + 1} &= 5 \end{aligned} $$ Stosujemy definicję logarytmu ($a^c = b \iff c = \log_a b$): $$ \begin{aligned} x_0 + 1 &= \log_3 5 \\[8pt] x_0 &= \log_3 5 - 1 \end{aligned} $$ Wyrażenie to można również zapisać przy użyciu jednego logarytmu, zamieniając $1$ na $\log_3 3$: $$ x_0 = \log_3 5 - \log_3 3 = \log_3\left(\dfrac{5}{3}\right) $$ Aby wykazać, że $x_0 \in (0, 1)$, musimy dowieść prawdziwości podwójnej nierówności $0 < x_0 < 1$:

1. Wykazanie nierówności $x_0 > 0$: $$ \begin{aligned} x_0 > 0 &\iff \log_3 5 - 1 > 0 \\[8pt] &\iff \log_3 5 > 1 \\[8pt] &\iff \log_3 5 > \log_3 3 \end{aligned} $$ Ponieważ podstawa logarytmu $3 > 1$, funkcja $y = \log_3 t$ jest ściśle rosnąca. Nierówność $\log_3 5 > \log_3 3$ jest więc równoważna relacji $5 > 3$, która jest prawdziwa. Zatem $x_0 > 0$.

2. Wykazanie nierówności $x_0 < 1$: $$ \begin{aligned} x_0 < 1 &\iff \log_3 5 - 1 < 1 \\[8pt] &\iff \log_3 5 < 2 \\[8pt] &\iff \log_3 5 < \log_3(3^2) \\[8pt] &\iff \log_3 5 < \log_3 9 \end{aligned} $$ Ze względu na ściśle rosnący charakter funkcji logarytmicznej o podstawie $3$, nierówność $\log_3 5 < \log_3 9$ jest równoważna relacji $5 < 9$, która jest prawdziwa. Zatem $x_0 < 1$.

Z obu powyższych warunków wynika bezpośrednio: $$ 0 < x_0 < 1 \iff x_0 \in (0, 1) $$ co stanowi pełne uzasadnienie tezy.
Sposób II – Wykorzystanie monotoniczności, własności Darboux i interpretacja na wykresie:
Funkcja $g(x) = 3^{x + 1} - 5$ jest ciągła w całej dziedzinie $\mathbb{R}$. Jest także funkcją ściśle rosnącą, ponieważ jej podstawą potęgową jest liczba $3 > 1$.
Obliczamy wartości funkcji $g(x)$ na końcach przedziału $[0, 1]$: $$ \begin{aligned} g(0) &= 3^{0 + 1} - 5 = 3^1 - 5 = 3 - 5 = -2 < 0 \\[8pt] g(1) &= 3^{1 + 1} - 5 = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4 > 0 \end{aligned} $$ Wartości te mają przeciwne znaki: $$ g(0) < 0 < g(1) $$ Z twierdzenia Darboux dla funkcji ciągłych wynika, że funkcja $g(x)$ w przedziale otwartym $(0, 1)$ musi osiągać wszystkie wartości pośrednie pomiędzy $-2$ a $4$, w tym wartość $0$. Ponieważ funkcja jest ściśle rosnąca w całej dziedzinie, posiada dokładnie jedno miejsce zerowe. Zatem to jedyne miejsce zerowe $x_0$ musi spełniać warunek $x_0 \in (0, 1)$.

Odpowiedź:
Wykazano, że miejsce zerowe funkcji $g(x)$ wynosi $x_0 = \log_3 5 - 1 = \log_3\left(\dfrac{5}{3}\right)$ oraz spełnia nierówność $0 < x_0 < 1$, co dowodzi, że $x_0 \in (0, 1)$.

Zadanie 3 (4 pkt)

Dana jest funkcja $f(x) = a^x + b$, gdzie $x \in \mathbb{R}$, $a > 0$, $a \neq 1$.

a) Wyznacz $a$ i $b$ wiedząc, że do wykresu funkcji należą punkty $K(0, 0)$ oraz $L(2, 3)$.

b) Dla jakich argumentów wartości funkcji $g(x) = f(x) + 1$ są większe od $16$?

c) Wyznacz współrzędne punktu, w którym funkcja $h(x) = -f(x) - 5$ przecina oś $OY$.

d) Podaj zbiór wartości funkcji $k(x) = |f(-x) + 3|$.

Wskazówki:

Podstaw współrzędne punktów $K(0, 0)$ oraz $L(2, 3)$ do wzoru funkcji $f(x) = a^x + b$, pamiętając, że dla każdej liczby dodatniej zachodzi $a^0 = 1$.
Zapisz wzór funkcji $g(x) = f(x) + 1$, a następnie rozwiąż nierówność wykładniczą $g(x) > 16$, sprowadzając obie strony do wspólnej podstawy potęgi równej $2$.
Punkt przecięcia wykresu dowolnej funkcji z osią $OY$ ma pierwszą współrzędną równą $0$ – oblicz wartość $h(0)$.
Wyznacz postać funkcji $k(x) = |f(-x) + 3|$, zbadaj znak wyrażenia pod wartością bezwzględną i skorzystaj z własności zbioru wartości funkcji wykładniczej $y = 2^{-x}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie parametrów $a$ oraz $b$ funkcji $f(x) = a^x + b$:
Wiemy, że punkty $K(0, 0)$ oraz $L(2, 3)$ należą do wykresu funkcji $f$. Oznacza to, że spełniają jej równanie: $f(0) = 0$ oraz $f(2) = 3$.

Wstawiamy najpierw współrzędne punktu $K(0, 0)$: $$\begin{aligned} f(0) &= 0 \\[8pt] a^0 + b &= 0 \end{aligned}$$ Ponieważ dla dowolnej liczby $a > 0$ zachodzi $a^0 = 1$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} 1 + b &= 0 \\[8pt] b &= -1 \end{aligned}$$ Wzór funkcji ma zatem postać $f(x) = a^x - 1$. Podstawiamy teraz współrzędne drugiego punktu $L(2, 3)$: $$\begin{aligned} f(2) &= 3 \\[8pt] a^2 - 1 &= 3 \\[8pt] a^2 &= 4 \end{aligned}$$ Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: $a = 2$ lub $a = -2$. Zgodnie z założeniem w treści zadania $a > 0$, odrzucamy rozwiązanie ujemne. Otrzymujemy zatem: $$a = 2, \quad b = -1$$ Pełny wzór funkcji wynosi: $$f(x) = 2^x - 1$$
Podpunkt b) Wyznaczenie argumentów spełniających nierówność $g(x) > 16$:
Funkcja $g(x)$ jest zdefiniowana jako $g(x) = f(x) + 1$. Podstawiamy wyznaczony wzór funkcji $f(x)$: $$\begin{aligned} g(x) &= f(x) + 1 \\[8pt] &= (2^x - 1) + 1 \\[8pt] &= 2^x \end{aligned}$$ Zapisujemy nierówność $g(x) > 16$: $$2^x > 16$$ Liczbę $16$ po prawej stronie zapisujemy w postaci potęgi o podstawie $2$, czyli $16 = 2^4$: $$2^x > 2^4$$ Podstawa potęgi jest większa od jedności ($2 > 1$), zatem funkcja wykładnicza $y = 2^x$ jest rosnąca. Przy opuszczaniu podstaw nie zmieniamy zwrotu nierówności: $$x > 4$$ Wartości funkcji $g(x)$ są większe od $16$ dla argumentów należących do przedziału: $$x \in (4, +\infty)$$
Podpunkt c) Wyznaczenie punktu przecięcia wykresu funkcji $h(x) = -f(x) - 5$ z osią $OY$:
Punkt przecięcia wykresu dowolnej funkcji z osią $OY$ ma pierwszą współrzędną równą zero ($x = 0$). Wystarczy zatem obliczyć wartość funkcji $h$ dla argumentu $x = 0$: $$h(0) = -f(0) - 5$$ Z podpunktu a) wiemy, że punkt $K(0, 0)$ leży na wykresie funkcji $f$, co oznacza, że $f(0) = 0$. Podstawiamy tę wartość: $$\begin{aligned} h(0) &= -0 - 5 \\[8pt] &= -5 \end{aligned}$$ Zatem wykres funkcji $h(x)$ przecina oś $OY$ w punkcie o współrzędnych: $$(0, -5)$$
Podpunkt d) Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $k(x) = |f(-x) + 3|$:
Wstawiamy $-x$ w miejsce argumentu do wzoru funkcji $f(x) = 2^x - 1$: $$\begin{aligned} f(-x) + 3 &= (2^{-x} - 1) + 3 \\[8pt] &= 2^{-x} + 2 \end{aligned}$$ Funkcja $k(x)$ przyjmuje zatem postać: $$k(x) = |2^{-x} + 2|$$ Zbadajmy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ potęga o podstawie dodatniej przyjmuje wyłącznie wartości ściśle dodatnie: $$2^{-x} > 0$$ Dodając obustronnie $2$, otrzymujemy: $$2^{-x} + 2 > 2$$ Ponieważ wyrażenie pod wartością bezwzględną jest zawsze większe od $2$ (a więc ściśle dodatnie), opuszczenie modułu nie zmienia znaku wyrażenia: $$k(x) = 2^{-x} + 2$$ Podstawowa funkcja wykładnicza $y = 2^{-x}$ przyjmuje zbiór wartości $(0, +\infty)$. Przesunięcie wykresu o $2$ jednostki w górę przesuwa poziomą asymptotę do prostej $y = 2$. Zatem zbiór wartości funkcji $k(x)$ to: $$ZW_k = (2, +\infty)$$

Odpowiedź:
a) $a = 2, \quad b = -1$

b) $x \in (4, +\infty)$

c) $(0, -5)$

d) $ZW_k = (2, +\infty)$

Zadanie 4 (4 pkt)

Na podstawie wykresu funkcji $f(x) = 2^x$ wykonując odpowiednie przekształcenia, naszkicuj wykres funkcji $g(x) = |2^{|x-3|} - 5|$, gdzie $x \in \mathbb{R}$. Na podstawie otrzymanego wykresu funkcji $y = g(x)$ ustal, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $|2^{|x-3|} - 5| = m$ ma 4 rozwiązania.

Wskazówki:

Złożone przekształcenie funkcji bazowej $f(x) = 2^x$ podziel na trzy elementarne kroki geometryczne: symetrię względem osi $OY$ dla części wykresu ($x \to |x|$), przesunięcie o wektor $\vec{u} = [3, -5]$, a następnie odbicie symetryczne części leżącej pod osią $OX$ do góry ($y \to |y|$).
Pamiętaj o poprawnej kolejności: operacja $f(|x|) = 2^{|x|}$, po której następuje przesunięcie o wektor $[3, -5]$, daje $2^{|x-3|} - 5$. Wykonanie przesunięcia przed nałożeniem modułu na argument doprowadziłoby do błędnego wyrażenia $2^{|x|-3}$.
Liczba rozwiązań równania z parametrem $g(x) = m$ jest równa liczbie punktów przecięcia wykresu funkcji $y = g(x)$ z poziomą prostą $y = m$. Zwróć szczególną uwagę na wartość funkcji w lokalnym maksimum oraz na osi $OX$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wykres funkcji bazowej $f(x) = 2^x$ oraz nałożenie modułu na argument $f_1(x) = 2^{|x|}$:
Wychodzimy od funkcji wykładniczej $f(x) = 2^x$. Nakładamy wartość bezwzględną na jej argument, tworząc funkcję: $$f_1(x) = f(|x|) = 2^{|x|}$$ Wykres dla $x \ge 0$ pozostaje bez zmian, natomiast dla $x < 0$ powstaje poprzez symetryczne odbicie prawej strony względem pionowej osi $OY$. Wykres staje się parzysty, a jego osią symetrii jest prosta $x = 0$. W punkcie $(0, 1)$ funkcja osiąga swoje minimum (ostrze).
Przesunięcie wykresu o wektor $\vec{u} = [3, -5]$ do postaci $f_2(x) = 2^{|x-3|} - 5$:
Wykres funkcji $f_1(x)$ przesuwamy równolegle o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi $OX$ oraz o 5 jednostek w dół wzdłuż osi $OY$: $$f_2(x) = f_1(x - 3) - 5 = 2^{|x-3|} - 5$$ Oś symetrii przemieszcza się na prostą $x = 3$, a wierzchołek z punktu $(0, 1)$ trafia do punktu: $$(0 + 3, \; 1 - 5) = (3, -4)$$ Miejsca zerowe wyznaczamy z równania $2^{|x-3|} - 5 = 0$: $$\begin{aligned} 2^{|x-3|} &= 5 \\[6pt] |x - 3| &= \log_2 5 \\[6pt] x_1 &= 3 - \log_2 5 \approx 3 - 2{,}32 = 0{,}68 \\[6pt] x_2 &= 3 + \log_2 5 \approx 3 + 2{,}32 = 5{,}32 \end{aligned}$$ Część wykresu leżąca poniżej osi $OX$ (zaznaczona kolorem czerwonym) w kolejnym etapie zostanie odbita symetrycznie w górę.
Nałożenie modułu na całą funkcję $g(x) = |2^{|x-3|} - 5|$ (odbicie względem osi $OX$):
W ostatnim kroku nakładamy zewnętrzną wartość bezwzględną: $$g(x) = |f_2(x)| = |2^{|x-3|} - 5|$$ Część wykresu leżąca nad osią $OX$ ($y \ge 0$) pozostaje nienaruszona, a cała część leżąca pod osią $OX$ zostaje symetrycznie odbita w górę względem osi $OX$:
• Wierzchołek $(3, -4)$ przechodzi w lokalne maksimum $(3, 4)$.
• Punkty $(2, -3)$ oraz $(4, -3)$ przechodzą w punkty $(2, 3)$ oraz $(4, 3)$.
• Punkty $(1, -1)$ oraz $(5, -1)$ przechodzą w punkty $(1, 1)$ oraz $(5, 1)$.
• Miejsca zerowe $x_1 = 3 - \log_2 5$ i $x_2 = 3 + \log_2 5$ stają się „dołkami” o wartości $0$.
Graficzna analiza liczby rozwiązań równania z parametrem $m$:
Liczba rozwiązań równania $|2^{|x-3|} - 5| = m$ w zależności od parametru $m$ jest równa liczbie punktów przecięcia wykresu funkcji $y = g(x)$ z poziomą prostą $y = m$:
• Dla $m < 0$: 0 rozwiązań – prosta leży pod osią $OX$, a $g(x) \ge 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
• Dla $m = 0$: 2 rozwiązania – prosta pokrywa się z osią $OX$ i przecina wykres w 2 miejscach zerowych: $x = 3 - \log_2 5$ oraz $x = 3 + \log_2 5$.
• Dla $m \in (0, 4)$: 4 rozwiązania – prosta leży powyżej osi $OX$, lecz poniżej wierzchołka $(3, 4)$. Przecina wykres czterokrotnie: dwukrotnie na ramionach zewnętrznych oraz dwukrotnie na środkowym wybrzuszeniu.
• Dla $m = 4$: 3 rozwiązania – prosta przechodzi dokładnie przez wierzchołek lokalnego maksimum $(3, 4)$ oraz przecina dwa ramiona zewnętrzne.
• Dla $m > 4$: 2 rozwiązania – prosta przebiega powyżej lokalnego maksimum, przecinając wyłącznie dwa ramiona zewnętrzne.

Odpowiedź:
Równanie $|2^{|x-3|} - 5| = m$ ma 4 rozwiązania dla $m \in (0, 4)$.

Zadanie 5 (4 pkt)

Rozwiąż nierówność: $$2^x \cdot 4^{-2x+1} > 2^{-x^2} : \left(\dfrac{1}{4}\right)$$

Wskazówki:

Sprowadź wszystkie potęgi występujące po obu stronach nierówności do wspólnej podstawy równej $2$. Pamiętaj, że $4 = 2^2$ oraz $\dfrac{1}{4} = 2^{-2}$.
Skorzystaj ze standardowych praw działań na potęgach: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ oraz $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Zwróć uwagę na podstawę potęgi: wynosi ona $2 > 1$, co oznacza, że funkcja wykładnicza $f(t) = 2^t$ jest ściśle rosnąca i przy opuszczaniu podstaw zachowujemy pierwotny zwrot nierówności.
Uporządkuj otrzymaną nierówność kwadratową, wyznacz jej pierwiastki i odczytaj rozwiązanie na podstawie szkicu paraboli.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sprowadzenie obu stron nierówności do wspólnej podstawy potęgi równej 2:
Dana jest nierówność wyjściowa: $$2^x \cdot 4^{-2x+1} > 2^{-x^2} : \left(\dfrac{1}{4}\right)$$ Zapisujemy liczby $4$ oraz $\dfrac{1}{4}$ jako potęgi o podstawie $2$: $$\begin{aligned} 4 &= 2^2 \\[8pt] \dfrac{1}{4} &= 2^{-2} \end{aligned}$$ Przekształcamy lewą stronę nierówności: $$\begin{aligned} L &= 2^x \cdot \left(2^2\right)^{-2x+1} \\[8pt] &= 2^x \cdot 2^{2(-2x+1)} \\[8pt] &= 2^x \cdot 2^{-4x+2} \\[8pt] &= 2^{x + (-4x + 2)} \\[8pt] &= 2^{-3x+2} \end{aligned}$$ Przekształcamy prawą stronę nierówności, korzystając z reguły dzielenia potęg o tych samych podstawach: $$\begin{aligned} P &= 2^{-x^2} : 2^{-2} \\[8pt] &= 2^{-x^2 - (-2)} \\[8pt] &= 2^{-x^2+2} \end{aligned}$$ Nierówność przyjmuje równoważną postać: $$2^{-3x+2} > 2^{-x^2+2}$$
Skorzystanie z monotoniczności funkcji wykładniczej i redukcja do nierówności kwadratowej:
Podstawa potęgi spełnia warunek $a = 2 > 1$, zatem funkcja wykładnicza jest ściśle rosnąca. Porównujemy wykładniki bez zmiany zwrotu nierówności: $$-3x + 2 > -x^2 + 2$$ Odejmujemy $2$ od obu stron: $$-3x > -x^2$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, aby po prawej otrzymać zero: $$x^2 - 3x > 0$$
Wyznaczenie miejsc zerowych i interpretacja graficzna na osi liczbowej:
Wyłączamy wspólny czynnik $x$ przed nawias: $$x(x - 3) > 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe odpowiedniej funkcji kwadratowej: $$\begin{aligned} x(x - 3) &= 0 \\[8pt] x_1 = 0 \quad &\text{lub} \quad x_2 = 3 \end{aligned}$$ Współczynnik przy najwyższej potędze wynosi $a = 1 > 0$, więc ramiona paraboli skierowane są w górę. Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie ($y > 0$), czyli fragmentów leżących powyżej osi $OX$. Ze względu na ostrą nierówność ($>$) punkty graniczne $0$ oraz $3$ oznaczamy kółkami otwartymi i wyłączamy ze zbioru rozwiązań.

Odpowiedź:
$x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Wykaż, że podana liczba jest całkowita: $ \left[ \left( 8 + 28^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} - \left( 8 - 28^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \right]^2 $